В статье «Семь достоинств простой теории типов» упоминается, что она использует тот же прием (из-за Тарского) для определения семантики, которая также используется логикой первого порядка. Я истолковал это как отсылку к «Определениям истины» Тарского . Прочитав связанную запись SEP, я узнал, что есть версия 1933 года и версия 1956 года.
Если я правильно понял, для версии 1933 года модель (т.е. алгебраическая структура, о которой мы говорим) является частью метаязыка и отдельно не упоминается. С другой стороны, присвоение объектов переменным — это то, что может удовлетворить заданную формулу. Формула (определяется как) истинная, если она удовлетворяется всеми возможными присвоениями объектов переменным.
Версия 1956 года рассматривается менее явно в связанной записи SEP, но есть намек на то, что модель больше не является неявной частью метаязыка, а является явным объектом из теории множеств. Модель может удовлетворять заданной формуле (или предложению), подобно тому, как «присвоение объектов переменным» может удовлетворять заданной формуле для версии 1933 года. Но текст также намекает, что 1956 теперь сильнее полагается на лежащую в основе теорию множеств, в то время как 1933 явно пытался минимизировать «теоретико-множественные требования определения истины».
Это все важные отличия версии 1933 года от версии 1956 года? Есть ли важные недоразумения в моем резюме различий?
Вопрос немного сложный.
Видеть :
Джон Этчеменди, ТАРСКИЙ ОБ ИСТИНЕ И ЛОГИЧЕСКИХ ПОСЛЕДСТВИЯХ , в Журнале символической логики, Том 53 (1988)
Марио Гомес-Торренте, Тарский о логических следствиях , в ND Journal of Formal Logic, Vol.37 (1996)
Крейг Бах, ОТЧЕТ ТАРСКОГО О ЛОГИЧЕСКИХ ПОСЛЕДСТВИЯХ 1936 ГОДА , в Modern Logic, Vol.7 (1997)
новый перевод Альфреда Тарского, О концепции логического следования (1936), в HISTORY AND PHILOSOPHY OF LOGIC, 23 (2002).
Я попытаюсь резюмировать центральную проблему, стараясь избежать технических подробностей (в том числе из-за отсутствия редактора LaTeX).
Ссылка, конечно же, на статью Уилфрида Ходжеса в книге SEP : Tarski's Truth Definitions .
Мы говорим, что язык интерпретируется полностью, если все его предложения имеют значения, которые делают их либо истинными, либо ложными. Все языки, которые Тарский рассмотрел в статье 1933 года, были полностью интерпретированы [...]. В этом было основное различие между определением 1933 г. и более поздним теоретико-модельным определением 1956 г. [...].
В 1933 году Тарский предположил, что формальные языки, с которыми он имел дело, имели два вида символов, а именно константы и переменные. Константы включали логические константы, а также любые другие термины с фиксированным значением. Переменные не имели самостоятельного значения и были просто частью аппарата количественного определения.
Сегодня логики работают с формальными языками, внелогические константы которых неинтерпретируются (пока не будет зафиксирована интерпретация в конкретном случае). Чтобы обеспечить интерпретацию или модель такого языка, обычно определяют область или универсум дискурса и присваивают каждой отдельной константе уникальный объект в области, каждому монадическому предикату первого порядка подмножество области и так далее.
Вместо этого Тарский [1936] работал с тем, что он называл формализованными языками, в которых интерпретируются экстралогические константы, а предметная область фиксируется.
Как объясняет Ходжес:
Теория моделей, напротив, работает с тремя уровнями символов. Есть логические константы (например, =, ¬, &), переменные (как и прежде) и между ними средняя группа символов, которые не имеют фиксированного значения, но получают значение посредством применения к определенной структуре. Символы этой средней группы включают в себя нелогические константы языка, такие как символы отношений [например, ∈ в теории множеств], функциональные символы и константные индивидуальные символы [например, 0 в арифметике]. Они также включают символы квантификатора ∀ и ∃, поскольку нам нужно обратиться к структуре, чтобы увидеть, какое множество они охватывают. Этот тип трехуровневого языка соответствует математическому использованию; например, мы записываем операцию сложения абелевой группы как +, и этот символ обозначает разные функции в разных группах.
К концу 1940-х годов стало ясно, что необходимо прямое теоретико-модельное определение истины. Версия, которую мы используем сегодня, основана на версии, опубликованной Тарским и Робертом Воутом в 1956 году.
Правильный способ думать о теоретико-модельном определении состоит в том, что у нас есть предложения, значение истинности которых варьируется в зависимости от ситуации, в которой они используются. Таким образом, нелогические константы не являются переменными; это определенные описания, ссылка на которые зависит от контекста. Точно так же квантификаторы имеют такую индексальную особенность, что область, в которой они колеблются, зависит от контекста использования.
Поскольку Тарский [1936] использует формализованный язык с интерпретируемыми экстралогическими константами, он должен сначала заменить экстралогические константы переменными того же типа, а затем рассмотреть, какие наборы объектов удовлетворяют результирующей сентенциальной функции.
Понятие модели у Тарского [1936] не является современным понятием. В современной математике, как указывает Ходжес, модель или структура — это, грубо говоря, набор элементов с определенными на них отношениями. Набор объектов не является такой структурой.
Деннис
Пол Росс
Томас Климпель