Каковы философские последствия неразрешимости спектральной щели в квантовой теории?

Результат, по сути, означает, что в некоторых моделях игрушек не может быть алгоритма, выводящего некоторые макроскопические характеристики (спектральную щель) из микроскопических параметров моделей. Главное значение состоит в том, что мы получаем гёделевское предложение, которое, в отличие от оригинала, имеет некоторый явный математический смысл. Давайте будем великодушны и предположим, что ситуация распространяется и на более реалистичные теории материи. Каковы философские последствия редукционизма?

Во-первых, существование неразрешимых предложений является свойством теории, а не свойством описываемой ею реальности, поэтому речь идет не об онтологическом редукционизме, а о теоретическом редукционизме. Во-вторых, авторы имеют в виду «неразрешимый» в двух разных смыслах: в одном результате утверждается, что не существует алгоритма нахождения спектральной щели в классе моделей, в другом результате утверждается, что в некоторых «искусственных» моделях существование щели недоказуемо. ни опровергнуть. Первое не совсем удивительно, вывод макроскопических свойств моделей весьма нетривиален даже в классической статистической механике, хотя это может быть первым явным доказательством этого. Последнее более интересно, но неразрешимость всегда относительна. Арифметическое предложение Гёделя доказуемо в стандартной теории множеств (ZFC),

И, в конце концов, разница между двумя смыслами носит технический характер, оба означают, что теоретический анализ моделей требует нетривиального понимания, будь то нетривиальное использование существующих способов рассуждений или открытие новых. Но так было всегда, исторически даже в арифметике, доказательства интересных теоретико-числовых результатов, даже разрешимых, не были найдены алгоритмом. Матиясевич даже доказал в 1970-х годах, что не может быть алгоритма определения разрешимости диофантовых уравнений, это не значит, что конкретные диофантовы уравнения не могут быть решены или признаны неразрешимыми. Последнее недавно сделал Уайлс для уравнений Ферма, и мы до сих пор не знаем, достаточно ли одной арифметики для его доказательства. Кьюбитт, один из авторов, говорит об этом так: «Частные случаи проблемы могут быть разрешимы, даже если общая проблема неразрешима, поэтому кто-то все же может выиграть желанный приз в 1 миллион долларов ».

У математиков есть понятие «дикой» проблемы классификации , когда классификация определенных теоретических объектов в принципе неразрешима. Проблема классификации пар обычных матриц уже дикая, для пар нет обзора «жордановских канонических форм». Кубит подразумевает, что источником неразрешимости в их случае является еще одна дикая проблема: « Причина, по которой эту проблему вообще невозможно решить, заключается в том, что модели на этом уровне демонстрируют крайне странное поведение, что по существу сводит на нет любую попытку их анализа.". Таким образом, если теоретический редукционизм должен был означать, что можно получить алгоритм для нахождения свойств высокого уровня производных объектов из аксиом базовых, то редукционизм был на какое-то время обречен. Подводя итог, можно сказать, что онтологический редукционизм не имеет последствий, и для теоретического редукционизма статья подтверждает то, что мы всегда подозревали: сведение теории высокого уровня к теории низкого уровня — нетривиальное дело.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я задал вопрос о математическом переполнении о технической стороне результата. Статья пролежала в arxiv год и хорошо понятна экспертам. Неразрешимость в нем типична, доказательство основано на неразрешимости проблемы остановки для машин Тьюринга и аналогично доказательству Матиясевича для диофантовых уравнений. Это означает, что мы сталкиваемся с неразрешимыми гамильтонианами в физике не чаще, чем с предложениями Гёделя в теории чисел. В частности, статус проблемы тысячелетия спектральной щели для гамильтониана Янга-Миллса не затрагивается.

Если модель окажется неразрешимой, люди будут знать, что следует избегать моделей такого рода. Остается выяснить, насколько велик класс таких моделей (более длинная версия статьи в архиве — более 150 страниц). Но было бы преждевременно объявлять о смерти редукционизма только потому, что были сконструированы случаи, иллюстрирующие открытие Геделя.

Это кажется еще одним свидетельством того, что в некотором роде индетерминизм играет основную роль в физике.

Если это так, то бремя объяснения, несомненно, должно ложиться на то, чтобы сказать, почему это так.

Основная загадка КМ, в конце концов, заключается в том, что акт измерения является индетерминистическим, и из-за неравенств Белла не является стохастическим (т.е. зависит от «скрытых переменных»); так что в некотором смысле этот результат не добавляет ничего нового, а просто подтверждает этот основной результат.