Каковы философские следствия первой теоремы Гёделя о неполноте?

Джозеф Вайсман

Каковы философские следствия первой теоремы Гёделя о неполноте?

Первая теорема Гёделя о неполноте утверждает

Любая эффективно порожденная теория, способная выражать элементарную арифметику, не может быть одновременно непротиворечивой и полной. В частности, для любой непротиворечивой, эффективно порожденной формальной теории, которая доказывает некоторые основные арифметические истины, существует арифметическое утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в теории (Клин, 1967, стр. 250).

Каковы философские следствия этой теоремы? В частности, существуют ли более общие аналоги этой теоремы — обязательно «недоказуемые истины» в других видах формальных систем?

пользователь 21820

Пожалуйста, смотрите мой комментарий . В частности, теоремы о неполноте можно обобщить на любую формальную систему в том смысле, что не существует и никогда не будет никакой (вычислимой) формальной системы S с переносом i из утверждений первого порядка о конечных цепочках в S, такой что S доказывает i (Q) тогда и только тогда, когда Q истинно. Единственный способ избежать этого — если не каждое утверждение первого порядка о конечных цепочках имеет истинностное значение, но это подрывает саму логику!

Чак

Любая эффективно аксиоматизированная формальная система, расширяющая базовую теорию формальной арифметики, называемую арифметикой Робинсона (Q), будет содержать неразрешимое предложение. В общем случае синтаксическую версию первой теоремы о неполноте можно сформулировать следующим образом:

(G1T) Для любой эффективно аксиоматизированной теории T, которая расширяет Q, существует T-предложение G такое, что: (i) Если T непротиворечиво, то T не может доказать G (ii) Если T омега-непротиворечиво, то T не может доказать ¬G.

Это самое общее утверждение теоремы, которое вы можете получить. Обратите внимание, что Клини в вашей цитате говорит о семантической версии теоремы. Однако то, что первоначально доказал Гёдель, не включало семантических понятий, таких как истина, арифметическая истина и т. д. Можете ли вы увидеть/признать/признать G как истинное или нет, зависит от семантического/интенсионального понимания G — это распространенное заблуждение, которое Гедель хотел доказать. ограничения арифметической истины. Фоном, против которого он работал, был гильбертовский формализм, поэтому его главной задачей было продемонстрировать чисто синтаксические ограничения формальных систем. Таким образом, в полной синтаксической общности (G1T) говорит (неформально), что никакие соответствующие манипуляции с символами в любой формальной системе, достаточно сложной, чтобы содержать некоторую арифметику, не приведут к G.

Итак, вы видите, что (G1T) применимо к огромному количеству формальных систем. Решите ли вы рассматривать полученное G как «недоказуемую истину », зависит от вашей семантики/от того, имеет ли ваше T предполагаемую интерпретацию и так далее. Но в большинстве случаев такой вывод считается оправданным. Но это возникает только из-за вспомогательного синтаксического сбоя, который обеспечивает (G1T).

Теперь, что касается философских выводов, литература огромна. Упомяну некоторые актуальные вопросы:

  1. Некоторые люди рассматривали (семантику) (G1T) как убедительный аргумент против механизма, то есть против тезиса о том, что разум — это машина. Классическое место — « Разумы, машины и Гёдель » Лукаса . Пенроуз расширяет и усиливает этот аргумент в своих книгах о сознании. Ответов на эти аргументы предостаточно, см., в частности, «Разум и машины» Патнэма.
  2. Майкл Даммет в метко озаглавленной «Философское значение теоремы Геделя» утверждал, что (G1T) может быть истолкован как аргумент против тезиса о том, что значение есть использование, демонстрируя нам, что использование любых символических манипуляций всегда опережает арифметические. правда и смысл. Он вводит понятие неопределенной расширяемости, чтобы спасти этот тезис, и попутно вызывает много споров.
  3. Есть определенные версии программы Гильберта (HP), которые, можно сказать, были опровергнуты (G1T). Тем не менее, как правило, именно вторую теорему о неполноте большинство людей считают последним гвоздем в гроб (HP). Возможно, это самый монументальный философский вклад эпохального открытия Гёделя, а именно то, что он единолично опроверг гильбертовский формализм. Хотя, опять же, есть некоторые исследовательские проекты, которые можно рассматривать как частичные реализации НР, которые ведутся и по сей день — особенно примечательны в этом направлении Детлефсен и Феферман.

Наконец, я хотел бы сказать, что бесчисленное множество философски настроенных авторов/мыслителей/хакеров присвоили теорему Геделя, чтобы попытаться сделать выводы о самореференции/петлях/Боге/метафизике/осведомленности об окружающей среде и бог знает о чем еще. Три вывода, которые я привел, могут показаться сухими и академичными, но они также точны, хорошо изучены и лишены преувеличений. Нет сомнений в том, что теоремы Гёделя продвинули вперед наше понимание формальных систем, а вместе с ним и наше понимание философских сил и слабостей формальных рассуждений.

ванден

Проголосовал за, хотя «формалистический бред гильбертианцев» вряд ли полезен. Результаты Гёделя действительно нанесли удар по гильбертовскому формализму, но едва ли справедливо характеризовать его как бред; до теорем Гёделя (и, возможно, после) программа Гильберта имела большое значение как положение в философии математики.

Чак

@vanden Достаточно честно - я перечитал и согласен, что это звучало излишне уничижительно; Я не это имел в виду, но нам гильбертова цель должна казаться несколько безумной в своих амбициях. Я также добавил немного о частичных реализациях HP. Лично я не враждебно отношусь к Г. П. и считаю, что Гильберта грубо искажают, когда его называют радикальным формалистом, потому что он никоим образом не считал (то, что он называл) идеальной математикой бессодержательной — как раз наоборот: он считал, что содержание идеализированной математики то же, что элементарная, интуитивно постижимая математика

boehj

Это хороший ответ. Вы получаете +1 просто за «Наконец, я хотел бы сказать, что бесчисленное количество философски настроенных авторов/мыслителей/хакеров присвоили теорему Геделя, чтобы попытаться сделать выводы о самореференции/петлях/Боге/метафизике/осведомленности об окружающей среде и бог знает о чем». еще."

Джон Эриксон

Из ваших ответов о Гёделе я понял, что вы высоко цените его работу на техническом уровне, но испытываете сильное отвращение к тому, как она часто применялась.

Мозибур Улла

@ jaskey13: На самом деле существует тесное соответствие между теоремой Гёделя о неполноте и проблемой остановки для машин Тьюринга. Так что интерпретация Маймона не совсем неуместна.

пользователь 21820

Это не так часто, как вы можете себе представить; очень далеко от этого. См. этот пост для доказательства полного обобщения теорем о неполноте. Обратите внимание, что явление неполноты не имеет ничего общего с арифметикой как таковой и не требует ω-непротиворечивости. @JonEricson: вы также можете взглянуть на связанный пост.

Рон Маймон

теорема Геделя

Я хотел бы здесь остановиться, чтобы сначала точно сформулировать и должным образом доказать теорему Гёделя. Первоначальная презентация была создана до изобретения компьютера и была сложной. Но мы живем 80 лет спустя, где знакомы компьютеры.

Во-первых, в теореме Геделя вы всегда говорите об аксиоматической системе S. Это логическая система, в которой вы можете доказывать теоремы с помощью компьютерной программы, вы должны думать об арифметике Пеано, или ZFC, или любой другой теории первого порядка с вычислимая схема аксиом (аксиомы, которые могут быть перечислены фиксированной компьютерной программой).

Предполагается, что такая система аксиом может описывать компьютер в любое конечное время. Содержимое памяти компьютера представляет собой строку битов, большое целое число M, а манипуляции с памятью от выполнения одного шага представляют собой очень простую функцию, которая что-то делает из набора инструкций и изменяет память. Если вы сделаете это конечное число раз, вы получите новое состояние памяти M'. Основное предположение о S таково:

S может следовать компьютерной программе: для фиксированного универсального компьютера с начальной памятью M он докажет, что память в момент времени t равна M' для любого конечного времени t.

В арифметике Пеано это тривиально, потому что вы можете кодировать память компьютера очень простыми способами, а аксиомы без индукции, просто аксиомы для вычислений, говорят вам, каков результат конечного вычисления. Так что это верно в арифметике Пеано без индукции и без кванторов. Очень просто спросить у системы аксиом, что она может проследить за вычислением и доказать, что результат за конечное время верен.

Затем мы предполагаем, что S может заявлять такие вещи, как «Программа P не останавливается». Это требует квантификатора

Я предполагаю, что S непротиворечиво. Утверждение «S непротиворечиво» означает, что если S доказывает, что «P не останавливается», то P на самом деле не останавливается. Поскольку, если P остановится, S будет следовать за ним до тех пор, пока он не остановится, а затем докажите и это. Обратите внимание, что S может доказать, что «P останавливается» без фактической остановки P, он просто не может доказать, что «P не останавливается», если это ложь.

Теорема. Рассмотрим такую ​​систему аксиом S. Существует программа P, которая не останавливается, для которой S не может доказать, что «P не останавливается»:

Доказательство: Напишите компьютерную программу SPITE, которая делает следующее:

  1. Вывести свой код в переменную R
  2. Выведите все следствия из аксиом S, ища теорему «R не останавливается».
  3. Если он находит эту теорему, он останавливается.

Если вы подумаете об этом на полсекунды, в тот момент, когда S докажет, что «ЗЛОП не останавливается», ЗЛОП останавливается (по построению) и делает S лжецом. Ссылка на самого себя находится в первой строке --- вывод вашего собственного кода в переменную, и то, что это возможно, является упражнением для программистов бакалавриата.

Это полная конструкция и полное доказательство.

Гёдель 2: S не может доказать свою непротиворечивость

Доказательство таково: если S непротиворечиво, SPITE не может остановиться, потому что мы видим, что это подразумевает, что S непротиворечиво. Таким образом, если S может формализовать этот аргумент и доказать свою непротиворечивость, это доказывает, что SPITE не останавливается (что невозможно).

Это полное доказательство. Требуется знакомство с логикой, чтобы увидеть, что для подходящего S неформальный вывод «S последовательно подразумевает, что SPITE не останавливается» может быть формализован в S, но если бы было невозможно формализовать интуитивные логические выводы, подобные этому, мы бы не не используйте S в первую очередь.

Россер: Проблема с Гёделем1 и Гёделем2 (которые, по сути, являются одной и той же теоремой с точностью до тривиального выбора канонического примера) заключается в том, что S может быть полным, но неверным . Другими словами, доказательство Гёделя не показало, что существует программа P, остановка которой вообще не предсказуема. Может быть, S решает, что все программы либо останавливаются, либо не останавливаются, но это неправильно: он говорит вам, что некоторые не останавливающиеся программы останавливаются. Если бы он сказал вам, что останавливающаяся программа не остановилась, это было бы противоречием в S (после достаточного времени), но он может сказать вам, что неостанавливающаяся программа останавливается без противоречия (это очевидно, но тонко).

Так пиши РОССЕР:

  1. Печатает свой код в R
  2. Делает вывод из S, ищет а) «R выводит на экран» б) «R не выводит на экран».
  3. Если он находит a), он останавливается без печати. Если он находит б) он печатает «привет» и останавливается.

Теперь S не может доказать ни «РОССЕР печатает», ни отрицание «РОССЕР не печатает». Таким образом, если вторая программа следует за Россером и останавливается, когда ROSSER печатает, то эта программа не доказана ни останавливающейся, ни не останавливающейся.

Философские последствия

Главный философский вывод — самый важный в истории философии (это не преувеличение):

Существует универсальное понятие вычисления, которое не зависит от системы аксиом.

Это главный результат работы Геделя, хотя он не был полностью понят до версии Тьюринга несколько лет спустя. Но Гёдель нащупывал это, так как очень быстро понял, что это правда, после доказательства теоремы, и признал, что объяснение дал Тьюринг, и отказался от своего собственного подхода к вычислениям в пользу тьюринговского. Причина, по которой мне может сойти с рук подобное доказательство, состоит в том, что все мы знакомы с понятиями «компьютер» и «компьютерная программа», и все мы знаем, что любой точный алгоритм может быть запрограммирован на компьютере, и что один компьютер так же хорош, как и другой.

Непосредственные философские выводы:

Существует общепринятое представление о том, что значит иметь точно определенный набор правил.

На самом деле вы можете построить машину, которая может имитировать любой другой точно определенный набор правил.

Любые две такие машины эквивалентны: A может имитировать B, а B может имитировать A.

Если физика существует (если есть точный набор правил, пусть даже вероятностных, для моделирования природы), универсальная машина (оснащенная генератором случайных чисел) может моделировать все, что угодно в природе.

Отсюда следует, что:

Полное поведение человека может быть смоделировано универсальным компьютером.

С правдоподобным логическим позитивистским предположением это означает, что

Компьютер — это машина, способная мыслить.

Это понимание принадлежит Тьюрингу. У фон Неймана есть следующее понимание:

Компьютер — это машина, способная моделировать поведение биологических систем. Теорема Геделя аналогична самовоспроизведению.

Это бесспорно самые важные философские открытия всех времен. Предшественником этого являются попытки Либница создать философскую машину, которая могла бы рассуждать механически. Лейбниц понимал некоторые последствия использования компьютера.

Философские следствия самой теоремы Геделя

Теорема Геделя показала, что если принять философскую позицию, согласно которой утверждение «программа P не останавливается» абсолютно осмысленно, то не существует фиксированной аксиоматической системы, способной доказать все эти осмысленные истины. Это вроде как очевидно — программа, выводящая из аксиом, не может слишком много доказать о себе без противоречия.

Но что более важно, он показывает вам, как создавать более сильные системы — присоединяя аксиому «S непротиворечиво», вы получаете новую систему, которая делает систему сильнее. Это означает, что у любой системы аксиом есть более сильная система — гёделевское отражение.

S + «S непротиворечиво»

строго сильнее S.

Вы можете повторять эту процедуру, повторяя отражение Гёделя. На бесконечности барьера нет --- можно рассматривать систему, являющуюся бесконечным геделевским отражением, как объединение всех теорем, доказанных на n-м этапе (есть специальная программа, которая распечатает выводы--- вам не нужна теория множеств, чтобы сделать итерацию точной, по крайней мере, не для достаточно малых бесконечных порядковых номеров). Процесс итерации гёделевского отражения воспроизводит канторовские ординалы.

Это отвечает на вопрос математической философии

Зачем нужны ординалы?

Это полностью оправдывает теорию множеств Кантора. Теория множеств Кантора требуется, чтобы дать Гёделю размышления о теориях, прошедших омегу. Однако это не оправдывает всю метафизику, а только порядковые числа после целых чисел.

По мере того как вы поднимаетесь вверх по списку порядковых номеров, порядковые номера становятся все более сложными компьютерными программами (каждый порядковый номер — это «процесс», по словам Пола Коэна). Традиционно вы можете определить предел всех ординалов, которые могут быть представлены на компьютере в рамках теории множеств, и это называется порядковым номером Чача-Клине. Вы можете приблизиться только к порядковому номеру Черча-Клин по сложности.

Дальнейшее развитие

Вслед за Гёделем Генцен доказал непротиворечивость арифметики Пеано в рамках очень ограниченной аксиоматической системы (PRA --- слабый фрагмент PA) с дополнительным предположением

Порядковое эпсилон-ноль хорошо обосновано

С этого момента стало ясно, что доказательства непротиворечивости сложных теорий могут быть получены из простых теорий при единственном сложном допущении обоснованности некоторого счетно-вычислимого ординала. Для PA порядковый номер был не так уж и сложен, так что есть вопросы (например, проблема Пэрис-Харрингтона, или проблема гидры, или теорема Гудштейна), которые эквивалентны обоснованности эпсилон-ноль, и, таким образом, не могут быть доказаны в рамках PA, но которые эквивалентны непротиворечивости PA, поэтому они доказуемы в любой теории, которая может доказать непротиворечивость PA.

Предмет теории порядкового доказательства пытается сопоставить порядковый номер, как можно более точно описываемый, с каждой математической теорией. Эта программа имеет успех с некоторыми теориями множеств, и нет никаких препятствий для доказательства непротиворечивости любой теории, какой бы бесконечной она ни была. Итак, еще один смысл

Можно завершить программу Гильберта и доказать непротиворечивость несчетно бесконечных математических систем, только используя счетные вычислимые ординалы, которые могут быть представлены на компьютере.

Эта программа действует и сегодня, но она еще не доказала состоятельность ZF. Отчасти это потому, что многие люди продолжают говорить, что это невозможно сделать из-за теоремы Геделя.

Основное предположение в этих идеях состоит в том, что процесс создания ординалов, приближающихся к порядковому номеру Черча Клини, можно каким-то образом понять, хотя его нельзя формализовать в виде компьютерной программы. Этот процесс усложняется по аналогии с биологической эволюцией, и непонятно, как далеко мы можем зайти в рамках наших человеческих ограничений.

Ложные последствия

Есть много ложных следствий теоремы Геделя.

Мы больше, чем компьютеры

Эта интерпретация исходит из того факта, что мы можем понять, что программа P не останавливается (а именно SPITE для данной формальной системы), даже если формальная система не может. Чтобы увидеть, что это ложный вывод, вам просто нужно посмотреть, что делает SPITE: он моделирует систему, ищет предсказание и назло ему! Нет причин, по которым вы не можете сделать это с человеком:

Если вы можете симулировать человека, вы можете предсказать его выбор и вопреки его решению --- так что вы сможете положить миллион долларов в коробку А только в том случае, если человек выберет коробку Б.

Это точный аналог теоремы Геделя в человеческом мире, и это известная философская проблема. Есть также заявления

Джон Серл не может последовательно верить этому утверждению.

которые в точности аналогичны, и Джон Серл не может поверить, хотя это правда. Хотя, чтобы сделать это логическим утверждением первого порядка об арифметике, вы должны дать вычислительную модель убеждений Серла, что может быть невозможно из-за случайности. Но идея та же самая: то, что система аксиом не может знать, но мы можем знать, относится к самой системе.

Есть и другие конструкции, принадлежащие Чайтину, которые перефразируют теорему о неполноте следующим образом.

Никакая программа не может доказать, что колмогоровская сложность любой строки больше, чем длина программы плюс фиксированная константа.

Но с вычислительной точки зрения это просто означает, что ни один человек не может доказать, что колмогоровская сложность строки больше, чем сложность программы, моделирующей этого человека. Поскольку у нас такое тяжелое время даже с небольшой колмогоровской сложностью, это безопасный прогноз.

Таким образом, из теоремы Геделя нет никаких следствий, которые подразумевают, что вычислительная теория разума ложна. Есть другие идеи

Теорема Геделя говорит, что семантика не формализуема

Это тоже не совсем верно — теорема Геделя утверждает, что семантика остановки компьютерных программ только приблизительно аксиоматизируется усилением систем, а процесс усиления неалгоритмичен на верхнем уровне. Но точная природа неалгоритмичности может заключаться в простом названии все более крупных вычислимых счетных ординалов, которые приближаются к порядковому номеру Черча Клини, и это может быть разумным образом возможно с точки зрения эволюции.

Теорема Годе убивает программу Гильберта

поскольку программа Гильберта разработала порядковый анализ в ответ на теорему Геделя, это неверно. Это делает наивную реализацию программы Гильберта невозможной, но точка зрения порядкового анализа вовсе не наивна, и это именно те основания, которые можно ожидать от математики, которая бесконечно богата и бесконечно сложна.

Николай-К

Как связаны S и R? Пункт 2 в списке SPITE не слишком точен, я не знаю, почему я должен знать, что свойство остановки программы будет закодировано или даже может быть закодировано в рамках, инициированных правилами S. Я не знаю, как перевести предположения о S на компьютер. Что подразумевает допущение или как оно обосновывается. Доказательства/строки для меня понятнее, чем вычисления. Кроме того, строка после «Я предполагаю, что S непротиворечива». сбивает меня с толку. Я думаю, это как-то связано с тем, что оригинальное доказательство Гёделя сформулировано как кодирование доказательства на языке арифметики.

Рон Маймон

@NickKidman: Я предполагаю, что вы знаете какой-то универсальный компьютер с памятью M и функцией команд f, так что состояние после n тактов равно f(f(f(..(f(M))...) (f повторяется n раз на M). Основное предположение относительно S состоит в том, что: 1. должно быть доказано для любого фиксированного M, что n-кратная итерация f на M есть M' (где M' - фактический ответ --- это конечный расчет), 2. он должен быть в состоянии сформировать предложение «(для всех n) f-промежуточных-n-раз на M не останавливается». Оба они верны в любой разумной модели математики.

Рон Маймон

Утверждение, следующее за «S является непротиворечивым», — это просто переформулировка согласованности. Если S непротиворечива и доказывает, что «P не останавливается», то P не может остановиться после n шагов, потому что S знает, сколько f-итераций-n-раз в начальном состоянии памяти программы P, и, таким образом, это доказывает, что P останавливается, и это было бы противоречием. И наоборот, если S непоследовательно , оно докажет что угодно, в том числе и то, что останавливающаяся программа не доказывает. Итак, S непротиворечиво тогда и только тогда, когда (S доказывает, что «P не останавливается» подразумевает, что P не останавливается). С другой стороны, S может доказать «P halts» для программ без остановок, это «омега-несогласованность».

пользователь20253

Спасибо за очень полезный очерк. Многое из этого выше моего понимания, но это моя вина. Я совершенно не согласен с аргументом, который вы приводите, чтобы показать, что машинное сознание возможно, возражением, связанным с «универсальным понятием вычислений», которое вы упоминаете. Я очень хотел бы обсудить это с вами, так как мне нужно знать, справедливо ли мое возражение. У вас есть время? через восемь лет после публикации вашего ответа, чтобы поболтать?

айул

«Любые две такие машины эквивалентны — А может имитировать Б, а Б может имитировать А». Это технически верно? Предположим, что A и B имеют m и n бит памяти соответственно, и p бит требуется для программы моделирования. Чтобы A мог имитировать B, ему требуется n + p битов памяти, поэтому m > n. Но чтобы B имитировал A, нам нужно n = m + p, но m > n, так что это невозможно. Только А может имитировать В или В может имитировать А, но не то и другое одновременно.

Марко Диске

Я думаю, что это также имеет некоторые последствия для философии математики, в частности, для радикального формалистического взгляда, который рассматривает математику как простую формальную игру без какого-либо реального смысла. У этой точки зрения есть проблема с результатом Геделя: теорема действительно показывает, что мы можем делать математические выводы вне любых возможных фиксированных (и достаточно строгих) формальных условий, поэтому, если математика просто «играет с формальными правилами», неясно, как идентифицировать эти правила любым разумным способом, поскольку любой возможный набор правил, который вы можете предоставить, оказывается необоснованно слабым по результату Гёделя.

Аникс

Никакое измерение изнутри наблюдаемой системы не может быть информационно полным.

https://homepages.fhv.at/tb/cms/?download=tbDISS.pdf

Митч

Можете ли вы уточнить?

Аникс

Предложенный вопрос: «Вторая аналогия становится очевидной, когда мы переформулируем основной результат еще по-другому. Напомним, что наблюдаемая называется информационно полной, если путем ее измерения можно выделить все состояния. Теперь основной результат можно сформулировать в виде образом, напоминающим теорему Геделя о неполноте: никакое измерение изнутри наблюдаемой системы не может быть информационно полным. Эти выводы справедливы как для классических систем, так и для квантовых систем, и независимо от характера временной эволюции».

Рон Маймон

@Anixx: Хотя это правда, разве это не очевидно? Сама система состоит из очень многих битов — как вы можете узнать о ней изнутри? Вам понадобится больше битов, чем в системе, верно?

Аникс

Да, это совершенно очевидно, но следствие таково.

Аникс

«Если теория общезначима в абсолютном смысле, она не допускает существования наблюдателя, не описываемого этой теорией. Возьмем Ou как самую большую систему, описываемую абсолютно общезначимой теорией. (Ou можно было бы назвать «миром», или «вселенная».) Поскольку все потенциальные наблюдатели описываются теорией, у Ou нет никакого внешнего наблюдателя. 1 есть некоторые состояния Ou, которые не может точно измерить ни один наблюдатель, даже все они вместе.

Аникс

(...) Таким образом, ни один эксперимент не может различить все состояния Ou. (...) Допустимо ли, что абсолютно общезначимая теория описывает системы, для которых нет экспериментов, которые хотя бы в принципе могут различать все состояния? Как вы ответите на этот вопрос, зависит от ваших философских склонностей».

Аникс

Таким образом, это просто говорит о том, что никакая теория не может описать всю вселенную так, чтобы согласовать все измерения наблюдателя, потому что сам наблюдатель включен во вселенную. Никакая экспериментально проверяемая теория не может описать самого наблюдателя. Это означает, что для любого наблюдателя неправильно говорить, что он сам состоит из атомов и других вещей, подобных другим людям, потому что теория, которая утверждает это, недоказуема экспериментом.

Аникс

И далее автор показывает, что для квантовой системы действует еще большее ограничение: наблюдатель не только не может точно измерить все состояния системы, в которую он входит, но и не может различить некоторые состояния попарно.

Цицерон

Привет @Anixx. Не могли бы вы добавить свои комментарии в ответ (они дают хорошее описание ссылки). Как правило, ответы только со ссылками, содержащие только предложение с объяснением, не приветствуются (это действительно комментарий).