Почему Modus Ponens действителен?

Перейдем сразу к концу.

тогда тривиально, что логика циклична.

Правильный. Логика круговая.

Обратите внимание, что из-за Трилеммы Агриппы есть только три вещи, на которых может быть основана логика: необоснованные аксиомы, которые мы принимаем на веру, круговые рассуждения или бесконечный регресс. Или, конечно, сочетание этих трех.

Льюис Кэрролл классно продемонстрировал , что Modus Ponens основан на бесконечном регрессе.

Нет никакого способа доказать Modus Ponens, кроме одного из трех рогов трилеммы Агриппы.

Такие вот дела.

Я не уверен, что следую деталям вашего вопроса: вторая схема аргумента, которую вы представляете, конечно, действительна. Мы могли бы дать этой схеме название modus ponens . Что именно последует? Факт остается фактом: modus ponens (первая схема) также действителен.

В любом случае, и в связи с вашим более широким беспокойством, логика находится на дне. То есть не существует нелогического способа определить, что такое логическая константа или что такое логическое следствие. Лучшее, что вы можете сделать, это предоставить иллюстрации и модели, которые могли бы помочь получателю «определения» понять, каково предполагаемое значение следствия . Например, так: рассмотрим все логически возможные миры. P влечет за собой Q тогда и только тогда, когда каждый такой мир, в котором P, является миром, в котором Q. Опять же, я не вижу, как это ставит под угрозу достоверность modus ponens.

Вы можете прочитать запись SEP о логических константах для развития этих идей.

Между прочим, по крайней мере опубликованный философ предложил контрпример modus ponens! На math SE есть обсуждение примера . FWIW, никто не перестал верить в modus ponens из-за статьи МакГи, но вот так.

Чтобы представить упомянутой инопланетной цивилизации адекватное определение Modus Ponens, нам нужно было бы предоставить значения истинности как P, так и Q для каждого возможного случая, а не только для одного или другого и только для некоторых случаев. (Если бы мы в более общем смысле применяли ваш метод раскрытия только части вывода, мы могли бы вообще избежать адекватного определения какой-либо функции , потому что мы всегда могли бы повторять предпосылки ( или просто добавлять тавтологию , такую ​​как (P или ~ P)) в нашем выводе вместо предоставления какой-либо новой информации).

Что отличает MP от дизъюнкции (P или Q), так это то, что в последнем случае P и Q не могут оба быть ложными при одной и той же интерпретации, в то время как в случае логического следования Q не может быть ложным, в то время как P является ложным. истинный. Это было бы очевидно для вашей гипотетической цивилизации.

Пост mathoverflow, на который вы ссылаетесь, посвящен попыткам обойти способность делать несвязанные тавтологические выводы, пытаясь установить правила для требования связанности, но это в основном вопрос психологии, потому что формальная логика не претендует на что-либо, кроме сохранения правда, и что это делает. Однако эти усилия делают логику более полезной для людей, потому что они создают ограничения, подобные рассуждениям.

... PS Как упомянул @Schiphol, материальное условное условие не имеет ничего общего с причинно-следственной связью. Скорее, оно диктует, что ЯВЛЯЕТСЯ истинным прямо сейчас, учитывая, что что-то другое ЯВЛЯЕТСЯ истинным прямо сейчас. Просмотрите аргументы сослагательного наклонения, чтобы увидеть некоторые проблемы с функциональностью истинности при попытке ввести временные квалификаторы в логику высказываний. Для такого рода вещей существуют отдельные темпоральные модальные логики , поскольку пропозициональная логика на самом деле недостаточно выразительна .

Потому что мы говорим, что это:

[...] при попытке обосновать МПП возникают трудности, аналогичные пресловутым трудностям, возникающим при попытке обосновать РИ.

(3) Прежде всего я рассматриваю предположение о том, что дедукция не нуждается в обосновании, что призыв к доказательству того, что MPP сохраняет истину, каким-то образом ошибочен.

Аргумент в пользу этой позиции может быть следующим:

Аналитическим является то, что дедуктивно верный аргумент сохраняет истину, поскольку под «действительным» мы подразумеваем «аргумент, посылки которого не могут быть истинными, если его заключение также не будет истинным». Таким образом, не может быть серьезного вопроса о том, сохраняет ли дедуктивно обоснованный аргумент истину.

Кажется достаточно ясным, что любой, кто рассуждает подобным образом, станет жертвой путаницы. Согласитесь, если мы примем семантическое определение слова «дедуктивно верный», из него немедленно следует, что дедуктивно верные аргументы сохраняют истину. Но проблема заключалась в том, чтобы показать, что конкретная форма аргумента, дедуктивно значимая в синтаксическом смысле, сохраняет истину; и это настоящая проблема, от которой просто уклонялись. [...]

[...] Рассмотрим следующую попытку оправдать MPP:

A1 Предположим, что «А» истинно, и что «А => В» истинно. Согласно таблице истинности для «=>», если «А» истинно и «А => В» истинно, то и «В» также истинно. Так что «В» тоже должно быть правдой .

У этого аргумента есть серьезный недостаток: он имеет именно ту форму, которую должен оправдывать. Ибо идет:

A1' Предположим, что C (что 'A' истинно и что 'A => B' истинно). Если C, то D (если «A» истинно и «A => B» истинно, «B» истинно). Итак, D ("B" тоже верно) .

[...] можно поддержать интуитивную гипотезу о том, что с A1' что-то не так, несмотря на то, что это не вызывает прямых вопросов, показав, что если A1' поддерживает MPP, точно аналогичный аргумент поддержал бы дедуктивно недействительное правило, сказать:

ММ (модус дебилов);

Откуда: А => Б и Б

сделать вывод: А.

Таким образом:

A4 Предположим, что «A => B» истинно и «B» истинно, «A => B» истинно => «B» истинно. Теперь, по таблице истинности для «=>», если «А» истинно, то, если «А => В» истинно, «В» истинно. Следовательно, «А» верно .

Этот аргумент, как и А1, имеет именно ту форму, которую он должен оправдать. Ибо идет:

A4' Предположим, что D (если верно "A => B", то истинно "B"). Если C, то D (если «A» истинно, то, если «A => B» истинно, «B» истинно). Итак, C («А» верно) .

Бесполезно протестовать против того, что А4' не оправдывает modus morons , потому что использует недействительное правило вывода, в то время как А4' оправдывает modus ponens , потому что использует действительное правило вывода, чтобы оправдать наше убеждение в том, что MPP действителен и ММ не является именно тем, о чем идет речь.

Хаак, С. (1976). Обоснование вычета. Разум, 85 (337), 112-119.