Я слышал, как многие говорят, что доказательство Гёделя показывает, что человеческий интеллект каким-то образом превосходит возможности компьютера. Только мне это когда-то очень плохо артикулировали, хотя и не из-за того, что я не пытался. Я согласен с этим выводом по другим причинам, но я просто не понимаю, каким должен быть аргумент, относящийся к доказательству Гёделя.
Так что же это должно быть?
Редактировать: Другой способ спросить об этом может быть: каково конкретное качество очень сложного доказательства Гёделя, которое важно для понимания познания и которое нельзя продемонстрировать другим, более простым способом. Ответ может заключаться в том, что ничего нет, но так много людей настаивают на том, что в доказательстве Гёделя есть что-то особенное, имеющее отношение к познанию, что я чувствую необходимость задать этот вопрос.
Что касается теоремы Гёделя о неполноте, нам нужно сначала понять с разумной точностью, что она утверждает; см. Torkel Franzén, теорема Гёделя. Неполное руководство по ее использованию и злоупотреблению (2005):
Первая теорема о неполноте (Гёделя-Россера) . Всякая непротиворечивая формальная система S, в рамках которой может быть осуществлено некоторое количество элементарной арифметики, неполна по отношению к утверждениям элементарной арифметики: есть такие утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в S.
Ключевые понятия: формальная система , непротиворечивость и «некоторое количество элементарной арифметики».
О первом:
В популярных формулировках теоремы Гёделя условие такого рода (применительно к аксиомам) [о «механизируемости рассуждений в формальной системе] иногда включается в виде оговорки о том, что аксиомы формальной системы конечное число. Это означает, что аксиому можно ("в принципе") распознать как таковую, просматривая конечную таблицу. Но это условие на самом деле не выполняется многими формальными системами, изучаемыми в логике, такими как PA и ZF Эти системы имеют бесконечное число аксиом, но проверка того, является ли конкретное предложение аксиомой, по-прежнему является механическим делом.
Насчет «некоторого количества элементарной арифметики» эту мысль можно уточнить; грубо :
Любая система, язык которой включает в себя язык элементарной арифметики, а теоремы включают некоторые основные факты о натуральных числах, несомненно, удовлетворяет условию.
Теорема доказывает, что при сделанных предположениях мы можем «эффективно» построить формулу G на языке формальной системы S (т. е. формулу, «состоящую» из чисел и операций над ними, т. е. + и х), такую что ни приведенная выше формула не доказуема в системе (т. е. не выводима с помощью обычных правил вывода из аксиом системы), ни ее отрицание не-G.
Эта «странная» формула изготовлена таким образом, что ее «интерпретация» является истинным утверждением, потому что формула «говорит о себе», что она недоказуема, и она действительно недоказуема; таким образом, если система работает так, как мы хотим, формула должна быть верной.
И что ? Гёдель не «вычислил», что наши алгоритмы не в состоянии выполнить. Он сделал математическое доказательство с помощью обычной математической техники: проницательности и рассуждений.
Из его теоремы следует, что касается темы, которую мы обсуждаем, заключается в том, что способность математической логики «воспроизводить» в единую формальную систему S, работающую алгоритмически, обычные рассуждения, которые математический (т. «в единую формальную систему.
Чтобы формализовать построение доказательства Гёделя в формальную систему, мы должны построить новую (более мощную) систему S'; но тогда мы можем воспроизвести построение приведенной выше формулы, получив новую формулу G' для S', и так далее.
Можем ли мы сделать вывод о неисчерпаемости наших математических знаний? Кажется, да [см. Franzén, стр. 56].
Теорема Гёделя о неполноте часто грубо неверно истолковывается, когда обсуждаются вопросы интеллекта и искусственного интеллекта.
Его теорема утверждает, что существуют математические утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Компьютер, ищущий доказательство, не сможет его найти. Компьютер, ищущий доказательство и не сдающийся, застрянет. Но блестящий математик, ищущий доказательство, также не найдет его. И если этот математик не сдастся, он или она тоже застрянут навсегда.
Он обнаружил, что это проблемы, которые не может решить ни один компьютер. Однако эти же проблемы не под силу решить и человеку. Некоторые люди, кажется, думают, что неразрешимая проблема создаст проблемы для искусственного интеллекта. Но, конечно же, любой искусственный интеллект, достойный этого имени, был бы способен понять, что проблема сложна, слишком сложна для ее решения, и тогда, как это сделали бы люди, единственный выход — сдаться.
Вы правы, это не лучшее выражение результата Геделя. Его результат состоит в том, что не существует конечно аксиоматизируемой теории арифметики. Чтобы раскрыть некоторые (но не все, потому что распаковка всего этого заставит нас задержаться здесь на некоторое время, а у меня нет Сникерса), «теория арифметики» — это любой набор предложений, вытекающих из языка первого порядка, вместе с набор нелогических аксиом, из которых следуют в точности истинные арифметические равенства. «Конечно аксиоматизируемая» теория арифметики — это любая теория арифметики, для которой набор нелогических аксиом конечен по размеру.
Если бы мне пришлось изложить это в моем собственном выражении, максимально приближенном к естественному языку, я бы сказал: «Если бы компьютеру была дана программа, предназначенная для получения всех и только истинных арифметических равенств, всегда будет какое-то истинное равенство, которого он будет систематически упускать».
Диплория
Мауро АЛЛЕГРАНСА
Лукас
Мауро АЛЛЕГРАНСА