Почему в октаве двенадцать нот?

Для этого необходим экскурс в историю музыки.

Первоначально инструменты были созданы для того, чтобы просто играть ноты, которые вместе звучали «правильно». Почему одни ноты звучали правильно, а другие неправильно, не было большой проблемой на протяжении большей части истории человечества, пока Пифагор (да, парень с теоремой ) не заметил, что это связано с интервалами, и не создал музыкальную теорию, основанную на идеальных квинтах. . Однако у этой теории были свои проблемы, и она была улучшена более поздними людьми, в конечном итоге придя к так называемой « справедливой интонации » .

В основном ноты звучат гармонично, если частота нот близка к простому интервалу, например 3/2 или 5/4. Эти теории были важны, потому что это означало, что разные производители инструментов могли создавать инструменты, которые могли бы играть гаммы вместе, создавая тем самым оркестры.

Но только с настройкой есть проблема: в основном вы можете играть только в той гамме, для которой создан инструмент, потому что интервалы между нотами разные. Если вы сыграете мелодию в неправильном масштабе, она будет звучать фальшиво. Это означает, что если вы хотите петь вместе с инструментом, вы должны найти певца, чей диапазон соответствует песне в гамме, для которой создан инструмент. Вы не можете транспонировать песню под исполнителя. Кроме того, музыканты исследовали пределы того, что можно было сделать, используя только интонированные инструменты.

Так из этого вышел тогда равноправный темперамент . Он разбивает гамму на равные интервалы, что означает, что вы можете транспонировать мелодию в другие тональности, а также означает, что вы можете делать драматические изменения аккордов и другие интересные вещи. Вы действительно можете разделить октаву на 11 или 13 нот, если захотите, но для большинства людей это будет звучать фальшиво . Но когда вы разделяете его на 12 нот, вы достаточно близко подходите к семи нотам простой интонации, чтобы это было терпимо, за исключением некоторых несчастных, предположительно обремененных сверхактивным абсолютным слухом. Пять тонов, находящихся между основными семью, как и следовало ожидать, называются «полутонами».

Существуют равные темперации, отличные от 12 тонов на октаву, которые будут звучать нормально, но они обычно не имеют целого числа нот на октаву. Венди Карлос много экспериментировала с этим и создала такие гаммы, как гамма, с немного ошеломляющими 34,29 нотами на октаву.

Этот вопрос на math.se очень похож на то, что вы спрашиваете, и ответы дают много деталей:

Математическая разница между белыми и черными нотами на фортепиано?

Здесь происходит чрезвычайно удобное математическое совпадение: несколько степеней 2^(1/12) оказываются хорошими приближениями к отношениям малых целых чисел, и их достаточно, чтобы играть западную музыку.

Два момента, на которые, возможно, не было полного ответа.

• Почему до мажор является эталонной шкалой для натуральных тонов?

  Англо-саксонская нотация немного затемняет историю. Традиция церковной музыки привела в Италии (затем вскоре после Франции и Испании) к именованию нот эталонной мажорной гаммы с помощью обычных слогов: Ut Re Mi Fa Sol La Si (это соответствует CDEFGAB ), происходящее из латинской лирики очень известного кусочек того времени. Последняя однобуквеннаянотация берет другую отправную точку, но эталонный характер гаммы до мажор сохранился в странах Запада, даже если вы можете найти свидетельства нотной записи и клавиатуры, используя другие ноты в качестве эталона. Одно из основных влияний было созданием клавишных инструментов (особенно церковного органа). Текущая раскладка клавиатуры представляет собой компромисс между типичной шириной рук, легкостью игры в мажорной гамме Ut (теперь в основном называемой Do или C ) и доступом ко всем полутонам и некоторыми другими вещами. Другие проекты не были столь успешными.

  Вы также должны знать, что теоретизирование и стандартизация музыки, по крайней мере, до 19-го века осуществлялись под покровительством церквей (православных, католических, реформаторских, ...), стремящихся к единообразию. В девятнадцатом веке произошла еще большая стандартизация и интернационализация настройки, преподавания музыки и доминирования фортепиано в качестве эталонного и композиторского инструмента. Последние три столетия постепенно подавляли или предали забвению большинство расходящихся традиций (в отношении гамм, ладов, настройки) в Европе. В настоящее время людей, изучающих музыку, в качестве доказательства учат гамме до мажор как основе теории музыки, а минорную гамму и ее варианты не всегда воспринимают справедливо.

• Почему между E и F и B и C есть полутон, а не где-либо еще?

  Существует несколько гамм / ладов за пределами мажорной гаммы с разным количеством нот, где полутона не помещаются между 3-й и 4-й нотами и между 7-й и 8-й. Например, три минорных гаммы (гармоническая, восходящая, нисходящая), а также дорийская , фригийская , о них можно прочитать в энциклопедической статье .

Это связано с гармонией. Ноты меньше всего конфликтуют, когда их частоты совпадают . Например, нота и ее октава совпадают каждые два цикла или соотношение 2/1. Другие соотношения, которые звучат хорошо, это 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5 и 8/5; они называются основными согласными интервалами. Интервалы, которые сталкиваются, являются диссонирующими интервалами.

Так почему же двенадцать нот?

Двенадцатитоновая равнотемперированная гамма — это наименьшая равнотемперированная гамма, которая содержит все семь основных интервалов согласных с хорошим приближением — в пределах одного процента — и содержит больше согласных интервалов, чем диссонирующих интервалов.

Эта страница (из которой я цитировал) содержит более подробную информацию: http://thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm

Квинта - это наименьший неоктавный согласный интервал с соотношением частот 3: 2. Если вы начнете складывать чистые квинты, первый результат, достаточно близкий к сложенным октавам (2:1), будет равен 12 квинтам, что окажется равным 531441:4096, в отличие от 128:1 для 7 октав. Это максимально возможное значение для разумного количества нот на октаву. Так что, если вы ищете тональность, построенную из сложенных октав и почти идеальных квинтов, двенадцатитоновое разделение будет в значительной степени тем, к чему вы придете.

Это также случается для обслуживания нескольких других интервалов (например, больших и второстепенных терций), но хуже, чем квинты. «темперамент среднего тона» пытается получить несколько чистых мажорных терций за счет ухудшения звучания нескольких других интервалов, а некоторые терции, а «хорошо темперированный строй» получает несколько чистых квинтов и несколько хороших терций в обмен на несколько более неприятных. пятые.

Таким образом, на протяжении тысячелетий тюнинг сменил фокус с чистых терций на чистые квинты и, в конце концов, остановился на том, чтобы сделать чистыми только октавы и построить остальную часть гаммы вокруг равнотемперированной квинты, в результате чего получилось 12 равнотемперированных полутонов.

Когда две ноты играются вместе, они звучат приятно, только если их волновые кривые сходятся каждые несколько циклов. Мы называем их гармоническим звучанием.

Если кривые волны никогда не сходятся или не сходятся в течение нескольких циклов, они звучат несогласованно.

Волновые кривые сойдутся только в том случае, если две частоты кратны друг другу. Например, если одна частота составляет 200 циклов в секунду, а другая — 600 циклов в секунду, их звуковые кривые будут совпадать ровно 3 раза в секунду, и они будут звучать гармонично.

Разделив каждую октаву на 12 интервалов, вы максимизируете количество приятно звучащих пар нот. Это потому, что число 12 делится на большее количество меньших чисел, чем любое другое число меньше 60. Оно делится на 1, 2, 3, 4 и 6. Число 60 допускает более приятные комбинации (1, 2, 3, 4 и 5), но было бы нелепо делить октаву на 60 интервалов.

Так в современной западной музыке используют 12 интервалов. Это обеспечивает максимальное количество приятно звучащих комбинаций для создания гармонии.

Равный темперамент имеет частоты в геометрической последовательности . Обычно предполагается, что октавы будут представлены идеально, поэтому частоты можно рассчитать с помощью f=A*2^(i/n), где A — стандартная высота звука (часто 440 Гц), i — любое целое число, а n — количество нот на октаву.

Возможные соотношения частот также являются геометрическими и обозначаются как r=2^(i/n). Приятным соотношением является 3/2, и мы хотим близко приблизиться к нему. Другими важными соотношениями являются простые, такие как 4/3 и 5/3.

Здесь может помочь визуализация. Изменяя количество нот на октаву, мы можем проверить, насколько хорошо простые отношения аппроксимируются геометрической последовательностью. Я использую логарифмическую шкалу по горизонтальной оси, поэтому геометрическая последовательность кажется равномерно распределенной (аналогично клавишам фортепиано).

Мы видим, что 12 нот намного лучше приближают 3/2, чем большинство вариантов. Также случается, что он довольно хорошо аппроксимирует другие отношения.

Еще одно соображение заключается в том, насколько точно человеческое ухо настроено на точные частоты. Коллмейер и др. подсчитали, что едва заметные различия составляют около 0,6% (Kollmeier, Brand & Meyer 2008, стр. 65), что является наименьшим соотношением, когда на октаву приходится 116 нот. Таким образом, это устанавливает разумный верхний предел количества нот на октаву.

Причина в МОЗГЕ. Мозгу нравятся частоты, имеющие простые пропорции. Он думает, что они идут вместе. Вы действительно должны сначала спросить, почему существуют октавы?

Итак, октава представляет собой удвоение/уменьшение вдвое герц (циклов в секунду).

Итак, средняя миди-до составляет 256 Гц, и если вы знаете числа на своем компьютере, вы поймете, что следующие октавы до 512, 1024, 2048 и т. д., а нижние октавы — 128, 64 и (прокачай свою поездку ) 32.

Землетрясения, кстати, происходят с частотой около 11 герц.

Каждое общество начинается с октавы. «Потому что 1/2. Понятно?

(Кстати, я предлагаю, чтобы 2-я венская школа отказалась от октавы, а также от настройки инструментов. Ни то, ни другое не имеет для них никакого смысла. Нынешнее положение вещей с октавами, настройкой и тому подобным — чистое лицемерие. Отпустите, мальчики! забивает. И играет на публике. Все равно никто не приходит.)

Хх Хм...

Как разделить октаву?

Если мы начнем с ноты C и разделим ее на 3 (это хорошая пропорция для мозга), мы получим прекрасную гамму из 3 нот:

До, Ми, Соль#, До

Как насчет того, чтобы разделить его на четыре:

До, Ми-бемоль, Фа#, Ля, До

«Это хорошо, — говорит мозг, — но это слишком СИММЕТРИЧНО. Обе эти шкалы, кажется, продолжаются вечно и вечно, я не могу сказать, что к чему. Я знаю! они немного более неравномерны? Тогда я могу понять басовую ноту».

Так родилась "Proto Major Thingy":

С, Е, Г, С

и "Proto Minor Thingy":

С, Эб, Соль, С

«Подожди немного, — говорит мозг, — ты пропустил заметку, не так ли?».

"Где?"

«Между G и C, я почти уверен, что у вас было что-то между G и C».

С, Е, Г, А, С?

"Это ХОРОШО! Рок-н-ролльный. Тогда давай, а что насчет другого?"

До, Ми-бемоль, Соль, Си-бемоль, До?

«Эй, что за си-бемоль? Мы никогда не слышали этого раньше. Что это за пропорция?»

«Это 10/12».

«Ты имеешь в виду 5/6. Хорошо. Сыграй еще раз».

До, Ми-бемоль, Соль, Си-бемоль, До

"Кей, это блюз. Хорошо! Но это было 70 000 лет назад, и вокруг куча несчастных ублюдков бродят по пейзажам, которых грызут и жуют саблезубые тигры и тому подобное. Много похорон. Много грусти. Как Трамп в наши дни, вы должны знать !Нужно разнообразие."

"Перестановки?"

"Покажите мне."

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

"Что такое пропорция F?"

"4/3"

"Отлично! Мне нравится. 5 нот. Давай дадим ему красивое греческое имя. Немного поярче. Пента...?"

"Тоник?".

"Это прекрасно".

«Я пошутил. Знаешь, слишком буквально…»

"Неважно. Это круто. Мы пойдем с Pentatonic. Больше! Нам НУЖНО БОЛЬШЕ! Теперь есть вожди, землянки, украшения"

«Мне нужны некоторые правила».

"Хорошо. Э-э... оставьте минорную терцию или мажорную терцию и квинту там, где она есть, и просто переместите остальные... Я знаю, вот так: переместите седьмую вверх, шестую вниз, четвертую вверх и второй вниз!"

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F#, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F#, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C , ре, ми, соль, аб,
СС, ре, ми, соль, си
, си, СС, ре, ми, соль, си, до

"Эй, тогда, если мы наложим их все, мы получим 12 частей октавы! Гениально!"

C, Db, D, Eb, E, F, F#, G, Ab, A, Bb, B, C

«Вот почему меня зовут МОЗГ, сынок. О, пожалуйста».

Что касается западной музыки, то греки были первыми, кто вычислил математику, которая естественным образом проявляется в гармонических обертонах, генерируемых валторнами и другими духовыми инструментами. Греки применяли те же математические соотношения (золотое сечение) к струнам. Пифагор изобрел пифагорейскую настройку чистых квинтов (3:2) и октав (2:1), чтобы соответствовать естественным гармоническим обертонам. Позже греки изобрели 7 модальных гамм на основе пифагорейского строя. Семь режимов с восемью нотами в гамме. Эти шкалы были ионийскими, дорийскими, фригийскими, лидийскими, миксолидийскими, эолийскими и локрийскими. Мы по-прежнему используем ионийский (мажорный) и эолийский (минорный) языки. Недостаток естественных гармоник в том, что октавы между каждым ладом немного отличались друг от друга. Аристоксен в 4 веке до нашей эры изобрел 12 тонов между октавами, пытаясь использовать такое же соотношение между каждой нотой. Позже были изобретены тональности, чтобы использовать эти 12 тонов в качестве основы для каждой гаммы. Проблема была в том, что по своей природе эти клавиши немного отстоят друг от друга. Чтобы решить эту проблему, Дж. С. Бах в начале 1700-х годов продвигал использование темперированной гаммы. Он уравнял естественный разрыв между каждым из двенадцати полутонов. Медные духовые инструменты в период барокко имели набор крючков разного размера, которые можно было регулировать для каждой тональности, в которой они играли. Струнные инструменты также должны были перенастраиваться для каждой смены тональности. Используя темперированную гамму, исполнитель мог переключаться между всеми тональностями без повторной настройки. Он уравнял естественный разрыв между каждым из двенадцати полутонов. Медные духовые инструменты в период барокко имели набор крючков разного размера, которые можно было регулировать для каждой тональности, в которой они играли. Струнные инструменты также должны были перенастраиваться для каждой смены тональности. Используя темперированную гамму, исполнитель мог переключаться между всеми тональностями без повторной настройки. Он уравнял естественный разрыв между каждым из двенадцати полутонов. Медные духовые инструменты в период барокко имели набор крючков разного размера, которые можно было регулировать для каждой тональности, в которой они играли. Струнные инструменты также должны были перенастраиваться для каждой смены тональности. Используя темперированную гамму, исполнитель мог переключаться между всеми тональностями без повторной настройки.

Простое изображение иногда лучше, чем обширное объяснение, поэтому я также рекомендую проверить графики по этой ссылке, вы можете, например, навести курсор от 10edo до 19edo, чтобы увидеть различия между различными подразделениями: http://www.tonalsoft .com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (только посмотрите на самые сильные созвучия: 3 - 1/3**, 5 - 1/5 и 3/5 - 5/3, остальные график действительно не важен в сравнении.)

По сути, это ясно показывает, что деление на 12 нот является единственным, которое делает отношения 3/2 и 4/3 (наиболее важные*** после октавы) почти чистыми. Да и терции/шестые (соотношения с цифрой "5", следующие по важности***), тоже не так уж и плохи. Никакое другое деление на изрядное количество нот, от 10 до 19, не может даже немного приблизиться к этому. Это математически замечательно и причина, по которой мы используем 12 нот, а не 13, 11 и т. д.

** ("1/3" просто означает соотношение 4/3 со сдвигом на 2 октавы, это просто то, как они изначально представляют числа.)

*** (Я имею в виду, что если ваш мозг хочет легко распознавать и запоминать музыку, вам скорее понадобится большой набор квинт, четвертых и терций, чтобы быть более или менее гармоничными, в вашей музыкальной архитектуре, даже мелодичной, иначе это в основном диссонирующие звуки, приводящие к шуму и трудно запоминающиеся для вашего мозга...)

Отличный ответ @john Baldwin выше. Джут хотел добавить, что эти минимальные деления также наиболее практичны в использовании. Возьмем, например, случай пения между одной нотой, скажем, до, и ее более высокой октавой до, 7 интервалов производят наиболее отчетливый звук, плюс 5 диезов и бемолей = 12.

И затем, если мы начнем делить его дальше, он постепенно начнет получать очень тонкие субгармонии для человеческого слуха. И эти 12 делений также повторяются в более высоких и более низких октавах и так далее.

Легче всего определить 4 деления, которые являются делителями 12, что составляет пентатонику с более высокой нотой, и поэтому легко доставляет удовольствие.

Основываясь на вашей формулировке вопроса, я бы сказал, что это по замыслу. Это не совпадение, что в октаву помещается 12 полутонов, а не 11 или 13. Хотя детали могут измениться, если предположить, что это просто настройка, я объясню, предполагая равную темперированную настройку. Во-первых, вы должны знать, что существует континуум частот и, следовательно, высота тона между любыми двумя нотами. Мы пришли к определенному выбору комбинаций высоты звука для западной диатонической гаммы на протяжении столетий экспериментов. Ноты в гамме отражают то, что приятно для слуха (ушей) для конкретной культуры. Со временем жители Запада стандартизировали полушаг, разделив октаву на 12 шагов, используя соотношение

f_octave = 2*f_tonic

они наложили ограничение, согласно которому отношение двух последовательных полушагов будет одинаковым независимо от того, где вы начинаете,

f_1/2 = r*f_tonic (это будет второстепенная секунда)

поскольку мы заставляем число 1/2 шагов от тоники до октавы равным 12, мы получаем соотношение

г ^ 12 = 2 или г = 2 ^ (1/12)

ИМО, несколько постов здесь ставят телегу впереди лошади. Вы не можете продемонстрировать, что октава имеет только 12 полутонов, используя приведенное выше определение полутона. Скорее вы спрашиваете, каким должно быть соотношение, чтобы в октаве было 12.

С этой целью существуют всевозможные альтернативные хроматизмы, которые пытаются разместить N равных шагов в октаве. Это приводит к уравнению настройки,

г = 2 ^ (1/Н)

Существует 24 ТЕТ, содержащих 24 равных четвертных шага в октаве. И вы вполне могли бы построить шкалу с

г = 2 ^ (1/13)

или какой-либо другой корень из 2. Конечно, это НЕ будет 1/2 шага в традиционном смысле этого слова. Теперь вопрос о том, как мы туда попали, — это более длинная история. До настройки 12TET в мажорной гамме Just с 8 нотами (включая октаву) было более 5 знаков альтерации. Вы можете погуглить и найти статьи на Вики на эту тему, но там были, как мне кажется, просто гаммы с 17 независимыми нотами в октаве. Хотя все последовательные ноты, вероятно, имеют немного другое соотношение. Следовательно, не совсем 1/2 шага. То, что вы называете 1/2 шага, зависит от того, как вы узнали этот термин.