Существуют ли в логике правила обращения с «парадоксами» самореференции?

хэллиале

Существуют ли в логике правила обращения с «парадоксами» самореференции?

Мой любимый парадокс, который ведет к бесконечному регрессу, а также приводит к вопросу:

Предложение после этого истинно.

Предложение перед этим ложно.

Когда в доказательствах появляются противоречия, у нас есть правила для завершения доказательства. Я считаю, что перевернутый символ T используется для обозначения противоречия. Тогда правило заключалось в том, что из противоречия можно вывести что угодно. Я всегда находил это правило довольно интересным.

Однако мне кажется, что парадокс не вполне равен противоречию. Может быть, к ним и относятся как к таковым, но существуют ли правила обращения с парадоксами в формальных доказательствах? Так же, как они делают с противоречиями?

вирмайор

Я не уверен, что это можно назвать парадоксом. Я бы назвал это противоречивым круговым определением. В целом я думаю, что парадоксы обычно не поддаются формальной логике.

innisfree

@virmaior это разновидность знаменитого парадокса лжеца, который сам по себе является примером парадокса самореференции.

innisfree

парадоксы самореференции не выходят за рамки формальной логики (не так ли?) — они связаны, например, с утверждениями Гёделя en.wikipedia.org/wiki/…

вирмайор

Виноват. В то время у меня была другая субдисциплинарная шляпа, и в результате я думал о другом определении парадокса.

Ронни Ройстон

На самом деле, если предложение А, то не предложение Б. Оба не могут быть правдой. Подумаешь?

хэллиале

@RonRoyston, но если не предложение B, то не предложение A, и мы идем по кругу.

Пол Росс

@innisfree, изображающий парадокс лжеца как проблему самореференции, вводит в заблуждение, как обсуждалось, например, в одностраничной статье Стивена Ябло «Парадокс без самореференции», доступной здесь: researchgate.net/profile/Stephen_Yablo/publication/…

innisfree

@PaulRoss, вы говорите, что парадокс лжеца не является примером парадокса самореференции?

Конифолд

@PaulRoss Ябло просто переопределяет то, что означает для парадокса быть «подобным лжецу», его пример включает бесконечно много предложений и функций, отличных от лжеца, который действительно основан на самореференции.

пользователь20253

В приведенном примере нет парадокса. Одно или оба предложения ложны.

Ной Швебер

@PeterJ Вы неправильно разбираете это. Это действительно парадокс: нет никакого способа последовательно присвоить значения истинности {true, false} двум утверждениям. Например, они не могут оба быть ложными, поскольку если первое ложно, то второе истинно.

пользователь20253

Да, но все хорошо, если одно из них истинно, а другое ложно. Они оба не могут быть правдой, потому что это было бы парадоксом. Это все равно, что сказать «х истинно» и «х ложно» и назвать это парадоксом. Всего два заявления.

пользователь20253

Хм. Хорошо. Я просто хочу сказать, что если вы говорите две противоречивые вещи, это не парадокс. Если второе предложение утверждает, что первое верно, то все в порядке. Просто противоречить самому себе недостаточно для парадокса. Оно исчезнет, ​​если мы скажем, что одно или оба утверждения неверны.

хэллиале

@PeterJ, но во втором предложении об этом не говорится.

пользователь20253

Почему? Мой подход избавляет от проблемы. Очевидно, оба предложения неверны, иначе возник бы парадокс.

пользователь20253

Большой. Работа сделана тогда..

пользователь20253

@hellyale - Да, я предполагал, что все будет в порядке, если он так скажет.

пользователь20253

@hellyale - Да, и это создает противоречие. Так что все, что нам нужно сделать для решения, это не говорить противоречивых вещей. .

хэллиале

@PeterJ хммм, тогда сделай это своим ответом и посмотри, как он проголосует.

пользователь20253

@hellyale - Нет. Это старый спор и хорошо отрепетированный. Кто-то придерживается вашей точки зрения, кто-то моей.

Конифолд

Того же эффекта можно добиться с помощью одного предложения: «Это предложение ложно». Он известен как парадокс лжеца и восходит к древнему софисту Эпимениду. Ваши два предложения просто разделили Лжеца надвое. Однако бесконечного регресса нет, он заканчивается за один шаг. Мы принимаем оба предложения как «аксиомы», т.е. «истинные», но второе предложение подразумевает, что первое ложно, противоречие. Проблема в том, что в обычных доказательствах от противного есть основная посылка, которая приводит к нему и может быть отвергнута, но здесь такой дополнительной посылки вроде бы нет. Это означает, что предложение Лжеца или два ваших предложения образуют противоречивую «теорию»: в них могут быть выведены и утверждение, и его отрицание. По логическому закону взрыва, то в них можно вывести любое предложение, другими словами, они неинтересны.

Обнаружение таких самореферентных парадоксов достаточно просто, см., например , Wen's Semantic Paradoxes as Equations . Ваши два предложения могут быть закодированы как уравнения x=y и y=¬x, подразумевающие x=¬x, что кодирует предложение Лжеца x, интерпретируя «=» как «относится к», а ¬ как «не». Булева переменная x может принимать только два значения, 0 или 1, и ни одно из них не подходит. Набор предложений порождает парадокс, если кодирующая его система уравнений не имеет решения. Настоящий вопрос заключается в том, как интерпретировать «нет решения». Существует несколько подходов, и все они противоречивы, см. Paradoxs of Self-Reference в SEP .

Один из способов — вообще не интерпретировать его, а полностью запретить противоречивые теории с помощью синтаксиса. Математические и логические теории делают все возможное, чтобы убедиться, что парадоксальные «наборы предложений» всегда являются синтаксической ошибкой. Именно это заставляет доказательства от противного работать в них. Ничего похожего на Лжеца нельзя выразить, например, на языке теории множеств или в Principia Рассела, там проблема определена как не существующая.

Другой подход состоит в том, чтобы объявить, что в Лжеце все-таки есть скрытая предпосылка. Мы неявно предполагаем, что предложение либо истинно, либо ложно, что оно имеет истинностное значение. Эквационная интерпретация показывает нам, что это допущение ложно, и мы должны признать, что некоторые предложения не имеют значения истинности. Мы уже принимаем это на естественном языке, "подобная луна медленно" не является ни правдой, ни ложью, это тарабарщина, и "электрон - зеленое достоинство" тоже бессмысленно, хотя грамматически правильно. Таким образом, есть разные способы быть тарабарщиной, и предложение Лжеца и его кузены являются «логической тарабарщиной», все же ни истинной, ни ложной.

Самая популярная версия логики и семантики, в которой некоторые синтаксически правильные предложения не имеют истинностного значения, была разработана Крипке и называется логикой разрыва истинностного значения . В дополнение к истинному и ложному оно вводит третье истинностное значение: неопределенное. Но такая логика создает много технических сложностей при оценке истинностных значений составных выражений и при работе с ними, поэтому она редко используется в математике или приложениях.

Конифолд

@hellyale Извините, исправил.

Пол Росс

Я проголосовал за это, потому что ответ сворачивает случай с двумя предложениями в парадокс единственного лжеца, а затем уходит от философии логики к статье по информатике, посвященной обнаружению конфликтов в булевой алгебре. Это не разумное изложение соответствующего философского материала.

хэллиале

@ Пол Росс, возможно, вы можете дать лучший ответ?

Конифолд

@ Пол Росс Я не понимаю возражений. Общность предложений и Лжеца очевидна, но коллапса нет даже на уровне уравнений. Статья посвящена логике и парадоксам, в ней не упоминаются компьютеры или информатика, упоминается ряд логиков, включая Крипке и Тарского, она опубликована в математическом журнале, а автор не является ученым-компьютерщиком. И прежде чем можно будет дать философскую интерпретацию, необходимо выяснить, что именно должно быть философски истолковано, отсутствие в данном случае определенных значений истинности.

Ной Швебер

@PaulRoss Я не думаю, что ответ на вопрос философии логики на самом деле включает формальную логику ...

Кристофер Эдди

(1) Не «предложения», а только высказывания могут быть истинными или ложными. Машины могут генерировать предложения, но только говорящие могут делать утверждения, и сделать утверждение означает неявно попросить обратить на него внимание и не опровергать его без указания причины, что неявно обязывает говорящего не делать никаких других утверждений. что явно или неявно ему противоречит.

(2) Ссылка на слово «этот» в утверждении «Это утверждение ложно» является неопределенной, так что ничто не обязывает собеседника предполагать, что говорящий имеет в виду, что это утверждение относится к самому себе, и поэтому имеет право спросить — Какое заявление вы имеете в виду?

(3) Чтобы объяснить своему собеседнику, к какому утверждению относится «это утверждение», говорящий должен сказать: «Это утверждение — «Это утверждение ложно», — ложно», что заключает его в скобки таким образом, что удаляет логическая проблема, потому что говорящий больше не утверждает ничего парадоксального, и поскольку предложение в квадратных скобках больше никем не утверждается как утверждение, а просто цитируется, мы не имеем права говорящего предполагать, что оно самореференциально.

(4) Тот же принцип применяется и в другой версии: «Следующее утверждение ложно. Предыдущее утверждение верно». Здесь референции выражений «следующий» и «предыдущий» логически неопределенны, поэтому не может быть уверенности в том, что они относятся друг к другу. В конце концов, если эти предложения записать, другие предложения могут быть интерполированы, что устранит логическую проблему.

(5) В заключение, если мы не обязаны воспринимать утверждение как самореферентное, то мы не можем быть обязаны серьезно относиться к любым проблемам, которые могут возникнуть из-за того, что оно таково.

Мозибур Улла

Нет общего правила. Мой любимый пример: что происходит, когда непреодолимая сила сталкивается с неподвижным объектом?

На самом деле это инверсия и повторение аристотелевского определения силы, а исходное определение гораздо важнее в истории мысли, чем броская перефразировка выше.

На самом деле можно провести линию между определением Аристотеля и Ньютона, а затем и Эйнштейна; в то время как парадоксальное утверждение просто сидит как изолированный фрагмент мысли, скрученный в захватывающих и угрожающих мыслям, парадоксальных терминах, которые ничего не достигают по существу.