Я понимаю «у земли» как означающее «высота над землей незначительна по сравнению с радиусом планеты». То есть мы можем в качестве хорошего приближения считать, что радиус геостационарной орбиты такой же, как радиус экватора.

тл;др

Такая планета, скорее всего, будет мертвой, безвоздушной скалой, но с интересными физическими эффектами. Хорошо поставить космическую станцию, но не развивать жизнь самостоятельно.

Необходимая скорость вращения

Давайте сначала посмотрим на идеально сферическую планету (не обращая внимания на то, что в таких экстремальных условиях планета не будет идеально сферической). Соответствующие величины для такой планеты - ее масса.$M$, его радиус$R$и его угловая скорость (скорость вращения)$\omega$. Мы также предполагаем, что геостационарная орбита находится на высоте$h\ll R$над экватором (обратите внимание, что на Земле это условие все равно будет выполняться на вершине горы Эверест, так что оно не является слишком ограничивающим).

Условие круговой орбиты (которой является геостационарная орбита) состоит в том, что центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения. Центростремительная сила определяется выражением

$$a = \omega^2 (R+h)$$

а ускорение свободного падения равно

$$g = \frac{G M}{(R+h)^2}$$

куда$G = 6.7\cdot 10^{-11}\,\rm m^3\, kg^{-1}\, s^{-2}$— гравитационная постоянная .

Поэтому планета должна была бы вращаться с угловой скоростью

$$\omega = \sqrt{\frac{G M}{(R+h)^3}} \approx \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \left(1 - \frac{3}{2} \frac{h}{R}\right)$$

Чтобы понять, что это значит, давайте вставим несколько цифр.

Во-первых, давайте предположим, что у нас есть планета земной массы примерно$6.0\cdot 10^{24}\,\rm kg$($GM = 4.0\cdot 10^{14}\,\rm m^3/s^2$), а радиус земли , о$6.4\cdot 10^6\,\rm m$. Тогда у нас есть

$$\omega = 1.2\cdot 10^{-3}\,\rm s^{-1},$$

то есть у вас будет один полный оборот каждые 1,4 часа. Обратите внимание, что здесь я пренебрег высотой орбиты, так как это все равно приведет к ошибке округления.

На самом деле это намного меньше, чем я ожидал (но если еще раз подумать, фактический радиус геостационарной орбиты примерно в 7 раз больше радиуса Земли, так что это не должно было быть таким уж удивительным ).

Интересно, что если вы посмотрите на формулу омеги, вы увидите, что релевантной величиной является плотность планеты. Таким образом, если мы даем плотность планеты как кратную плотности Земли, омега масштабируется с квадратным корнем из этого числа. Таким образом, планета с плотностью, в четыре раза превышающей земную, будет иметь вдвое большую угловую скорость и, таким образом, совершать один оборот примерно каждые 42 минуты. С другой стороны, планета с плотностью всего в 1/4 земной будет иметь 2,8 часа на каждый оборот. Если вы хотите иметь земные сутки (24 часа, если не учитывать тот факт, что вам придется учитывать сидерический, а не солнечный день), плотность планеты должна составлять 0,34% от плотности Земли, или 19 кг/кг. м^3. Это примерно 1/48 плотности пенопласта.. Таким образом, планета, полностью сделанная из пенополистирола, должна иметь период вращения 3,5 часа. ( Примечание: было бы неплохо, если бы кто-нибудь перепроверил мои цифры.)

Последствия такой скорости вращения

Итак, каковы будут эффекты такого вращения на поверхности планеты? Две силы, которые следует учитывать, — это эффективная гравитационная сила (то есть гравитация + центробежная сила) и сила Кориолиса. Как и раньше, вместо сил я буду использовать ускорения; чтобы получить силу на объект, просто умножьте его на массу.

Эффективная гравитация

Эффекты, конечно, зависят от широты, которую я буду называть$\phi$, в соответствии с географическими соглашениями. Имеет смысл разделить ускорение на вертикальную и горизонтальную составляющие относительно земли. Гравитационное ускорение, конечно, всегда вертикально и всегда одинаково (поскольку мы предполагаем сферическую планету). Формула, которую я уже приводил выше (сейчас, конечно, положим$h=0$, так как нас интересует гравитация на поверхности), но теперь мы должны быть осторожны с направлением: оно указывает вниз, поэтому мы добавляем знак минус.

$$g = -G M/R^2$$

Абсолютное значение центробежной силы зависит от расстояния до оси вращения, которое равно

$$d = R \cos(\phi)$$

В противном случае это просто формула выше, с$R$заменен на$d$(на экваторе конечно у нас$d=R$):

$$a = \omega^2 d = \omega^2 R \cos(\phi)$$

Однако его направление отклоняется от оси, что означает, что мы должны разделить его на горизонтальную и вертикальную составляющие. Горизонтальная составляющая$a\sin(\phi)$, а вертикальная составляющая$a\cos(\phi)$.

Сложив все вместе, получим полное вертикальное ускорение

$$g_{\text{eff}} = -\frac{G M}{R^2} + \omega^2 R \cos^2(\phi)$$

или, после включения «условия геостационарного экватора»:

$$g_{\text{eff}} = \frac{G M}{R^2} \left(1 - \cos^2 \phi \left(1 - \frac{3}{2} \frac{h}{R}\right)^2\right) \approx \frac{G M}{R^2} \sin^2 \phi - 3 \cos^2 \phi = g \sin^2(\phi) - 3 \frac{h}{R} \cos(\phi)$$

Как и ожидалось, вы тяжелее всего на полюсе (где вращение не имеет значения) и легче всего на экваторе (и для$h=0$, вы были бы невесомы на экваторе).

И сила, направленная к экватору,

$$a_{\text{eff}} = \omega^2 R \cos(\phi) \sin(\phi) \approx \frac{1}{2} \frac{G M}{R^2} \sin(2 \phi)) \left(1 - \frac{3}{2} \frac{h}{R}\right)^2 \approx \frac{g}{2} \sin(2 \phi) \left(1 - 3 \frac{h}{R}\right)$$

Отметим, что эта сила равна нулю как на экваторе, так и на полюсах, а максимальна на широте 45°. На этой широте она составляла бы половину полярной гравитации, так что это была бы довольно сильная сила. Действительно, на этой широте горизонтальный пол имел бы кажущийся наклон около 27°.

сила Кориолиса

Сила Кориолиса зависит от скорости. Это сила, которая отвечает за вращение воздуха вокруг областей высокого/низкого давления (и, таким образом, также частично ответственна за такие вещи, как ураганы).

Сила Кориолиса всегда перпендикулярна как к оси вращения, так и к направлению движения. Поэтому теперь мы должны учитывать не только положение, в котором мы находимся, но и направление, в котором мы бежим.

Я определю стороны света, как на земле: Солнце восходит на востоке и садится на западе. Полюса находятся на севере и юге. Это означает, что вектор углового момента указывает на север. Формула ускорения Кориолиса:

$$\vec a_C = 2\, \vec v \times \vec\omega.$$

Горизонтальное направление силы Кориолиса - вправо в северном полушарии и влево в южном полушарии. Так, например, если вы бежите к ближайшему полюсу (на север в северном полушарии или на юг в южном полушарии), сила будет толкать вас в восточном направлении.

Самая интересная часть — вертикальная составляющая, которая станет актуальной на экваторе, когда вы бежите влево или вправо. При движении по экватору в восточном или западном направлении вся сила Кориолиса направлена ​​вертикально; ты получишь

$$a_c = 2 v \omega = 2 \frac{v}{V} R \omega^2 \approx 2 \frac{v}{V} g \left(1-\frac{3}{2} \frac{h}{R}\right) = \frac{v}{V} g \left(2 - 3 \frac{h}{R}\right).$$

где я ввел экваториальную скорость$V = R \omega$. Обратите внимание, что при беге на восток сила будет направлена ​​вниз (сделает вас тяжелее), а при беге на запад — вверх (сделает вас легче).

Сравните с действующей силой на экваторе (см. выше):

$$g_{\text{eff}} = -3 g \frac{h}{R}$$

Таким образом, вы получите эффективную восходящую силу, если побежите на восток и$a_c > g_{\text{eff}}$, то есть,

$$\frac{v}{V} > \frac{3 \frac{h}{R}}{2 - 3 \frac{h}{R}} \approx \frac{3}{2} \frac{h}{R}$$

Давайте рассчитаем это с массой/радиусом Земли и геостационарной орбитой на высоте 8000 метров (около высоты горы Эверест):

$$V = R \omega \approx \sqrt{\frac{G M}{R}} = 7.9\,\rm km/s$$

$$\implies v > 0.015\,\mathrm{km/s} = 53\,\rm km/h.$$

Это немного выше разрешенной максимальной скорости движения в населенном пункте в Германии. Это определенно намного ниже того, на что способны автомобили.

Сможет ли такая планета развить жизнь?

Учитывая, что над экватором есть «гравитационная утечка» из-за центробежной силы, я бы не ожидал, что эта планета сможет удерживать атмосферу. Так что если бы на такой планете и была жизнь, то ее точно не было бы на поверхности. Я полагаю, что без значительной части атмосферы вода испарялась бы довольно быстро, поэтому я ожидаю, что планета будет в основном мертвой скалой. Без воздуха не было бы, конечно, и климата.

Какое преимущество будет иметь такая планета для колонизации?

Несмотря на неудобство наличия действительно космической среды, у такой планеты может быть преимущество в том, что у вас очень низкие требования к запуску, поэтому будет относительно дешево попасть на планету / покинуть ее. Для космической станции (и, возможно, добычи полезных ископаемых) это было бы идеально.

С реальной физикой и без использования каких-либо неизвестных или фантастических эффектов каменистая планета должна быть очень маленькой, прежде чем она сможет стабильно вращаться с такой скоростью. То, что случилось бы с миром, который был бы сферическим при медленном вращении, было бы драматичным — в течение нескольких часов он превратился бы в блин из вращающихся обломков . Высокий угловой момент будет перебалансирован как более расширенный набор объектов на орбите вокруг общей точки.

Я не уверен в практическом пределе/пределе размера для этого эффекта, но я думаю, что он будет довольно маленьким, ниже, чем все, что могло бы поддерживать жидкую воду или атмосферу. Обновление: по этой ссылке есть некоторые четкие математические расчеты стабильности вращающихся объектов, и на этой странице были проведены расчеты, включая несколько красивых графиков , но, к сожалению, без обработки деталей возможных орбит и того, где могут быть геостационарные.

Чтобы сделать большой мир практичным, вам нужно найти какое-то решение этой проблемы. Эти вещи довольно распространены в научной фантастике (не «жесткой») и фэнтези:

• Игнорируйте или изменяйте физику проблемы и сосредоточьтесь на изучении последствий менее экстремальной версии.

• Предположите какие-то сверхмощные материалы или силы, которые удерживают ситуацию стабильной. Затем вы можете продолжить с предположениями об опыте жизни в окружающей среде, доверяя магии, которую вы изобрели, чтобы поддерживать достаточно стабильное состояние, чтобы жизнь могла развиваться, и т. д.

Если мы предположим, что вы работаете с физической невозможностью, как указано выше, то вы можете сделать некоторые предположения о формах жизни на планете, которая каким-то образом стабилизируется как сплющенный сфероид с балансировкой центробежной (или центростремительной, если хотите) силы.

Со мной происходят следующие вещи:

• В направлении экватора в атмосфере будут действовать экстремальные силы. Сверхмощные вихри, ураганы, торнадо или какие-то странные погодные явления, не встречающиеся на «обычных» планетах. Это, вероятно, было бы слишком экстремально для живых существ, если бы вы занимались математикой, чтобы вычислить вероятные силы, но опять же вы могли бы свести это к чему-то, что могло бы работать в более причудливом описании.

• Сочетание мощной погоды и низкой гравитации должно привести к тому, что основной поток материала (в основном массы атмосферы и того, из чего состоит мир) выйдет на орбиту на экваторе, где он либо осядет в виде протяженного кольца вокруг планеты. , или быть переработанным на север или юг, чтобы упасть обратно на поверхность. Возможно, вам придется установить эту схему рециркуляции, чтобы мир казался стабильным, и это могло происходить плавно, как своего рода погода, или в виде хаотических эпизодов, как катастрофические события, или, вероятно, и то, и другое.

• Сплющенный мир испытал бы больше экстремальных углов в солнечном свете. Последствия этого будут зависеть от угла вращения планеты по отношению к ее орбите вокруг звезды. Если предположить наклон, подобный земному, то большая часть земной поверхности будет иметь дневной свет, подобный нашим арктическим и антарктическим кругам. Это не обязательно означает «холодный», это может быть уравновешено более близким расположением к звезде. . .

• В полосе вокруг экватора было бы много атмосферы и мусора. Но не высокое атмосферное давление — на самом деле, наоборот, воздух вокруг экватора был бы сильно разреженным, и существа, которым комфортно на полюсах, могли бы там не дышать. Тем не менее, дополнительная воздушная масса и мусор должны фильтровать звездный свет, который проходит через нее, а природа света будет очень разной в разных частях планеты. Закаты могут даже не случаться, поскольку «солнце» будет двигаться к горизонту, обесцвечивая (более красное в земной атмосфере) и более рассеянное, пока не исчезнет из поля зрения. На экваторе он может быть постоянно затенен тусклым красным светом, и только смутное представление о том, где находится солнце.

• Независимо от того, верны ли мои предположения выше, я ожидаю, что экстремальная полосатость окружающей среды между полюсом и экватором повлияет на природу любых растений и существ гораздо более резко, чем на Земле.

Другие ответы превосходны, но нужно добавить одну важную вещь - форму планеты.

Планеты обычно образуют сферу, поскольку они конденсируются из жидкой формы, и гравитация притягивает ее к плоской сфере. В этом случае, хотя на самом деле это будет очень сжатая сфера, она может даже сформировать то, что очень похоже на диск, поскольку точка уровня «действующей силы тяжести» изменяется вращением.

В крайних случаях, о которых вы здесь говорите, планета может быть только (например) 1 км в высоту и 6 миллионов км в ширину. У вас будет очень низкая гравитация независимо от того, где вы находитесь на поверхности.

Это будет немного изменено в зависимости от того, остыла ли планета до или после того, как она приобрела это экстремальное вращение.

Некоторые дополнительные наблюдения:

1. Быстро вращающиеся планеты могут быть как сигарообразными, так и блинообразными. Хаумеа во внешней Солнечной системе совершает оборот примерно за 4 часа и считается чем-то средним между сигарой и мячом для регби.

2. Планеты находятся в гидростатическом равновесии. Это означает, что если она достаточно велика, чтобы считаться планетой, то в геологических временных масштабах она действует как жидкость. Даже твердые тела деформируются под давлением собственного веса, и через миллиард лет или около того (может быть, гораздо меньше, я не уверен) оно достигнет равновесия. Это, в свою очередь, означает, что камни больше не будут катиться к экватору — в среднем земля будет ровной. (По-прежнему будут горы и долины, где она не ровная, как и на Земле.) Суммарный вектор гравитационной и центробежной силы будет (в среднем) перпендикулярным земле.

3. Вы можете настроить параметры задачи так, чтобы сохранить атмосферу, ослабив определение «близости» в требовании, чтобы геостационарная орбита находилась близко к поверхности. Я не думаю, что условия, при которых планета сохраняет атмосферу, полностью известны, но держу пари, что что-то вроде 0,8 g на экваторе и на геостационарной высоте в 1000 км может быть возможным (пожалуйста, простите за предположение). Это кажется довольно далеким, но это сделало бы космический лифт гораздо более осуществимым.