На что ссылается Пуанкаре в своей статье « Интуиция и логика в математике » , когда говорит об интуиции чистого числа? Он ссылается также на две другие формы интуиции, помимо «интуиции чистого числа», а именно на «аналогическую интуицию» и на интуицию, предполагающую «математическую индукцию». Я предполагаю, что он может иметь в виду своего рода интуицию, связанную со знанием свойств чисел.
Вот несколько отрывков из текста, в которых он говорит об «интуиции чистого числа».
«Итак, у нас есть много видов созерцания: во-первых, обращение к чувствам и воображению, затем — обобщение посредством индукции, так сказать, скопированное с методов опытных наук; наконец, мы имеем созерцание чистого числа, откуда возникла вторая из только что провозглашенных аксиом, способная создать настоящее математическое [...]
Я показал выше на примерах, что первые два не могут дать нам достоверности; но кто серьезно усомнится в третьем, кто усомнится в арифметике? В сегодняшнем анализе, если потрудиться быть строгим, не может быть ничего, кроме силлогизмов или апелляций к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может нас обмануть. [...]
Я сказал выше, что есть много видов интуиции. Я сказал, насколько созерцание чистого числа, откуда происходит строгая математическая индукция, отличается от чувственного созерцания, в котором воображение, собственно так называемое, вносит главный вклад. [...] Можем ли мы с небольшим вниманием признать, что сама эта чистая интуиция не может обойтись без помощи чувств? [...]
Это интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм, которая освещает и направляет тех, кого мы назвали аналитиками. Именно это позволяет им не только демонстрировать, но и изобретать. Благодаря ему они с первого взгляда воспринимают общий план логического строения, и это тоже без вмешательства чувств. [...] Есть ли место для нового различения, для различения среди аналитиков тех, кто прежде всего пользуется этой чистой интуицией, и тех, кто прежде всего занят формальной логикой?»
«Интуиция чистого числа» — это интуиция, унаследованная Пуанкаре от кантовской априорной формы восприятия во времени. Кант признавал две формы восприятия, производящие синтетическое априорное, а потому «строгое» знание, пространство-время. Первая порождает геометрическую интуицию, а вторая — арифметическую. Однако после открытия неевклидовых геометрий ошибочность геометрической интуиции стала общепризнанной в 19 веке. Соответственно, Гельмгольц и Пуанкаре внесли поправку во взгляд Канта, предположив, что геометрическая интуиция недостаточно специфична, чтобы выделить евклидову геометрию, а после Римана — даже геометрию постоянной кривизны, в лучшем случае поддерживает любую локально евклидову. Так что к концу века единственным "строгим" оставшаяся интуиция была априорным синтезом множества во времени, арифметической «интуицией чистого числа». Смотри какКант объясняет, почему 7+5=12 , основываясь на этой интуиции.
Я не уверен, что ОП подразумевает под «интуицией, связанной со знанием свойств чисел», но это больше похоже на точку зрения Гильберта, чем на точку зрения Пуанкаре. Гильберт считал, что у нас нет кантианской интуиции чисел как таковых, а скорее интуиция относительно манипулирования символами, которые предположительно представляют их, т. е. интуиция символических свойств. Поскольку не только арифметику, но и всю математику можно рассматривать как символическое манипулирование формальными теориями, Гильберт выдвинул идею обосновать всю математику на априорном синтетическом знании символов. Это была знаменитая программа Гильберта, см. Было ли кантианское влияние на формалистическую программу Гильберта?
Термины — интуиция, чистая интуиция и логическая форма — по крайней мере в философии связаны с кантовской метафизикой; это чтение подтверждается:
Из статьи SEP о Пуанкаре :
Уравновешивая эмпирический элемент, в философских взглядах Пуанкаре присутствует сильно априорный элемент; поскольку он утверждал, что интуиция обеспечивает априорную эпистемологическую основу для математики.
Его взгляды на интуицию восходят к Канту, которого он явно защищает.
Мауро АЛЛЕГРАНСА