Патрик Грим утверждает в «Проблемах со всеведением» , что существует «простая истина, хорошо установленная как логическая теорема», которая показывает, что всеведение является противоречивой концепцией. Я не вижу противоречия. Что такое «простая истина» и где противоречие?
Вот соответствующий отрывок (стр. 3):
« Для любой такой системы хорошо известно, что мы сможем кодировать формулы с возможностью восстановления в виде чисел. Мы будем использовать A̅ для обозначения нумерованного кодирования формулы A. Хорошо известно, что для любой такой системы мы сможем определим отношение выводимости I такое, что ⊢I(A̅, B̅) только в том случае, если B выводимо из A. Введем символ '∇' внутри такой системы, применимый к числовым кодировкам Ȧ для формул A. Мы могли бы ввести '∇ например, как способ представления универсального знания — знания всеведущего существа, по крайней мере, в сфере этой ограниченной формальной системы. Учитывая любой такой символ с любым таким использованием, мы явно хотели бы сохранить каждое из следующего :
Если что-то известно такому существу, то это так: ∇(A̅)→ A.
Этот факт сам известен такому существу: ∇(∇(A) → A).
Если B выводится из A в системе, и A известно такому существу, B также известно такому существу: I (A̅, B̅) → (∇ (A̅) → ∇ (B̅)).
Однако простая истина, хорошо известная как логическая теорема, состоит в том, что ни один символ не может последовательно означать то, что мы предложили для обозначения «∇», даже в таком ограниченном формальном контексте, как арифметика» .
ОБНОВЛЕНИЕ: я нашел ответ на вопрос , но он слишком сложен для меня, и он доступен только частично в предварительном просмотре, так что же означает эта ссылка и действительно ли она отвечает на вопрос?
Меня не удивляет путаница, потому что рассматриваемая теорема не является ни простой, ни вполне логичной. Это теорема Тарского о неопределимости истинности , которая грубо говорит о том, что нельзя определить верный «предикат истинности», который безошибочно определяет, является ли предложение истинным. Точнее, не существует формулы T() в арифметике первого порядка, такой, что T(A̅) истинно тогда и только тогда, когда истинно A. Предикат Грима «знание всеведущего существа» ∇ по существу является предикатом истины Тарского.
Неопределимость истины непроста, потому что она эквивалентна теореме Гёделя о неполноте, и хотя обе они могут быть объяснены прохожему, их фактическое значение, не говоря уже о доказательствах, довольно тонкое и техническое. Это не совсем логично, поскольку и утверждение, и доказательство требуют использования некоторых арифметических понятий и методов, хотя и базовых, но выходящих за рамки того, что традиционно понимается логикой (подпадали бы под Логику Фреге).
Я должен сказать, что нахожу аргументы Грима далеко не убедительными. И теоремы Тарского, и теоремы Гёделя применимы к теориям первого порядка с арифметикой, они больше не верны в логике второго порядка. Но и без того предикаты — это конечные костыли, которые существа, подобные нам, используют для обращения с бесконечным, всеведущему существу не нужны такие инструменты. Он может знать каждый истинный экземпляр в отдельности, все бесконечное их множество, без какой-либо потребности в определимом предикате. Такое знание экземпляров никоим образом не должно быть «определимым» (т. е. алгоритмическим), не говоря уже о логике первого порядка. Другими словами, он не производит ни предиката истины, ни противоречия с неопределимостью истины первого порядка.
Существует интересный «парадокс познаваемости» , который показывает существование непознаваемых истин, если они есть. Но именно для всеведущего существа его рассуждения несостоятельны, так как ему не известны никакие истины. Я не знаю веских аргументов в пользу того, что всеведение само по себе противоречиво. Другое дело всемогущество, существо либо может, либо не может создать камень, который не может поднять. В любом случае, оно не всемогуще без оговорок.
Конифолд
вирмайор