Что такое прямая линия?

Ты слишком много думаешь!

Шучу, как коллега-инженер, я догадываюсь, где вы копаете. Добро пожаловать в увлекательную изнанку математики, которая постоянно перемешивается и смешивается с философией математики. Он ведет себя немного иначе, чем верхние ярусы. Вместо того, чтобы делать потрясающие утверждения о нашей реальности, например, доказывать, что существуют счетно бесконечные простые числа, они пытаются определить самые тонкие и интуитивные предположения, которые вы можете сделать, чтобы достичь этого. Ваша концепция, что это апелляция к интуиции, верна, потому что она такова.

Как только вы принимаете такое определение, такую ​​аксиому, она превращается в чрезвычайно мощную систему. Большая часть математики допускает ту или иную форму индуктивного доказательства, так что принятие аксиомы — очень мощная вещь. Это означает, что вы принимаете любые и все последствия, которые могут возникнуть в результате применения его бесконечное количество раз. Есть веская причина, по которой они должны быть интуитивно понятными. Системы доказательств, которые допускают индукцию, буквально идут: «1, 2, пропустить несколько, 99, 100, пропустить еще несколько, бесконечность ».. Видите, я доказал это!» (Правка: Ян считает, что это недопустимое использование слова «буквально». Более точную формулировку см. в Аксиомах Пеано. Версия «буквально», которую я могу правильно использовать, состоит в том, чтобы сказать, что цель индукции означает буквально пропустить бесконечное число шагов в доказательстве.) Если ваши определения не очень соответствуют действительности, бесконечная серия пропущенных шагов исказит ваше определение до тех пор, пока оно не станет выглядеть абсурдным. Рассмотрим парадокс Ксенона, который доказал , что вы не можете никуда не двигаемся через бесконечное количество шагов, а ведь мы все время перемещаемся местами!

Евклидово определение линии на самом деле состоит из двух частей. Первому все равно, как это соотносится с реальным миром, поэтому он мог бы сказать:

FribbleMoose лежит одинаково относительно точек на самом себе.

Это математика! Мы можем определить все, что захотим! FribbleMoose может быть удобным определением для работы. Однако именно он решил назвать это «прямой линией», что предполагает, что это математическое определение может иметь значение в реальной жизни. Это следствие не является существенным для определения. Если окажется, что все общество согласится с тем, что формулировка Евклида была плохой, она, по крайней мере, по-прежнему будет иметь по крайней мере столько же значения, сколько имел ФрибблЛось, хотя люди могут жаловаться на его обманчивую схему именования.

Что делает прямую линию Евклида интересной, так это то, что она очень эффективна при предсказании того, как устроен наш мир. Евклид утверждает, что сумма углов треугольника в сумме составляет 180 градусов. За 2300 лет никто не смог построить треугольник с другой суммой углов (без «обмана»), поэтому мы почти уверены, что определение прямых линий, данное Евклидом, достаточно полезно, чтобы его можно было учить детей.

Теперь я упоминаю обман. Вы упомянули альтернативные топологии, на которых мы можем определить «прямую линию», чтобы иметь поведение, отличное от поведения Евклида. Это всего лишь лингвистическая проблема. Если бы Евклид назвал его FribbleMoose, мы, вероятно, изобрели бы новый термин для этого понятия в других топологиях. Но «прямая линия» по-прежнему обладает интуитивной привлекательностью».

Вы инженер. Вы знакомы с вычислениями. Если вы работаете в стартапе с ограниченным бюджетом и слышите, как кто-то говорит: «Нам нужно больше вычислительной мощности», это имеет смысл. Обычно это означает разбить копилку, чтобы собрать процессоры мощностью в несколько гигагерц для выполнения работы. Однако если вы работаете над BlueGene/Q и слышите, как кто-то говорит: «Нам нужно больше вычислительной мощности», это имеет другое значение. Если бы вы попытались решить их проблему, войдя с несколькими коробками Windows 10, они бы посмотрели на вас смешно (но стартап мог бы пускать слюни и задаваться вопросом, где вы их взяли). В естественных языках значение слов часто меняется в зависимости от контекста. Для большинства контекстов определения Евклида достаточно. Для вопросов общей теории относительности термин «прямая линия» имеет другое значение. Фактически,

Итак, как коллега-инженер, я думаю, что именно здесь происходит чрезмерное обдумывание. В центре внимания изнаночной стороны математики находятся определения, на которых строится вся остальная математика. Эти понятия легче передать нематематикам, если они имеют значение для реальной жизни, поэтому терминология из реальной жизни просачивается. Это также дает математикам огромное количество интуитивных проверок. Если что-то не проходит проверку на интуицию, стоит перепроверить, не изменилось ли значение слова в процессе.

Или вы можете просто переименовать все слова FribbleMoose и выяснить, применимы ли к вашему сценарию FribbleMoose, PathosDingbat или любой другой случайный выбор слов. Однако, если это «окажется» прямой линией, это, черт возьми, сделает остальную часть нашей работы проще!

Это очень хороший вопрос, который оживляет метафизику. К сожалению, у меня нет хорошего ответа, хотя я пытался подумать об этом.

Хотя Корт Аммон и другие дали хорошие ответы с определениями , они больше касаются «природы аксиоматических систем», в то время как я подозреваю, что то, что требуется, больше похоже на то, что такое прямая линия «на самом деле?»

Несколько фальстартов.

Во- первых, прямая линия — это «самая быстрая скорость». Ибо это просто другой способ сказать, что это «кратчайшее расстояние» между двумя точками. Таким образом, скорость света «С» — это физически «самая прямая» линия. Мы используем его для определения метра. Но в физической реальности линейное распространение света, если мы можем думать о нем как о таковом, преломляется в бесчисленных опосредованиях. И делает это повсеместно через «линзу» гравитации.

Во- вторых, на нашей кажущейся сферической планете для современных людей стало шоком обнаружить, что если вы путешествуете по «прямой линии» от, скажем, Лиссабона, вы будете удаляться все дальше и дальше. В конце концов, когда вы будете как можно дальше, вы обнаружите, что вернулись в Лиссабон! Но с "другой стороны". Лиссабон, оставленный вашими кораблями, возвращается как «конец прямой линии» в обратном направлении. Неевклидова «прямая линия» или «большой круг».

В- третьих, точно так же, как «кратчайшее расстояние» является «самой высокой скоростью», это также «наименьшая возможная разница». Наименьшее «расстояние» влечет за собой две «позиции», или «экземпляры», или «точки». «Разница» связана с корнем слова «паром». Чтобы идти прямо туда и обратно. Самый быстрый паром - наименьшая разница. И кратчайший путь или расстояние, или «самая прямая линия».

В- четвертых , физик (не помню какой именно) сказал, что если бы мы только повнимательнее подумали о двусмысленном определении «точки», нас бы никогда не удивили квантовые парадоксы. Наш инстинкт состоит в том, чтобы думать аддитивно. Хорошей поправкой к этому является теория информации, в которой знание увеличивается за счет устранения «неопределенности». Гегелевское «отрицание отрицания».

В- пятых , чтобы расширить четвертый пункт. Мы живем в «трехмерных» объемах. Пугающие кавычки, потому что мы не должны доверять нашим аксиоматическим понятиям «измерения». Два объема пересекаются, образуя плоскость. Плоскость есть пересечение или «взаимное устранение» двух объемов. Самолет — это наименьшее, что мы можем увидеть или представить. «Линия» — это пересечение или «взаимное ограничение» двух плоскостей. Точка — это взаимное ограничение двух линий. А что такое пересечение двух точек? Круг? «Колебание?»

Извините, пишу как есть. Совершенно неполный. Только потому, что меня не удовлетворили "аксиоматические" ответы. Это еще не все... и вопрос заслуживает большего. Что «являются» евклидовыми сущностями, которые мы так легко интуитивно постигаем? Я надеюсь, что это даст лучшие ответы, и я отредактирую этот беспорядок ответа, как только смогу.

Превосходной книгой, посвященной этому предмету, является классическая книга «Элементы Евклида» сэра Томаса Л. Хита. В нем можно найти определения Евклида:

• «Линия — это длина без ширины.
• «Прямая линия — это линия, которая лежит ровно с точками на самой себе». ( Элементы Евклида , стр. 153)

Один из способов изобразить его определение — представить себе, что если смотреть вдоль всей линии, то не будет никаких неровностей или отсутствия симметрии (см . «Элементы» Евклида , стр. 168). Говоря более современным языком, Евклид, по сути, говорил, что линия представляет собой непрерывный набор точек только в одном измерении. Хотя понятия размеров или систем координат как таковых в его время не существовало, я думаю, именно это он и пытался выразить словами «лежать ровно» (ἐξ ἴσου... κεῖται). Эту идею можно проиллюстрировать с помощью стопки кирпичей, каждый из которых ровно лежит поверх других, так что любая неровность может привести к тому, что они опрокинутся.

Иллюстрируем ли мы его кирпичиками или в виде линии видения, предполагается идея направления. В случае с кирпичами это представлено вертикальным направлением, в котором сила тяжести действует на кирпичи. Идея единого измерения также представлена ​​словом «равномерно», потому что любая неравномерность будет проявляться неравномерностью относительно общего направления линии. Другими словами, неровный кирпич был бы неуместен в направлении, перпендикулярном линии, точно так же, как одно измерение перпендикулярно другому. Здесь важно отметить, что определение линии требует понятия пространства. Концепция единого измерения понимается в отличие от других измерений. Мы находим то же самое, когда Евклид дал свое определение точки, которая была «то, что не имеет частей». (Элементы Евклида , с. 153) Точка есть безразмерная сущность, которая, если бы у нее была «часть» или вообще какой-либо делимый размер, то она уже не была бы точкой. Таким образом, отсутствие размерности понимается в отличие от размерности.

Определения Евклида опираются на тот факт, что у людей уже есть представление о широте, протяженности и прямолинейности. В этом отношении в определении Евклида есть определенная замкнутость, которой, как указывает Хит, Евклид пытался избежать, но не было никакого способа обойти это:

«Правда в том, что Евклид пытался совершить невозможное. Как говорит Пфлейдерер ( Схолия к Евклиду ), «похоже, что понятие прямой из-за его простоты не может быть объяснено никаким регулярным определением, которое уже не вводит слов». заключающие в себе, имплицитно, подлежащие определению понятия (такие, например, как направление, равенство, единообразие или ровность положения, неуклонное течение), и как бы это невозможно, если человек еще не знает, что здесь означает термин прямо , чтобы научить его этому, разве что поставив перед ним каким-либо образом его изображение или рисунок». ( Элементы Евклида , стр. 168)

Любой термин, простота которого не может быть уменьшена с помощью определения, состоящего из более простых терминов, обычно называется примитивным. Альфред Тарский описывает эти выражения следующим образом:

«Когда мы приступаем к построению данной дисциплины, мы выделяем, прежде всего, некоторую небольшую группу выражений этой дисциплины, которые кажутся нам непосредственно понятными; выражения этой группы мы называем примитивными терминами или неопределенными терминами, а мы употребляем их, не объясняя их значения, и в то же время принимаем принцип: не употреблять никаких других выражений рассматриваемой дисциплины, если только ее значение не определено с помощью исходных терминов и таких выражений дисциплина, значение которой было объяснено ранее» (« Введение в логику: и в методологию дедуктивных наук », стр. 118).

Необходимость рассматривать некоторые понятия как примитивные можно понять с точки зрения ограничений коммуникации и других репрезентативных форм знания. Слова и переменные, которые мы используем в общении, логике и математике, являются лишь символами, которые представляют содержание, которое необходимо передать. Они не являются носителями содержания, как если бы они действительно могли передавать смысл; скорее, они приняты по соглашению для обозначения значения, и, таким образом, они случайно связаны с тем, что они означают. Наряду с этим представленным содержанием общение состоит и из форм познания, которые, в свою очередь, состоят из отношений. Хотя отношения позволяют нам определять содержание в терминах другого содержания, в конце концов достигается предел, в котором простота содержания исчерпывается, и по этой причине нам требуются примитивные понятия.

Из этого следует, что коммуникация возможна только при условии, что реципиент уже в той или иной степени владеет зачатками содержания, которое должно быть сообщено. Слова и переменные могут представлять пространственные понятия, такие как прямолинейность, длина и площадь, но они не могут передать их без того, чтобы получатель не знал априори их значение. Иммануил Кант говорил о содержании с точки зрения его формы (которую следует отличать от форм знания или суждения) и его материи. В то время как материя воспринимается посредством ощущения, пространственные характеристики представляются в пределах ограничений возможной геометрической формы, которые имеются априори :

«Пространство и время суть чистые формы [созерцания], ощущение — материя. Только первое мы можем познать априорно , т. е. предшествующее всякому действительному восприятию, и поэтому такое познание называется чистым созерцанием». ( Критика чистого разума , A41/B59)

Для ясности, получатель также должен обладать средствами представления «материи» контента. Хотя мы получаем материю из ощущений, такие качества, как цвета, вкусы и звуки, должны быть представлены феноменально, поскольку они слишком примитивны, чтобы их можно было передать какими-либо символическими средствами.

Я полностью согласен с ответом Корта Аммона, но я хотел бы добавить несколько моментов по теме определений.

Есть разные вещи, которые мы можем назвать определениями.

Строгое определение связывает термин с эквивалентным утверждением таким образом, что термин может быть заменен другим утверждением в любом предложении без изменения смысла предложения.

Это может работать для производных терминов, но в какой-то момент вам понадобятся примитивные термины, которые не могут быть определены таким образом, но будут использоваться для определения других терминов (вы достигнете нижней части вашей концептуальной системы).

Для примитивных терминов существуют неявные определения, которые на самом деле представляют собой набор аксиом, в которых используются термины. Это своего рода определение через использование. Возьмем, к примеру, ньютоновскую физику: «масса» и «сила» никогда не определяются, это примитивные термины. Однако аксиомы ньютоновской физики связывают массы и силы таким образом, что мы можем понять, что они собой представляют, даже если они не были строго определены.

То же самое относится и к евклидовой геометрии: линии, точки, отрезки и углы являются примитивными терминами, и они не определены строго, а неявно через аксиомы, которые говорят, как точки и линии ведут себя относительно друг друга.

Аксиоматическая система является хорошим описанием предполагаемой области, если все следствия, которые мы можем извлечь из нее, кажутся верными для объектов этой области, которые мы интуитивно постигаем, и, конечно, интуиция играет здесь роль. В случае линий аксиомы хороши, потому что все следствия (теоремы...) верны для наших представлений линий в евклидовом пространстве.

Это оставляет открытым вопрос о происхождении интуиции (что это за линии, которые мы пытаемся определить?). В случае с геометрией наши интуиции, безусловно, исходят из физического пространства. Чтобы знать, что теоремы геометрии верны для физического пространства, нам нужно то, что Пуанкаре назвал координационными постулатами: например, предположение, что свет распространяется по прямым линиям в вакууме. Они сопоставляют примитивные термины аксиоматической системы с нашими наблюдениями (Пуанкаре рассматривал их как своего рода условности). Постулаты координации можно рассматривать как часть неявного определения физических линий .но важно помнить, что аксиоматическая математическая система не зависит от того, как она отображается в наших наблюдениях, и в некотором смысле быть линией в математическом смысле — это не что иное, как подчинение соответствующим аксиомам геометрии.

РЕДАКТИРОВАТЬ Я думаю, что проблематично определять линии как функции (y=ax+b), потому что система координат не является геометрическим пространством. У него есть начало, единица длины и предпочтительные направления, которых нет в геометрических пространствах. Скорее следует рассматривать систему координат как способ присвоения наборов чисел геометрическим точкам, а функцию — как способ определения наборов чисел, которые могут соответствовать линиям, но все это уже требует других понятий, поэтому правильный способ определить линия с использованием чисто геометрических аксиом.

Начну с номиналистского ответа.

«Прямая линия» — это последовательность слов, и как общество мы неявно согласились с определенными соглашениями относительно того, в каких предложениях мы можем правильно использовать слова «прямая линия». Вот и все.

Это не очень полезный ответ, поэтому позвольте мне добавить к нему. В большинстве современных формулировок Евклида (первоначальные аксиомы Евклида имели некоторые тонкие дыры, поэтому в XIX веке их различными способами латали) «прямая линия» воспринимается как неопределенный термин . В любой теории должны быть неопределенные термины, поскольку, если вы попытаетесь определить все слова в терминах других слов, вы получите бесконечный регресс. Неопределенному термину не придается никакого значения, но есть аксиомыо различных неопределенных терминах, говорящих о том, как эти неопределенные термины могут быть правильно использованы друг с другом. Например, одна из аксиом состоит в том, что для любых двух различных точек («точка» также является неопределенным термином) существует ровно одна прямая, на которой обе точки лежат (отношение «точка» находится «на» прямая линия» также является неопределенным термином). Из аксиом можно логически вывести различные теоремы . Некоторые из этих теорем сложно сформулировать, используя только исходные неопределенные термины, поэтому также делаются определения , в которых утверждается, что какое-то слово или фраза являются сокращением для более длинной комбинации неопределенных терминов (или других определений, которые затем могут быть расширены).

Здесь неопределенный термин не имеет определенного значения, но у него есть контекст , который указывает, как его можно правильно использовать. В некотором смысле этот контекст является значением термина. В любом случае, из самой теории вы не можете получить большего.

Позвольте мне вернуться на мгновение; Я использовал слово «теория» в техническом смысле, который я должен пояснить. Теория – это набор неопределенных терминов и аксиом.

Учитывая теорию, можно иметь модели теории. Модель _является реализацией теории в контексте некоторой другой математической теории. Для евклидовой геометрии (теории прямых и точек 3, изложенной 3 абзацами выше) существует стандартная модель евклидовой геометрии в декартовой геометрии. Когда теория T имеет модель M внутри некоторой другой теории U, то неопределенные термины T могут быть определены в терминах неопределенных терминов U таким образом, что аксиомы T становятся теоремами U. Это то, что означает реализовать одну теорию в терминах другой. Итак, с точки зрения модели евклидовой геометрии внутри декартовой геометрии, «прямая линия» — это «множество», состоящее из всех «упорядоченных пар» «действительных чисел», удовлетворяющих некоторому уравнению ax+by=c (при фиксированных a, b , и в). Вы можете проследить это определение вниз, но, как вы заметили, в конце концов вы столкнетесь с неопределенными терминами декартовой геометрии. Далее вы можете создать модель декартовой геометрии внутри какой-либо другой теории и, в конечном счете, в теории множеств Цермело-Франкеля, но в ней тоже будут неопределенные термины.

Имейте в виду, что в евклидовой геометрии есть и другие модели, не являющиеся декартовой геометрией, и даже модели в декартовой геометрии, отличные от стандартной модели. Например, я считаю возможным построить модель, в которой, на наш взгляд, все прямые линии изгибаются, когда пересекают ось Y (как искривляются лучи света, когда они пересекают воду). (Юмористическую модель проективной геометрии см. на http://arxiv.org/abs/1406.5157 )

В глубине души я номиналист, и я бы сказал, что это все, что вам нужно. Я бы сказал, что вы можете продолжить работу и найти более совершенные, подробные и полезные способы описания того, что означает «прямая линия», но вы никогда не получите полного разъяснения (*). Моя любимая аналогия — со строительством фундамента здания. Мы строим фундамент в земле, и мы можем копать глубже, чтобы закрепить здание более надежно, а для более высоких зданий мы по уважительной причине требуем более надежных фундаментов, но мы не настаиваем на соединении наших зданий с центром Земли ( да и пытаться было бы глупо).

Есть также реалисты того или иного рода, которые считают, что некоторые из этих неопределенных терминов относятся к реальным объектам. Наиболее крайними из реалистов обычно считаются платоники, которые считают, что некоторые теории (для них действительно истинные теории) имеют неопределенные термины, которые относятся к объектам в какой-то платоновской сфере, где они на самом деле имеют отношения, заданные аксиомами. Реалисты различаются по масштабу того, какие неопределенные термины они считают реальностью, как они это делают и так далее.

С другой стороны, есть также те или иные идеалисты, которые считают, что некоторые неопределенные термины (те, что в реальных теориях) живут как определенные образцы мысли, закодированные в нашем уме.

На мой взгляд, трудно быть эмпириком в отношении математики с парадоксом Банаха-Тарского, но такие есть.

Некоторые идеи, характерные для математики и философии математики, могут объяснить вам больше, но в конце вы можете выбирать между различными ответами на вопрос «Что есть что-нибудь на самом деле?» Просто имейте в виду, что для математических объектов может быть другой ответ, чем для физических, материальных или социальных объектов.

(*) Это предложение ЯВЛЯЕТСЯ ссылкой на замечание в «Философских исследованиях», где-то под номером 100, но у меня нет с собой моей копии.

Мы все должны признать, что в мире нет прямых линий. Так что же означало бы сказать, чем человек был на самом деле, с точки зрения чего-либо в реальном мире, кроме нас самих?

Это означает, что из математики или из объективной реальности вы никогда не получите никаких идей о том, что важно в прямых линиях. Вы должны искать ответ в том, что нас составляет: в психологии и эволюции.

Математика не о реальных вещах. Речь идет об идеализациях, с которыми обычно можно согласиться в человеческом сознании.

Позвольте мне немного изложить этот взгляд на математику.

В качестве более простого примера давайте вернемся к числу, скажем, 5. Вы можете показать мне наборы из пяти вещей и сказать, что определили, что пять означают в реальном мире. Но это не объясняет, как вы можете иметь длину пять сантиметров, потому что вы никогда не сможете провести линию длиной ровно пять сантиметров или разрезать длину ровно на пять отдельных частей по одному сантиметру. И я не мог сказать, сделали ли вы это. Хуже того, попробуйте связать пять объектов на площади в пять квадратных сантиметров.

Только тот факт, что мы можем соединить эти интуитивные представления друг с другом с помощью простых объяснений, делает их аспектами одного и того же числа 5. Но, как уже давно продемонстрировали Сократ и пифагорейцы, в основе этих простых объяснений не имеет смысла, если вы уже не предрасположены к их пониманию.

Это число представляет собой набор совершенно разных вещей, которые сочетаются друг с другом в вашем уме и обладают определенным идеальным качеством. В конце концов, площадь в пять квадратных сантиметров никогда не равна ровно пяти квадратным сантиметрам. Вы просто знаете, что бы это значило, если бы это было так.

Мы знаем, какой идеальной версией является прямая линия: это путь, ведущий из одной точки в другую как можно быстрее и бесконечно экстраполирующий результат в обоих направлениях. И мы знаем, что это не реально, а языковая условность.

Но это совершенно особый вид лингвистической условности, который приходит к людям исключительно естественно. Более естественно, чем реальные, наблюдаемые вещи приходят к нам, когда мы действительно наблюдаем за ними.

Особенность прямой линии заключается в том, что если вы нарисуете ее приближение, то другой человек будет сильно предрасположен к восприятию более точного приближения, чем вы нарисовали . У них может возникнуть соблазн исправить ваш рисунок, или, если они скопируют его, они нарисуют версию, которая воспроизводит намеченную фигуру в их голове более правильно, чем вы это сделали в реальности.

Таким образом, мы должны признать, что прямая линия — это общая человеческая привычка, нечто, к чему наши зрительные и объяснительные механизмы обращены нашей природой. (Я бы сказал, что эти общие человеческие привычки и есть настоящий предмет математики.)

Люди будут делать то же самое с гармоничным интервалом или запоминающейся ритмической фигурой. Нам легче отойти от них и увидеть сенсорные упрощения, допускаемые «более правильными» формами. Их легче воспроизвести из-за более простых волновых форм, которые мы можем ощущать через резонанс при попытках воспроизвести гармонии, или из-за использования инерции и мышечной памяти в теле, которые мы можем использовать для воспроизведения ритмических фигур.

Я бы предположил, что музыка и геометрия имеют то общее, что нас влечет к поиску идеальных форм, которые легче всего механически повторить без инструментов.

С этой точки зрения прямая линия имеет четкое определение: это идеальная форма нарисованной или иным образом отпечатанной фигуры, которую человеку легче всего приблизить без инструментов при копировании.

Идеальная форма прямая, потому что прямолинейность предполагает решение проблемы оптимизации, и если мы промахнемся, то сможем улучшить наше приближение, убрав вариации. Если мы исправим его достаточно, мы всегда сможем сделать его достаточно хорошим, чтобы передать правильную идею. Для нас ни одна конкретная кривая не обладает таким качеством.

Она также не имеет заданной длины, потому что мы всегда можем ошибаться в длине строки, и это тоже можно исправить. Но это тяжело. Таким образом, идеальной линией будет линия без определенной длины.

Удобно, что у нас есть оптический механизм с перспективой, поэтому у нас есть идея «исчезнуть в бесконечность», чтобы упаковать произвольно большие визуальные пространства в конечные представления. И мы можем представить себе линию, которая просто уходила бы в бесконечность в обоих направлениях.

Я согласен с Кортом Аммоном в принципе, но хочу подорвать его антропоцентризм. Да, прямые линии полезны и красивы. Но именно эта компактность представления делает идею прямой линии полезной для нас, и эта компактность «компактна», потому что мы — это мы.

Легко представить, что некоторые виды могли бы выбрать круги в качестве основной геометрической фигуры, если бы они обладали предельной симметрией осьминога, который мог выковырять круг, рисуя всеми руками вместе, или гиперболы, если бы они обладали червеподобной способностью. вытягиваться в произвольно длинные нити с фиксированной скоростью. И это привело бы к столь же полезным, совершенно различным перспективам, которые могли бы так же прочно обосновать науку и инженерию.

Определение Евклида, если я правильно его интерпретирую, является локальным определением; вот почему он говорит о точках на линии, лежащих одинаково .

В современном контексте мы бы сказали, что линия локально плоская ; оно также используется как определение многообразия в том смысле, что это локально плоское пространство .

Отсюда мы можем, как он предлагает в своем постулате, провести линию от одной точки к другой; при локальном отслеживании нашего движения как движения по прямой линии; это параллельный транспорт .

И это, и другое предложенное вами определение - вариационное определение используются как в современной геометрии, так и в (математической) физике.

Я не уверен, что это удовлетворит вас, но это другой (довольно очевидный) способ думать об этом: линия — это некоторая функция, производная которой является константой или вторая производная которой равна нулю. Когда вы посмотрите на набор бесконечно малых отрезков, которые вы описали ранее, имеет ли каждый из них тот же наклон — ту же касательную — что и до и после него?

Я предполагаю, что понятия наклона и касательной также основаны на понятии линии, но это все еще обращается к моей интуиции.

Не так уж абсурдно называть окружность «линией», смещенной к центру. В этом случае каждый бесконечно малый сегмент следует шаблону, заданному предыдущим, где его «путь» изменяется в соответствии с этим шаблоном, с этим уклоном к центру. «Прямая» линия — это линия без такого смещения, где каждый отрезок является просто транспозицией предыдущего без преобразования.

Мои идеи начинают перетекать одна в другую, но я думаю, это нормально, потому что не похоже, что ты ищешь ответ, скорее, если почесаешься. Надеюсь, я помог.

Он не определил, что такое прямая линия!

Он определил, что в его наборе аксиом (евклидова топология) представляет собой понятие, называемое «прямая линия». Так совпало, что это определение интуитивно понятно и обычно неявно используется без указания того, какую топологию мы используем — даже в «реальном мире». Но в этот момент мы оставляем математику и спрашиваем себя, что может представлять собой прямая линия, и, спотыкаясь о четкое и интуитивное определение, которое дал Евклид, просто примем его в большинстве случаев.

Я мог бы в любое время изобрести новую топологию, в которой есть новое понятие чего-то, называемого «прямая линия», которое совершенно отличается, но все же будет правильным, пока оно не противоречит само себе.

Вы не слишком много думаете об этом, вы просто недостаточно оставляете реальный мир позади себя . Математикам все равно, является ли определение разумным или интуитивным (этим занимаются только математики).

Поскольку люди занимаются математикой, мы обычно пытаемся — для удобства — использовать имена, которые мы на самом деле использовали и которые кажутся интуитивно понятными.

Все сводится к именованию, поэтому лучше спросите себя:

• Что такое «прямая линия» в «нашем мире» (а не в удобном наборе аксиом)?
• Почему математики назвали X 'x' для каждого математического понятия ;-)

Прямая линия — это просто объект восприятия, который мы «знаем, когда видим». Достаточно. Важно то, что у нас достаточно интуиции, чтобы зафиксировать аксиомы о прямых линиях, которые всем кажутся очевидно верными. Затем из этих аксиом мы можем вывести свойства прямых линий, в том числе то, что они могут быть представлены уравнениями вида ax + by + c = 0 (что можно вывести из теорем о подобных треугольниках и формулы площади треугольника, если я правильно помню ). Готовность принять определенные аксиомы о физических объектах — это плата за доступ к применению математики в реальном мире.

Заметьте, было бы совершенно неудовлетворительно просто сказать, что декартово уравнение является определением прямой линии, так как тогда откуда вы знаете, что, скажем, край моего стола — прямая линия? Вы можете измерить его, но помимо того, что это очень уродливое специальное решение, это попытка признать тот факт, что на самом деле вы были почти уверены, что это прямая линия, прежде чем вы когда-либо измеряли.

Та же проблема возникает с кругами. Утверждение типа «окружность — это набор точек на фиксированном расстоянии от центра» на самом деле не является определением. Определение « круг », помимо технической математической речи, - это «тот объект, который мы все можем интуитивно визуализировать, который мы называем кругом». Вы просто узнаете круг, когда видите его , и этого достаточно, чтобы запустить математический шар. Вы фиксируете свойство типа «каждая точка находится на одинаковом расстоянии от некоторого центра», которое, по-видимому, очевидно применимо к этой форме, которую вы видите вокруг себя и называете «кругом», а затем выводите из этого дальнейшие теоремы. Определение «кратчайшего расстояния» для линии аналогично. Определение _прямой линии — это все еще просто «вещи, которые явно являются прямыми линиями, когда вы смотрите на них», но «кратчайшее расстояние между двумя точками» — это разумная кажущаяся аксиома об этих объектах.

Очень интересно, что визуальные паттерны — другими словами, формы, — которые мы улавливаем наиболее интуитивно (линии, круги), такжеоказываются те, которые имеют простые математические определения и имеют фундаментальное значение. Например, «линии» — это просто своего рода шаблон в наших визуальных входных данных, который мы можем легко выделить — мы узнаём их, когда видим. Однако по какой-то странной судьбе они оказываются имеющими простое аналитическое определение с помощью линейного уравнения, и фактически мы теперь понимаем, что они являются лишь одним случаем более общего понятия гиперплоскости в векторном пространстве, которое является фундаментальным во всех отношениях. видов контекстов, помимо геометрии физического пространства. Это похоже на адскую удачу — формы, которые древние люди считали «самыми красивыми» и «самыми простыми», оказываются важными в передовых математических теориях, разработанных в 19-м и 20-м веках!

Я думаю, что здесь происходит в основном то, что природа является математической. Отсюда следует, что понятия, важные для математики, проявятся в физических законах, управляющих реальностью. Примерами, наиболее важными для нас и прямых линий, являются способы взаимодействия одномерных подпространств евклидова пространства с законами оптики и механики (объекты движутся по прямой линии, когда их не трогают, свет распространяется по прямой линии). Поэтому естественный отбор готовит нас к интуитивному пониманию некоторых из этих важных математических понятий, чтобы мы могли ориентироваться в физическом мире. Эти интуиции дают нам возможность угадывать истинные математические свойства этих объектов (аксиомы),

Я не знаю, насколько применимо такое определение на практике (важное соображение), но вы можете определить прямую линию в терминах подмножества евклидовой плоскости P и расстояний между точками в P следующим образом:

Подмножество L в P является прямой линией тогда и только тогда, когда существуют различные точки x и y на P такие, что каждый элемент L равноудален от x и y .

Точно так же вы можете определить плоскость в терминах подмножества евклидова трехмерного пространства S3 и расстояний между точками в S3 следующим образом:

Подмножество P в S3 является плоскостью тогда и только тогда, когда существуют различные точки x и y в S3 такие, что каждый элемент P равноудален от x и y .

РЕДАКТИРОВАТЬ: В общем, вы можете определить прямые линии и плоскости аналогичным образом для любого метрического пространства .

Прежде чем мы перейдем к тому, что такое линия, давайте подумаем о том, что мы интерпретируем другие вещи.

Прежде всего, в вашем вопросе есть простая ошибка математического определения. Насколько я помню, из моей начальной школьной математики отрезок имеет две конечные точки, луч имеет одну начальную точку, а линия продолжается бесконечно. Я думаю, что вы хотели спросить в своем вопросе о линейных сегментах, а не о линиях.

Мы также живем в более чем трехмерной вселенной. Некоторые утверждают, что он имеет 10 или более измерений. Что это может означать? Мы до сих пор не можем точно знать. Если мы возьмем двумерную вселенную, все будет на плоской плоскости, бесконечное растяжение или нет. Чтобы превратить 2D в 3D, мы должны добавить еще одно измерение, расширив его другим способом. Как мы случайно знаем (предположим), 1d — это место, где существует только прямая линия. Если эта 1-я линия была перенесена в 3-е пространство, ей все еще нужно пройти множество расширений в разных направлениях, невообразимых человеческим разумом. 3d -> 4d = линия -> квадрат; 4d - 5d = квадрат -> куб; 5d -> 6d = куб -> вся временная шкала куба (как я люблю это называть) или быстрое прототипирование (как это любят называть другие). Мы зашли достаточно далеко. Если мы возьмем двухмерный треугольник с ребрами, которые в сумме составляют 180 градусов (да!), в трехмерное пространство, углы больше не складываются в 180 градусов. То же самое произойдет и с линией. Если она останется линией, она станет изогнутой, значит, это уже не линия? Определение зависит от вас, чтобы отредактировать в следующем словаре :)

Мой ответ будет скорее полупсевдонаучным подходом... если вы на самом деле это изложите.

Лично я бы сказал, что не существует такой вещи, как точное физическое воплощение того, что мы бы классифицировали как прямую линию; по крайней мере, так, как мы обычно себе это представляем. Учитывая принцип неопределенности Гейзенберга, мы не можем одновременно измерить точный импульс и местоположение; так что, в некотором смысле, ваша линия может никогда не быть полной или даже прямой.

Но если бы я посмотрел на него с нормально наблюдаемого размера, я бы все равно сказал, что нет такой вещи, как по-настоящему прямая линия. Единственный способ, которым я действительно считал бы что-либо действительно прямым, - это если бы создатель полностью рассчитал кривизну земли при создании «прямого» объекта. В практическом и буквальном смысле это настолько близко к «прямой» линии, насколько я могу себе представить. Хотя мы могли бы концептуализировать ряд вещей в нашей голове, нам нужно было бы применить теорию на практике, прежде чем считать ее достаточно хорошим представлением, как и все остальное в мире.

На более философской ноте я должен повторить исходное утверждение: в физической или наблюдаемой Вселенной ничего подобного не существует. «Прямая» линия — это не что иное, как мысленный образ, который мы концептуализировали, а затем создали в физическом мире. На самом деле определение прямой линии способом, который можно понять физически, почти напоминает мне попытку определить эмоции, логику или рациональность. Вы не можете преодолеть «кратчайшее расстояние», не останавливая время, не замораживая каждую частицу в пространстве и не перемещая их вручную.

Разобравшись на гораздо более простой, но все же сложный способ: прямая линия — это не более чем идея, которую люди объясняют шумом, пытаются точно воссоздать в физическом мире, но в конечном итоге бросают вызов законам воспринимаемой физики, поскольку сама концепция ошибочна. Идея, что вы создаете «кратчайший» путь, означает, что вы действительно знаетекратчайший путь. Сколько измерений нам нужно для навигации? Можем ли мы использовать червоточину? Определяя «прямой» как кратчайший путь между двумя точками, если мы отрицаем то, что большинство людей думают о «прямом» (например, отсутствие кривых или отклонений от прямого и никогда не меняющегося курса), вы действительно можете немного изменить мнение. Если мы добавим еще одно измерение к нашим обычно воспринимаемым трем измерениям (оси x, y и z) и вставим, скажем... ось w... теперь мы начнем сомневаться в значении слова "прямой" в совершенно новом путь.

Существует ли такая вещь, как прямая линия? Концептуально, я бы сказал да. Существующие в физическом мире? Я думаю, вам придется заставить кремниевую сферу-28 выглядеть скучным фактом на уроках естествознания, чтобы закончить ботаников.

«Прямой» — понятие абстрактное, причем очень широкое.

Не существует единого определения того, что означает, что линия должна быть прямой, потому что есть много вещей, от которых будет зависеть такое понятие, например, от какой топологии будут взяты эти две точки. А размер помещения? Что это за пространство, евклидово, декартово, полярное? Чтобы определить, что означает прямая линия, вам придется сузить ее еще больше. Для двумерной декартовой плоскости это будет кратчайший путь между двумя точками. Тем не менее, есть еще ряд математических аксиом, которые необходимо удовлетворить...

Созерцание абстрактного понятия напрямую, без каких-либо оснований для реализации этого понятия, привело бы вас к парадоксальному мышлению, вводящим в заблуждение мыслям и откровенному замешательству. Повторюсь, вам придется сузить круг, что и где будет проходить эта прямая линия; вам придется реализовать концепцию в той или иной форме. Найдите систему правил, которым необходимо удовлетворять, чтобы определить прямую линию.

Ведь мир без правил — это хаос.