Всегда ли математика верна?

Физические науки полагаются на обдумывание гипотез и проверку их с помощью экспериментов. Выводы из физических наук всегда подвергаются тщательной проверке, потому что это путь научного метода. Для того, чтобы научная теория стала лучше, сначала обнаруживается недостаток в теории, затем выдвигаются измененные гипотезы, после чего проводится повторная проверка.

К сожалению, некоторые люди видят в этом методе доказательство того, что наука часто ошибается и ненадежна. Однако наука — это методология, которая включает в себя постоянное уточнение гипотез, чтобы получить все более и более ясное представление об истине. Следовательно, наука не ошибается, но гипотезы, которые выдвигает наука, также никогда не бывают на 100% правильными. Это природа игры.

Однако математика — это совсем другая игра. Математика работает от аксиом вверх. Поэтому математике не нужно постоянно совершенствоваться, как это делает наука. Математика основана на основаниях, известных как аксиомы, из которых строится остальная часть предмета. В отличие от науки, аксиомы математики неизменны.

Науку можно рассматривать как работающую в направлении, противоположном математике. То есть определение принципов из результатов, что намного сложнее, чем определение результатов из принципов (математики).

Единственное, что вы должны принять за безоговорочную истину в математике, — это некоторую минимальную логику (и да, это несмотря на наличие аксиоматических систем для логики; вам все равно придется использовать некоторую форму логики, чтобы фактически определить эти аксиоматические системы). Но логика считается истинной в любой науке (потому что без нее нельзя делать никаких выводов).

Но помимо логики, все утверждения в математике в конечном счете являются условными утверждениями относительно выбранных аксиом. Например, возьмем утверждение «существует бесконечно много простых чисел». Откуда мы можем знать, что это действительно так? Что ж, у нас есть определение натуральных чисел через набор аксиом, и у нас есть определение того, что значит быть простым числом. Из этих аксиом мы можем логически вывести, что существует бесконечно много простых чисел. Но это утверждение имплицитно обусловлено аксиомами: мы должны предположитьчто то, на что мы смотрим, действительно соответствует аксиомам Пеано. Если мы посмотрим на что-то, что не так, утверждение не выполняется. Однако математика не рассматривает конкретную систему. Вывод, который он выводит, состоит не в том, что «для этого объекта реального мира у нас есть бесконечно много простых чисел». В нем говорится: « Всякий раз , когда у нас есть что-то, что удовлетворяет этим аксиомам, мы знаем, что найдем бесконечно много простых чисел». Это также говорит вам, что если мы сделаем некоторые другие предположения (например, что аксиомы теории множеств верны), мы можем сделать вывод, что найдем нечто, удовлетворяющее этим аксиомам.

Вот почему математика так полезна в естественных науках: она не говорит нам, какие предположения верны. Но он говорит нам, что следует , если некоторые допущения верны (а также, если некоторые допущения не могут быть верны вместе). Итак, если у нас есть, например, физическое явление, мы можем сформулировать гипотезу о том, что оно обладает определенными свойствами. Эта гипотеза не является частью реального мира, а является набором предположений. Поэтому теперь мы можем обратиться к математике, которая говорит нам, чего ожидать от систем с такими предположениями (а также какие дополнительные предположения мы можем сделать). Обратите внимание, что этот шаг совершенно не зависит от реальности. После того, как мы выяснили, чего ожидать, если эти предположения верны, тогдамы можем вернуться в лабораторию и проверить, показывают ли наши эксперименты поведение, которое мы только что получили из наших предположений. Если да, то мы получили подтверждение и можем быть более уверены в нашей гипотезе, в противном случае мы фальсифицировали нашу гипотезу и должны ее модифицировать (и опять же, математика скажет нам, какие предположения будут совместимы с нашими новыми знаниями из эксперимента). .

Обратите внимание, что есть еще один тип теорий, подвергающих сомнению, которые используются в математике, а также в естественных науках: а именно, вопросы о том, верны ли ваши результаты на самом деле. В математике это означает проверку отсутствия ошибок в доказательстве (и в некотором смысле это похоже на экспериментальную проверку теорий в естественных науках: мы уверены в доказательстве, если оно было достаточно изучено и никто не нашел подтверждения). ошибка), в физике это означает проверку того, что нет ошибки в процедуре измерения (т. математике и не делал никаких скрытых предположений, и поэтому наши выводы о том, чего ожидать, верны).

Математика часто воспринимается как некий путь к истине. Но его методы не так просты, как это принято изображать.

Хотя математические системы часто описываются аксиоматически, эти системы рождаются не так. Часто это их окончательная форма или, скорее, форма, в которой они выражены, чтобы выявить их наиболее важные свойства и создать впечатление, что они почти неизбежны. Хотя это настолько же психологично для определенного типа ума.

Примером может служить исчисление: Архимед исследовал интеграцию синтетически, но не смог поместить ее в формальную аксиоматическую систему а-ля Евклид. Его развитие застопорилось до тех пор, пока Ньютон/Лейбниц не использовали координацию геометрии, чтобы полностью реализовать ее возможности. Было, конечно, замечено, что эти «флузии» не были полностью строгими, и критика Беркли «призраков ушедших количеств» была уязвлена. Только после того, как Коши разработал идею предела, основы исчисления начали строиться на строгой основе. Сейчас существует множество различных аксиоматик исчисления: синтетическая дифференциальная геометрия, нестандартный анализ, диффеологические пространства. Какая из них является единственной истинной и правильной аксиоматической структурой?

Точно так же и с более известной историей евклидовой геометрии. Ткань пространства-времени гораздо лучше моделируется лоренцевской геометрией.

Можно было бы возразить, что аксиомы выведены эмпирически, путем понимания того, какие важные вопросы можно изложить с помощью такого рода языка, но, несомненно, логика остается априорной.

Опять же, это не так просто. У нас есть классическая логика времен Аристотеля, которая подтвердила закон исключенного третьего (но он отметил, что это не относится к будущим событиям), в конечном итоге она была формализована как булева логика, но Брауэр защищал интуиционистскую логику, которая не (его начальник посоветовал ему завоевать репутацию в какой-нибудь традиционной области, прежде чем отстаивать такие поразительные взгляды). Сейчас люди исследуют логику, в которой не действует закон непротиворечия, где учитывается время и модальность и так далее.

Природа математической истины не проста. И это не всегда верно. В утверждении социальных конструктивистов о том, что математическая истина социально сконструирована, есть большая доля правды, но это не означает, что она является единственной и что она также не имеет какого-то сложного отношения к реальности.

Вот что сказал Феликс Кляйн (он был математиком, известным , среди прочего , тем, что сформулировал программу Эрлангена ):

Довольно часто можно услышать, как нематематики, особенно философы, говорят, что математика должна делать выводы только из четко заданных предпосылок и что не имеет значения, истинны эти посылки или ложны — при условии, что они не противоречат сами себе. Однако всякий, кто продуктивно занимается математикой, будет говорить совершенно по-другому. На самом деле, эти люди основывают свои суждения на кристаллизованной форме, в которой математические теории представляются после того, как они были разработаны. Ученый-исследователь, как и любой другой ученый, не работает строго дедуктивно, а по существу использует свое воображение и продвигается вперед индуктивно с помощью эвристических средств.

Я думаю, что ответ на этот вопрос заключается в различии: наука имеет дело с наблюдаемыми явлениями , тогда как математика имеет дело с абстрактными понятиями , такими как числа , множества или природа вычислимости .

Там, где наука стремится выразить истинное состояние Вселенной, математика стремится создать непротиворечивые системы мышления . Когда говорят о научной теории , имеют в виду развитое и проверенное объяснение мира природы, которое может давать фальсифицируемые предсказания. Когда говорят о математической теории , имеют в виду текущее состояние исследования одного из этих абстрактных понятий. Ученый продвигает свою область, проверяя гипотезы . Математик продвигает свою область, доказывая теоремы .

Математика не претендует на то, чтобы быть законом вселенной, математика вообще не претендует на то, чтобы быть чем-то одним . Бывает, что наука использует математику в надежде, что Вселенная — это система, которую можно последовательно выразить, иначе как бы мы поступили?

Метод Сократа : спросите вопрошающего, что он имеет в виду под своими словами:

• Что вы имеете ввиду под "законами"? Существуют подробные (математические) определения того, что такое «теория» и что такое «формула», но что такое «закон»? Можете ли вы сказать разницу между «законом», «аксиомой», «теоремой» и, скажем, «определением»?

• Что вы имеете в виду под словом "под вопросом"? Как и почему нематематические «теории/законы/формулы» вызывают больше вопросов , чем математические.

Если вам удастся дать хотя бы частичные ответы на эти вопросы, представляется целесообразным продолжить разговор.

В математике есть противоречивые предположения, которые нельзя разрешить, и это нормально! Евклидова и гиперболическая геометрия основываются на разных наборах аксиом, которые не могут быть верны одновременно. Однако обе геометрии имеют смысл и имеют практическое применение.

Теперь математики также имеют дело с определениями, и, конечно, есть разные способы определить одно и то же. Теперь потребовалось некоторое время, чтобы фактически определить такие вещи, как ограничения, группы и т. д., и на протяжении всей истории они выглядели немного по-разному. Некоторые вещи становятся значительно лучше с «лучшим» определением. Некоторые предпочитают использовать $2\pi=\tau$ как константу окружности, на которой все основано, и многие формулы упрощаются, используя $\tau$ вместо $2\pi.$

Математика, безусловно, может ошибаться в том смысле, что математик представляет ошибочную теорему с ошибкой в ​​ее доказательстве, и она выдерживает проверку коллег и обычно принимается за истину.

Конечно, через некоторое время ошибка будет найдена и внесены необходимые исправления. Любая теорема, которая следует правилам от аксиомы , верна. Это может быть совершенно не связано с физикой или работой нашей вселенной, или может быть связано и очень похоже, но с важными недостатками, тем не менее, в своих собственных рамках это правильно, пока на этом пути не было сделано (глупых) ошибок.

Интересный момент: некоторые разделы математики используют теоремы без доказательств. Известные математики предлагают гипотезу с ошибочным доказательством, с известной ошибкой — доказательство покрывает большую часть случаев, но некоторые остаются недоказанными. Далее следует математика, основанная на этой теореме, всегда с небольшой оговоркой «Предполагая, что теорема X верна», и тем временем между энтузиастами идет гонка за полное доказательство или, наоборот, опровержение сомнительной теоремы. В этих случаях математика может быть ошибочной, но только в пределах диапазона отказа от ответственности.

Самый достоверный ответ, который я знаю, дан Анри Пуанкаре в его «Науке и гипотезе»:

Он пишет о рассуждении повторением как о примере истинной научной ценности, отличной от тавтологии. Затем он сравнивает математику с физикой в ​​этом аспекте:

Мы не можем не заметить, что здесь имеется поразительная аналогия с обычными процессами индукции. Но есть существенная разница. Индукция, применяемая к физическим наукам, всегда неопределенна, потому что она основана на вере в общий порядок Вселенной, внешний по отношению к нам порядок. Математическая индукция, т. е. доказательство повторением, напротив, необходимо нам навязана, ибо она есть лишь утверждение свойства самого духа.

http://www.brocku.ca/MeadProject/Poincare/Poincare_1905_02.html

Математика может ответить только на ограниченные вопросы. Вся математика использует детерминированные уравнения, недетерминированной математики не бывает. Мы можем решить только для 1 переменной, сохраняя другие переменные постоянными. Это не то, как работает реальный мир. Примером этого является классическая задача трех тел в физике. Другими примерами являются динамика потока и хаос.

Нет, математика не всегда верна. Было много ложных теорем и доказательств. Упомянем лишь некоторые:

В 1833 году, в год своей смерти, Адриан Мари Лежандр представил Французской академии наук обзор доказательств аксиомы параллельности. Он включал шесть строгих доказательств, три из которых использовали бесконечные угловые области. Здесь «строгий» следует понимать в смысле его времени, как современные математики употребляют «строгий» в смысле нашего времени. Но очевидно, что абсолютной строгости никогда не может быть ни тогда, ни сегодня.

Теорема Шредера-Бернштейна неоднократно формулировалась (и утверждалась как доказанная) между 1882 г. [G. Кантор, письмо Р. Дедекинду (5 ноября 1882 г.)] и 1895 г. [Собрание сочинений Кантора, с. 285], но никогда не было действительно доказано Кантором. Эта теорема названа в честь Эрнста Шредера и Феликса Бернстайна, потому что оба доказали ее. Однако Алвин Корсельт обнаружил недостаток в доказательстве Шредера в 1902 году. Увы, Mathematische Annalen не опубликовал исправление до 1911 года. [A. Корсельт: "Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes", Math. Анна. 70 (1911) 294]. Тем не менее прошло некоторое время, прежде чем это исправление привлекло внимание общественности. Эрнст Цермело отмечал в своем издании собрания сочинений Кантора еще в 1932 г.: «Теорема [...] была доказана только в 1896 г. Э. Шредером и в 1897 г. Ф. Бернштейном.

Нынешняя теория множеств считается фундаментом математики. Как выразился Френкель: «Если атака на бесконечность (законченную бесконечность теории множеств) увенчается успехом… от математики останутся только остатки». Однако можно показать, что теория множеств противоречит математике. Простейший пример: Макдак, который ежедневно получает 10 долларов и тратит 1 доллар, согласно анализу станет бесконечно богатым, но согласно теории обанкротится.

Есть еще много доказательств того, что математика ненадежна. Но этих немногих должно быть достаточно.

Конечно, можно сказать, что математика — это лишь чистое ядро, очищенное от человеческих заблуждений и ошибок. Но откуда вы тогда знаете, что представляет собой это ядро ​​математики, в частности, в отношении результатов Гёделя?

По моему мнению (я учусь в 10-м классе в Турции, но я также математический ботаник), если вы смотрите глазами математика и видите правильный результат, выведенный из набора принятых нами аксиом, который не предполагает парадокс. (Да, я знаю о теореме Гёделя о неполноте.) Это говорит о том, что математика — это самое близкое к совершенству, что у нас есть.

Строгость математиков не имеет себе равных в научном сообществе. Математикам всегда требуются доказательства любых предположений. Некоторые важные вопросы, такие как гипотеза Гольдбаха и гипотеза Римана, имеют триллионы примеров и ни одного контрпримера, и все же математики не принимают их как факты, но, тем не менее, задают вопросы. В любой другой науке они рассматривались бы как факты, однако математики не считают их фактами. (Это одна из причин, по которой я хочу быть математиком, а не врачом, биологом или даже бизнесменом.)

Тем не менее, когда вы рассматриваете реальный мир, все становится грязным. Даже если каждая теорема, которую вы использовали, и каждый сделанный вами расчет верны, ваши результаты могут быть неверными, потому что модель, которую вы использовали для описания мира, была неверной, а, поверьте мне, моделировать мир довольно сложно.

Например, некоторые законы Ньютона неверны. (Если быть точным, они не идеальны, но очень, очень хороши для повседневного использования.) Они неверны, когда мы смотрим на объекты, достаточно маленькие или движущиеся достаточно быстро. Тем не менее, мы делаем космические челноки и истребители, используя их не потому, что они совершенны, а потому, что они являются достаточно хорошим приближением.

Тем не менее, если вы используете эти законы для построения GPS без учета теории относительности, вы потерпите неудачу. В то время как некоторые из лучших систем GPS измеряют погрешность в миллиметрах, без компенсации относительности у вас будет погрешность в километрах.

Может быть, я немного не в тему, но все же скажу. Учтите, что наука хочет дать количественную оценку и сделать вещи как можно более воспроизводимыми. Делать вещи измеримыми и воспроизводимыми — идеальный способ описать математику. Независимо от того, как вы себя чувствуете сегодня и насколько близко вы находитесь к горизонту событий черной дыры, если вы подставите значение x в уравнение, вы получите те же результаты, что и нужны ученым при моделировании мира.

С точки зрения интуиционистов математика — это наука, и она развивается, как и любая другая наука. Но то, что изучает математика как наука, не является тем, что мы наивно понимаем как ее истинную область.

Объекты математики, которые математики доказывают, не являются научным объектом дисциплины, это ее эксперименты и ее технология. Вместо этого предметом изучения являются интуиции людей. Математика определяет, как эти интуитивные представления согласуются друг с другом или противоречат друг другу и каким образом подтверждаются наши наивные естественные предположения о том, как они будут сочетаться. Мы проверяем эти вещи в экспериментальном процессе написания доказательств.

Все прошлые физические эксперименты остаются физическими экспериментами, и все технологии, являющиеся результатом применения прошлой физики, также остаются в силе, даже когда физика, на которую они первоначально опирались, модифицируется. Точно так же все прошлые доказательства и методы математики остаются доказательствами и методами математики. Что меняется и совершенствуется с той же скоростью, с какой развиваются законы физики, так это выбор областей математики, которые интересны или применимы к другим наукам.

В этом качестве математика действительно является отраслью психологии. Он изучает, какие интуитивные представления легко вызываются в различных комбинациях у широкого круга людей и, следовательно, доступны для использования в абстрактных объяснениях. Мы можем ошибаться в том, что имеет смысл разрабатывать или что будет иметь применение к другим нашим ментальным структурам, по сравнению с тем, что примет слишком много форм или будет просто бессмысленной разработкой, даже если сама математика никогда не бывает «правильной» или «неправильной». ", а просто "там".

Как отмечалось в другом ответе здесь, вполне разумно смотреть на всю математику как на вымышленную , а значит, ложную, но внутренне непротиворечивую. И в этом случае он не теряет своей ценности. Потому что это, в корне, не об истине. Речь идет о мыслимости: о том, что потенциально может иметь смысл для человеческого разума, и какие идеи только кажутся пригодными для использования, но при надавливании в конечном итоге не совмещаются.

Теоремы всегда можно вывести из аксиом, которые мы считаем правильными. Не бывает "правильных" аксиом. Вы можете выбрать что угодно, но они не должны противоречить ни себе, ни другим аксиомам. Если у вас есть особенно хороший набор аксиом, у вас может даже не быть противоречий, но это невозможно доказать. Следовательно, математика — самый надежный инструмент, когда-либо созданный человечеством. (Да, даже надежнее, чем АК-47 или HK MK23.)

Что делают математики, так это создают идеализированный мир, в котором единственными силами, воздействующими на брошенный вами мяч, являются сила, которую вы приложили, и сила тяжести. Он всегда следует идеализированному пути. Да, вы можете потерять некоторую точность, но этого достаточно для всех практических целей. Если вам нужна большая точность, вы также можете учитывать сопротивление воздуха, движение земли и т. д.

Здесь много наивных и легкомысленных увлечений математикой. Математику правильнее было бы описать как формально систематизированное мышление, как язык. Гёдель и провал программы Гильберта показали, что математика — это не лестница к взгляду бога, а плавающая точка, определяющая верх и низ — и как Хофштадер описал зацикливание: https://absoluteirony.wordpress.com/2014/09 /17/nagarjuna-nietzsche-rorty-and-their-strange-looping-trick/

Математика никогда не обойдет стороной https://en.m.wikipedia.org/wiki/Münchhausen_trilemma Откуда берутся аксиомы и как узнать, что они верны? Только интересным поведением получившейся системы. Маленький грязный секрет математики.

Математика совершенно неверна; и чтобы доказать, что мы должны сначала определить неправильное или ложное. Истина должна быть определена следующим образом: (а) законы природы являются единственными истинами (б) эти законы создаются объектами природы и их свойствами (в) природа всегда демонстрирует свою истинность.

Рассмотрим простое математическое утверждение (M1) 1+2=3. Все поймут M1, один апельсин и два яблока дают нам три фрукта. Но это совершенно неправильное использование математики по нескольким причинам. Числа 1, 2, 3 — точки на прямой; они не могут быть яблоками и апельсинами. Точки не являются объектами природы. Следовательно, реальные цифры ложны. Также эти точки определяются как точки на прямой линии, называемой реальной линией. Но в природе нет прямой линии, потому что все объекты во Вселенной непрерывно движутся. Следовательно, основное определение, прямая линия, точки и т. д. — все это ложно и не существует в природе. Поэтому такая математика никогда не может работать для природы и техники. Есть много примеров, доказывающих, что математика не может работать в природе. Взгляните на первую главу об истине в бесплатной книге по теории души наhttps://theoryofsouls.wordpress.com/