Является ли теорема Курта Гёделя о неполноте «дешевым трюком»?

Сам Гёдель беспокоился, что его теоремы о неполноте были своего рода дешевой уловкой, просто скрытой тривиальной версией парадокса лжеца, но с использованием «это утверждение недоказуемо» вместо «это утверждение ложно». Так что я думаю, что вопрос очень хороший.

И хотя я очень восхищаюсь теоремами, позвольте мне описать еще один смысл, в котором первую теорему о неполноте можно рассматривать с современной точки зрения как дешевый трюк: это всего лишь замаскированная проблема остановки .

Позволь мне объяснить. Сравнительно легко доказать (см. ниже), что проблема остановки неразрешима, то есть не существует вычислимой процедуры, которая могла бы надежно определить, приведет ли данная пара программа/вход к остановке вычисления. Предположим теперь, что T — истинная теория с вычислимо аксиоматизируемым списком аксиом. Если бы T было полным, то мы могли бы решить проблему остановки следующим образом: при заданной программе p и входных данных x мы систематически перебираем все возможные доказательства из T либо утверждения, утверждающего, что p останавливается на x, либо утверждения, утверждающего, что p останавливается на x. что p не останавливается на x. Если T истинно и полно, то мы в конце концов найдем такое доказательство с одной или с другой стороны. Таким образом, мы сможем за конечное время сказать да или нет, останавливается ли p на входе x. Это противоречит неразрешимости проблемы остановки. Так что T не должно быть полным в конце концов. Другими словами, будут истинные утверждения, недоказуемые в T. Можно использовать доказательство, чтобы показать, что существуют такие утверждения вида «такая-то программа не останавливается на таком-то вводе». Утверждение верно в том смысле, что эта программа не останавливается на этом вводе, но мы не можем доказать это утверждение в T.

Это доказательство теоремы о неполноте позволяет отказаться от обычных аргументов с помощью леммы Гёделя о неподвижной точке, которая иногда может сбивать с толку, и вместо этого раскрывает теорему о неполноте просто как версию проблемы остановки. В самом деле, многие читатели могут полагать, что аспекты самореференции леммы о фиксированной точке лежат в основе феномена неполноты, но это доказательство, кажется, полностью избегает самореференции (ну, оно ограничивает самореференциальный аспект доказательством неразрешимости самой проблемы остановки).

Так в чем же было настоящее достижение Гёделя? Возможно, самой важной идеей, которую он имел в своих теоремах, была арифметизация синтаксиса, идея о том, что утверждения теории чисел можно рассматривать как утверждения об утверждениях. Эта идея глубока, и я использовал ее выше в рассуждении о проблеме остановки, предполагая, что утверждение о том, что программа останавливается или не останавливается, может быть выражено как утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто в T. Идея арифметизации теперь соткана из полностью в современной перспективе, поскольку все мы знаем, что философские статьи, которые мы пишем на нашем компьютере, а также фотографии, музыка, видео и т. д., которые у нас там есть, в конечном счете представлены нулями и единицами внутри компьютера, и так далее. нам нетрудно представить себе статью как очень длинную последовательность битов, по сути, огромное число.

Доказательство того, что проблема остановки неразрешима. Если бы существовала вычислимая процедура для надежного определения того, останавливается ли данная программа/ввод, то спроектируйте новую программу q, которая на входе p сначала спрашивает, останавливается ли p на входе p, а затем сама выполняет противоположное поведение. Отсюда следует, что q останавливается на входе q тогда и только тогда, когда это не так, противоречие.

Теоремы Гёделя о неполноте не являются дешевыми трюками в любом смысле этого выражения. Если вы хотите назвать гениальный метод, которого никто не ожидал, «хитростью», то так тому и быть, но это совсем не дешево. Давайте рассмотрим, что доказал Гёдель в своих двух так называемых теоремах о неполноте. Я сформулирую теоремы неформально, но отмечу, что у каждого термина в утверждении есть формальный и совершенно определенный аналог:

Первая теорема Гёделя о неполноте (G1T) Любая достаточно сильная формализованная система базовой арифметики содержит утверждение G, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто этой системой.

Вторая теорема Гёделя о неполноте (G2T) Если формализованная система базовой арифметики непротиворечива, то она не может доказать свою собственную непротиворечивость.

Теперь, как я вижу, вы задаете два вопроса:

1. Являются ли эти теоремы «серьезными аргументами»?
2. Продвигают ли они философию вперед?

Ответ на оба вопроса – да. Я отвечаю им по очереди:

1. Сам аргумент является метаматематическим, что означает, что он использует метаязык для доказательства вещей, касающихся объектного языка обычной математики.

   Гёдель делает это следующим образом: он использует свой метаязык как тот, который включает в себя интуитивные представления об арифметике (натуральные числа) вместе с пониманием того, что представляют собой примитивно-рекурсивные функции натуральных чисел. Используя этот метаязык, он доказывает, что любая формализация базовой арифметики может зафиксировать собственное отношение доказуемости. Сначала он определяет то, что называется схемой нумерации Гёделя, в которой каждой формуле языка в нашей формализации присваивается уникальный номер (в нашем метаязыке).

   Затем он доказывает, что существует формальная одноместная открытая формула NotProv(x), которую можно интерпретировать как означающую «x недоказуемо», где x — числительное в формализации (помните, что речь идет о формальной системе базовой арифметики). таким образом, он будет содержать эквивалент интуитивных чисел, т. е. числительных), которые соответствуют данному предложению в языке посредством гёделевской нумерации.

   Теперь, имея NotProv(x), мы можем сделать то, что Гёдель назвал диагонализацией, а именно применить NotProv(x) к самому себе, т.е. принять x за числительное, соответствующее формуле NotProv(x). Назовите полученное предложение G = NotProv(NotProv). И поскольку NotProv(x) говорит, что «x недоказуемо», вы можете видеть, что G говорит «я недоказуем». А то, что говорит о недоказуемости, нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

   Это очень быстрый и неформальный способ представить аргумент — обычно нужно различать семантическую и синтаксическую версии теоремы. Но дело в том, что, как видите, здесь идет серьезная и кропотливая работа.

   Доказательство (G2T) аналогично. Используя NotProv(x), вы можете определить «предложение о непротиворечивости» для данной формализации, написав NotProv(0=1), т. е. предложение, в котором говорится «Никакое противоречие не доказуемо», что эквивалентно «Эта система непротиворечива». И с помощью аналогичного, но технически более тонкого аргумента вы можете утверждать, что это предложение недоказуемо, учитывая, что система на самом деле непротиворечива.

2. Вторая теорема, возможно, более эпохальна, чем первая, потому что она положила конец программе Гильберта . Это крупный философский сдвиг в философии математики, по существу означающий конец философской школы формализма.

   Кроме того, люди утверждали, что (G1T) доказывает, что мы никогда не можем полностью уловить арифметическую истинность, потому что дальнейшее следствие (G1T) состоит в том, что предложение G действительно истинно, и, следовательно, мы можем заключить, что любая формализация арифметики будет содержать утверждения, которые мы можем понять. см., верны, но фактически недоказуемы в этой системе.

   Это привело к тому, что такие люди, как Майкл Даммет (интуиционист), назвали арифметическую истину «бесконечно расширяемой» (ср. Даммит «Философское значение теоремы Гёделя»). Такие люди, как Лукас и Пенроуз, использовали как (G1T), так и (G2T) для приводят доводы в пользу того, что называется антимеханистическим тезисом, т. е. что разум не может быть машиной (ср. Пенроуз «Новый разум императора» и Лукас «Разум, машины и Гёдель»).

В целом, я должен сказать, что философское влияние как (G1T), так и (G2T) невозможно переоценить. Это были события монументального значения для аналитической философии, для философии и практики математики, а также для теории вычислений и машин. Большинство людей (особенно глупые и невежественные континентальные постмодернисты, превратившие в спорт злоупотребление математикой в ​​погоне за альтернативными словарями) считают их трюками, потому что они не удосужились взглянуть на фактические технические детали и думают, что идея доказательство дает им полное представление о его последствиях. Популяризация на самом деле не оправдывает теоремы.

Если вам интересно, я рекомендую вам пройти весь аргумент целиком — момент откровения, когда все сошлось воедино, настолько близок к эстетическому опыту, насколько вы когда-либо могли испытать формальную логику.

Так как никто еще не принял другую сторону, я попробую себя в роли адвоката дьявола. Имейте в виду, что я не математик, поэтому ответ, вероятно, будет содержать ошибки, и я не привержен этой точке зрения, но заинтересован в том, чтобы дебаты превратились в дебаты. Кроме того, мое понимание творчества Гёделя во многом основано на прочтении книги Дугласа Хофштадтера « Гедель, Эшер, Бах: вечная золотая коса ». Таким образом, это может быть критикой книги Хофштадтера, а не неполноты Гёделя. Осторожно, лектор !

Во-первых, я принимаю его значение в математике. (Как я могу не?) Я укажу, что работа Гёделя действительно положила конец проекту Principia Mathematica , что может быть тем, что статья подразумевает под «устрашением математиков в тридцатые годы». Кроме того, статья в Википедии об основах математики предполагает, что теоремы о неполноте отвлекли математику от гильбертовской программы формализма :

В некотором смысле кризис не разрешился, а угас: большинство математиков либо не работают из аксиоматических систем, либо если и работают, то не сомневаются в непротиворечивости ZFC, вообще предпочитаемой ими аксиоматической системы. В большей части математики, как она практикуется, различные логические парадоксы никогда не играли роли, а в тех областях, в которых они играют (например, в логике и теории категорий), их можно избежать.

Во-вторых, я признаю, что Теоремы на самом деле верны. За это я очень обязан ГЭБу , который может быть популяризацией, но также произвел во мне что-то вроде «эстетического опыта». Замечательная идея о том, что формальную систему можно заставить оценивать себя и что такая самореференциальная операция подразумевает, что система тем самым будет сделана неполной, захватила меня, когда я читал и понимал ее. Кроме того, концепция кажется неизбежной, потому что она есть.

Итак, что нам осталось, так это применение неполноты Гёделя за пределами математики.
И чем больше я думаю об этом, тем больше я думаю: «Ну и что?» Очевидно, что это очень помогает, если вы находитесь в диалоге с кем-то, кто хочет создать полную, непротиворечивую, самоподтверждающуюся систему мышления. Но поскольку мы все постмодернисты в хронологическом смысле, это не так часто кажется проблемой. И, конечно же, работа Гёделя будет бесценна для тех, кто ищет пределы искусственного интеллекта или интересуется, существует ли какая-либо механическая модель, которая может имитировать разум.

Когда я пытаюсь осмыслить идеи в контексте интеллектуального ландшафта, мне кажется, что я просыпаюсь от прекрасного сна. Это было глубоко и убедительно, когда я был под его чарами, но теперь я стряхиваю с себя сонливость и задаюсь вопросом, чем основная идея отличается от парадокса Эпименида:

Тебе устроили гробницу, о святой и высокий
Критане, всегда лжецы, злые звери, праздные животы!
Но ты не мертв: ты живешь и пребываешь вечно,
Ибо мы в тебе живем и движемся и существуем.

- Эпименид, Кретика

Конечно, интересная загадка, но не то, на чем можно строить философские рассуждения. Это наводит меня на мысль, что нематематики часто цитируют Гёделя, потому что он известный математик с умлаутом в имени. И это, я думаю, мы все согласимся, было бы дешевой уловкой.

Основная задача современной литературной критики на самом деле довольно проста. Он основан на наблюдении, что при достаточном количестве ловких маханий руками и искусного словоблудия вы можете интерпретировать любой текст как утверждение о чем угодно.

Это вырождение деконструкции Дерридаса, которое можно рассматривать как нападение на господствовавшую тогда (и застойную) школу структурализма или как выход из нее. Если использовать математическую аналогию: математика (в определенном смысле) занимается аксиоматическими системами, но это не означает, что любая аксиоматическая система имеет одинаковую ценность. Точно так же не всякая интерпретация произведения имеет одинаковую ценность. Судить о вкусах все равно придется.

Более широкое движение под названием «постмодернизм» распространяет этот принцип с письма на все формы человеческой деятельности, хотя вы должны быть осторожны с применением этого ярлыка, поскольку стандартная постмодернистская тактика уклонения от критики состоит в том, чтобы попытаться вызвать метафизическую путаницу. подвергая сомнению саму идею ярлыков и категорий.

Постмодернизм — это вопрос и реакция на модернизм; точно так же, как романтизм был реакцией на ранний модернизм. С какого-то момента в будущем, оглядываясь назад, его можно рассматривать как часть модернизма. На самом деле еще слишком рано говорить (хотя, конечно, можно).

«Деконструкция» основана на специализации принципа, согласно которому произведение интерпретируется как высказывание о самом себе, с использованием литературной версии того же дешевого трюка, которым Курт Гёдель пытался напугать математиков еще в тридцатых годах.

Деконструкция — это, грубо говоря, инвертирование господствующих способов интерпретации в различных модусах, и это не новая техника: в конце концов, Маркс перевернул Гегеля, чтобы представить критику капитализма. Можно сказать, что деконструкция — это и литературный, и политический инструмент.

Теорема Геделя, с точки зрения математической логики, не является дешевой уловкой, но, безусловно, она использовалась как дешевая уловка философскими и математическими мошенниками. Парадоксы и антиномии использовались серьезными философскими мыслителями, такими как Гегель и Кант (лишь мимоходом) на Западе; и Нагарджуна и даосизм на Востоке.

Достижение Геделя в контексте является частью возрождения формальной логики, поскольку Фреге ввел новые методы и вопросы в математическую логику. Однако большинство популярных изложений упускают из виду важность Парадокса и увязку его с более широкой структурой парадоксальной мысли в философии — они довольствуются изложением доказательства Гёделя, тогда как его основные идеи объяснимы в довольно простых терминах — как и должно быть — и они это делают. не давать более широкой и широкой картины математической логики: категориальная логика, интуитивистская логика, непоследовательная математика, паранепротиворечивость и так далее.

Существует невероятное количество словоблудия о теореме Геделя , какой бы важной она ни была, которую следует обдумать наряду с невероятным количеством словоблудия вокруг деконструкции , какой бы важной она ни была.

Один из элементов Badious Program состоит в том, чтобы убрать это словоблудие и метафизический идиотизм, сделав математику местом онтологии. Но следует отметить, что его книга « Бытие и событие » ссылается на событие Деррида в статье, которую он представил в Колумбийском университете, которая должна была укрепить структурализм, но фактически стала трамплином для деконструкции.

Хотя теорема Гёделя обычно представляется как похоронный звон по математическому логицизму, были найдены способы обойти ее; некоторые части его программы были завершены. Например, доказательство Генценса непротиворечивости ПА, паранепротиворечивая логика помогает преодолевать противоречия в рациональной архитектуре математики, локализуя их.

По-видимому, существует общая тенденция к логическому плюрализму, который можно считать результатом программы логического монизма Гильберта после столетия размышлений.

Пока что постмодернизм далек от того, чтобы быть несущественным, можно видеть, что великий нарратив логического монизма, который можно рассматривать как часть модернистского проекта, стал постмодернистским, двигаясь к логическому плюрализму. Не Единое, а Множественное.

Я думаю, вы правы: Теорема о неполноте — совершенно правильный математический результат и имеет БОЛЬШУЮ ценность в математике, где она возникла.

По поводу его "философского значения"... дискуссия впечатляет, а вывода пока нет.

Это, я думаю, обычная закономерность: в XVII веке результат закона тяготения Ньютона (совершенно достоверный математический результат, доказанный из аксиом Ньютона (закона движения) и хорошо согласующийся с эмпирическими данными) породил большая дискуссия между философами (ньютонианцами против лейбнитанцев) о природе силы (существуют ли они на самом деле?), абсолютном пространстве, присутствии Бога в физическом мире...

То же самое в отношении законов квантовой механики и детерминизма и т. д.

То же самое относится и к теоремам Геделя: ВНУТРИ математики они дают нам много информации. ВНЕ Математики они предлагают идеи относительно (например) человеческого разума и знаний, но очень трудно думать, что (как в предыдущих исторических примерах) они могут «решать» большие философские проблемы.

Нет, это не дешевый трюк, если вы хотите понять, является ли что-то истинным или одновременно истинным и доказуемым. Например, вы можете доказать, что у вас нет доказательств? Если вы можете, то у вас есть доказательство, а доказательство ложно. Таким образом, может быть правдой, что доказательств нет, хотя, если вы попытаетесь доказать это, вы докажете обратное тому, что вы хотите доказать.

Но да, это дешевый трюк, поскольку согласованности недостаточно. Непротиворечивость вполне может быть необходимой характеристикой, но вы можете привести контрпример, опровергающий тот факт, что согласованность — это достаточная информация.

Последовательность, по-видимому, означает только то, что вы не можете доказать ложное утверждение и что то, что вы доказываете, также должно быть правдой.

Доказательство того, что вы лжец, не говоря правды, — это старый парадокс, который бросает вызов закону исключенного третьего, и одно из решений проблемы ссылок на самих себя состоит в том, чтобы полностью избегать ссылок на самих себя, чтобы все истинное могло быть доказано, и наоборот, все доказуемое было доказано. истинный.

Например, тавтология истинна (А=А истинна), но тавтология ничего не доказывает. Так что А=А верно и ничего не доказывает. Поэтому обычно ложные утверждения («Питер не является самим собой» подобен «А не есть А») могут быть более доказуемы, чем точные истины (А = А) из-за сходства, а не равенства.

Это важная задача.

Согласно теории типов, каждое предложение принадлежит определенному порядку. В исходном предложении Гёделя G порядок G неоднозначен.

Исходное предложение

 ~(T -> G)

должно быть одновременным утверждением нескольких предложений такого рода:

 ~(T -> Gn), where n is a natural number, 
             and Gn stands for "G of the nth order."

Пусть G обозначает ряд «не доказуемо посредством T»: G1, G2, G3, ..., Gn, ...

Пусть S обозначает корреляционную функцию «не доказуема с помощью T».

Тогда G2 = S(G1); G3 = S(G2); G4 = S(G3); ... Таким образом

 G = G1, G2, G3, G4, ... 
S;G= G2, G3, G4, G5, ...

куда ; представляет собой нотацию PM для применения корреляционной функции к ряду; G нельзя рассматривать как класс, потому что нет двух G одного и того же порядка (есть много места для расширения в теории типов, на сегодняшний день и в теории типов, я даже не могу произнести фразы типа " две буквы Г").

Так как G1 нет, S;G и G — один и тот же ряд. (Я понимаю, что G1 — это проблема; если логические типы также могут быть расширены вниз до бесконечности , тогда это решение завершено.)

И G следует читать как:

Этот ряд утверждений не может быть доказан теорией Т.

Обратите внимание, что ввод «эта серия утверждений» и вывод приведенного выше предложения совпадают. Это кажется самореферентным, но не индивидуально; это тот же ряд, сдвинутый вправо; аналогичным образом добавление 1 к ряду целых чисел приводит к тому же ряду.

Если порядок G прописан, G является одновременным утверждением следующих предложений:

The first order statement G1 in this series cannot be proved. 
- this is the 2nd order statement G2, which is False
  because there is no G1. Gn is a statement about a statement, 
  and a statement about a statement is at least 2nd order.


The 2nd order statement G2 in this series cannot be proved.
- this is the third order statement G3, which is True 
  because we just showed G2 is false.


The 3rd order statement G3 cannot be proved.  - G4
---False, we just showed G3 is true.

    So on so forth.

См . Парадокс лжеца в Principa Mathematica .

С другой стороны, если G понимать буквально, то согласно теории типов это нонсенс:

Ни одно предложение не может ничего сказать о себе, потому что пропозициональный знак не может содержаться в себе (это и есть «вся теория типов»).

Виттегенштейн, Трактат 3.332

Я попытаюсь проанализировать этот аргумент, используя зависимость предложения. Но почему должна быть зависимость предложения? Потому что предложение должно быть связано с существованием, иначе оно бессмысленно, и как существование связано с другим существованием через зависимость.

Зависимость предложения:

• Предложение строится, чтобы понять реальности (существования). Существования могут быть восприняты нами благодаря их функциональности, поэтому узлы предложения существуют как функции.

• Все, что существует, имеет функциональность. Есть две возможности; зависимость от чего-то другого (A->B) или «не» зависимость от чего-то другого (A|B).

• Следовательно, «предложение» состоит из узлов функций, образующих ряд зависимостей

Условия:

• Причина = (с)
• Причина = (cd)

Парадокс лжеца

Пример использования зависимости предложения может быть реализован для анализа этого вопроса, парадокса лжеца.

Парадокс лжеца: «Он говорит правду, что лжет, следовательно, Он не лжет».

Силлогизм

1. H then T = (c1) -> (cd1) (Если он есть, значит, что-то да говорит)
2. T тогда Ac = (cd1) -> (cd2) (Если что-то говорит, значит, есть действие от себя)
3. H то Ac = (c1) -> (cd2) (Если есть он, то есть действие от него самого - правда)
4. Ac then Ev = (cd1) -> (cd3) (Если есть действие от него самого, то есть еще одно событие, которого никогда не было, как он сказал - он врёт)
5. H then Ev = (cd1) -> (cd3) (Следовательно, Если есть он, то есть еще одно событие, которого никогда не было, как он сказал - он врёт)

• «Он не лжет» не противоречит «Он лжет (H, затем Ev), потому что «Он не лжет» указывает на (H, затем Ac).

• H, тогда Ac = (cd1) -> (cd2) является линией с H, тогда Ev = (cd1) -> (cd3)

Поэтому здесь нет противоречия и парадокса.

Теорема о неполноте

Неполным, потому что есть своего рода предложение, которое осталось не доказанным.

Я не совсем понимаю, как Гедель аргументировал свое число Геделя и многое другое, но я попытался понять суть того, что Гедель имел в виду под теоремой о неполноте. Благодаря моему простому пониманию теоремы Гёделя о неполноте, я попытался углубиться еще больше, чтобы увидеть четкое различие и поместить его в соответствующие места.

Логическая структура Курта Гёделя

Предположим, что существует система программирования, способная доказать любое утверждение, поэтому:

1. Предложение всегда доказуемо (системой программирования)
2. "Г" - это предложение
3. Следовательно, «G» всегда доказуемо».

• "Г" - недоказуемое утверждение
• Следовательно, «недоказуемое суждение доказуемо».

Силлогизм

1. (Все)P доказуемы
2. Г это П
3. G доказуема

• G = недоказуемое утверждение

Последствия

• Если G доказуемо, то = недоказуемое утверждение доказуемо = НЕСОСТОЯТЕЛЬНО.
• Если G недоказуемо, то = недоказуемое суждение недоказуемо = НЕПОЛНОЕ (потому что осталось недоказуемое суждение)

Зависимость предложения для теоремы о неполноте

Теперь мы попытаемся связать этот вопрос теоремы о неполноте с зависимостью предложения, чтобы узнать что-то, чем бы оно ни было.

Логическая структура Курта Гёделя

Силлогизм

G = недоказуемое утверждение

1. (Все)P, тогда Pr = All(cd1) <- (c1)

(Если есть все предложения, то они доказуемы)

2. (несколько)P, тогда G = несколько(cd1) -> (cd2)

(Если есть несколько предложений, то несколько из них являются типичными G)

3. G, то Pr = (cd2) <- (c1)

(Если какие-то из предложений типичны G, то они доказуемы)

• G = недоказуемое утверждение

Последствия

НЕСООТВЕТСТВУЮЩИЙ

• Если G доказуемо, то = недоказуемое утверждение доказуемо = НЕСОСТОЯТЕЛЬНО.

Отсюда я буду использовать зависимость от предложения, чтобы мы увидели четкое различие для возможного расположения (проще, чем с помощью силлогизма).

• (несколько)P -> ~Pr = несколько(cd1) | (c1) = "недоказуемое суждение"

(предложение не имеет отношения к доказуемости)

• {(несколько)P -> ~Pr}, тогда Pr = несколько(cd1) | (c1) <-> (c1) или (c1) -> несколько(cd1) | (с1)

(Если есть некоторые предложения, которые не имеют отношения к доказуемости, то они доказуемы) = (Если есть некоторые предложения, которые не имеют отношения к доказуемости, то эти предложения имеют отношение к доказуемости )

• Из силлогизма утверждается, что существует противоречие

• Из зависимости предложения , {несколько(cd1) | (c1) <-> (c1)} или {(c1) -> несколько (cd1) | (c1)} утверждает

• несколько(cd1) | (c1) <-> (c1) = несколько (cd1)

• (c1) -> несколько (cd1) | (c1) = (c1) -> несколько (cd1) = несколько (cd1) <- (c1)

Противоречие есть (согласно силлогизму) и здесь нет противоречия (согласно ДОП).

НЕПОЛНЫЙ

• Если G недоказуемо, то = недоказуемое утверждение недоказуемо = НЕПОЛНОЕ.

Отсюда я буду использовать зависимость от предложения, чтобы мы увидели четкое различие для возможного расположения (проще, чем с помощью силлогизма).

• (несколько)P -> ~Pr = несколько(cd1) | (c1) = "недоказуемое суждение"

(предложение не имеет отношения к доказуемости)

• {(несколько)P -> ~Pr}, тогда ~Pr = несколько(cd1) | (с1) | (с1) или (с1) | несколько(cd1) | (с1)

(Если есть некоторые предложения, которые не имеют отношения к доказуемости, то они недоказуемы) = (Если есть некоторые предложения, которые не имеют отношения к доказуемости, то эти предложения не имеют отношения к доказуемости )

• Из силлогизма утверждается, что противоречия нет

• Из зависимости предложения , {несколько(cd1) | (с1) | (c1)} или {(c1) | несколько(cd1) | (c1)} утверждает

• несколько(cd1) | (с1) | (c1) = несколько (cd1)

• (с1) | несколько(cd1) | (с1) = (с1) | несколько(cd1) = несколько(cd1) | (с1)

Противоречия (по силлогизму) и несоответствия здесь нет (по ДОП).

Электрическая схема рассуждения

Чтобы сделать это утверждение достаточно ясным для понимания, я собираюсь использовать популярный пример,

• Предложение есть (свет) и доказуемое есть (включение)

• (Недоказуемое утверждение) равно (свету, который нельзя включить)

• Недоказуемое суждение, которое доказуемо = Свет, который нельзя включить, пытались включить

• Свет, который не может быть включен, пытался включиться, поэтому свет не горел.

• Ключевое понимание в этом случае состоит в том, что система по-прежнему имеет возможность проверить соединение (способность доказать, способность послать электричество), но поскольку цель (недоказуемое предположение) не может быть включена, то свет ( недоказуемое положение, свет, который нельзя включить) все еще выключен. Но он не утверждал, что система не смогла полностью функционировать.

• Неспособность осознать это происходит потому, что на семантическом уровне одно предложение другому может стать двусмысленным, без четкого различия в отношении собственного барьера. Но связывая его с существованием (за пределами семантического уровня). Наконец мы обнаружили, что не существует непротиворечивости и неполноты, как утверждает теорема Гёделя о неполноте.

Действительно, мы можем понять (с другой стороны) истину, что если мы хотим сделать четко определенное утверждение, то оно должно быть завершенным, но непоследовательным, а утверждение непротиворечивым, но неполным. Но теорема Курта Геделя не имеет ничего общего с неполнотой и противоречивостью.

Теорема Гёделя ( основана ) на дешевом трюке . Но гениальность его в том, чтобы увидеть «мир в песчинке… и бесконечность на ладони». Другими словами, впечатляет не сам трюк, а то, что Гёдель смог понять последствия этого трюка для основ математики и логики И строго продемонстрировать их . Если бы только все мы могли почерпнуть столько же мудрости из версии парадокса, которая была обычным явлением тысячи лет назад.

Что касается аналогии с деконструктивизмом, я бы рискнул извлечь из этого урок: когда вы отбрасываете что-то как тривиальное, на самом деле может случиться так, что вы просто этого не понимаете .

Теоремы имели серьезные последствия. Они в значительной степени убили логический позитивизм, тем самым снова доказав, что невозможно иметь 100% рациональную систему убеждений (рациональная означает , что ее можно объяснить только с помощью логики и разума).

Последнее было известно по крайней мере со времен декартовского cogito ego sum , которое, строго говоря, ограничивало наше знание существованием нас самих (нашего мыслящего Я) — и, следовательно, совершенно лишало свободы.

К счастью, у нас есть другой вариант, и с практической точки зрения он так же хорош, как и стопроцентная рациональность. Мы можем исправить это, сделав единственное и почти естественное предположение о том, что мы а) бодрствуем и б) способны понять это. (настолько естественно, что мало кто знает, что даже было предположение). В частности, мы предполагаем, что Другими словами, мы предполагаем существование объективной и объяснимой реальности, которую мы все разделяем и частью которой являемся.

Это также «прыжок веры» Сёрена Кьеркегора — так оно и есть на самом деле, потому что объективная и объяснимая через логос реальность в очень древние времена именовалась Богом. Приняв это как нашу Первую Посылку, мы можем объяснить наш опыт только с помощью разума .

  « В начале был Логос, и Логос был у Бога, и Логос был Бог. Это было с Богом в начале. Через него все делалось; без него ничего не делалось. В нем была жизнь, и эта жизнь была светом для людей. И свет во тьме светил, но тьма не объяла его. -- Иоанна 1:1-5

Если предположить, что суть теоремы о неполноте 1931 года точно резюмируется ее характеристикой Витгенштейном и Гёделем:

«Я сконструировал предложение (для его обозначения я буду использовать «Р») в символизме Рассела, и с помощью определенных определений и преобразований его можно интерпретировать так, что оно говорит:
«Р недоказуемо в системе Рассела» (Витгенштейн ). :1983:118-119)

Соответствует собственной характеристике Гёделя:

Таким образом, мы сталкиваемся с предложением, которое утверждает свою собственную недоказуемость. (Гедель: 1931: 40).

Затем, когда мы объединяем эти два, мы получаем:
P говорит о себе, что это недоказуемо в системе Рассела.

Это легко формализуется на языке автоматизированных средств доказательства теорем (см. X=𝑓(X) ниже):
P = ¬Provable(RS, P)

Происходит проверка
Применение в доказательстве теорем
При доказательстве теорем объединение без проверки происшествий может привести к неверным выводам. Например, цель Пролога X=𝑓(X) будет успешной, связывая X с циклической структурой, которая не имеет аналога во вселенной Гербранда.

Теперь мы видим, что если Витгенштейн и Гёдель точно суммировали суть гёделевского логического предложения, то это предложение задает бесконечную рекурсию (циклическую структуру), следовательно, не является носителем истины.

Витгенштейн, Людвиг 1983 . Замечания об основаниях математики (Приложение III), 118–119. Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: The MIT Press

Гедель, Курт 1931 г. О формально неразрешимых утверждениях Principia Mathematica и родственных систем I, стр. 39-41.