Математическая разница между белыми и черными нотами на фортепиано

Первое, что вы должны понять, это то, что заметки не определены однозначно. Все зависит от того, какой тюнинг вы используете. Я предполагаю, что мы говорим здесь о равном темпераменте . При равной темперации полушаг равен частотному отношению$\sqrt[12]{2}$; таким образом, двенадцать полушагов составляют октаву. Почему двенадцать?

В конце концов, то, что мы хотим от наших музыкальных частот, — это хорошие отношения небольших целых чисел. Например, чистая квинта должна соответствовать частотному отношению$3 : 2$, или$1.5 : 1$, но при одинаковом темпераменте это не так; вместо этого он соответствует соотношению$2^{ \frac{7}{12} } : 1 \approx 1.498 : 1$. Как видите, это не пятая часть; тем не менее, это довольно близко.

Точно так же чистая кварта должна соответствовать частотному отношению$4 : 3$, или$1.333... : 1$, но при равной темпераментности соответствует соотношению$2^{ \frac{5}{12} } : 1 \approx 1.335 : 1$. Опять же, это не идеальная четвертая, но довольно близкая.

И так далее. Здесь происходит чрезвычайно удобное математическое совпадение: несколько степеней$\sqrt[12]{2}$оказались хорошими приближениями к отношениям небольших целых чисел, и их достаточно, чтобы играть западную музыку.

Вот как работает это совпадение. Вы получаете белые ключи от$C$используя (часть) квинтового круга. Начните с$C$и поднимитесь на пятую, чтобы получить$G$, затем$D$, затем$A$, затем$E$, затем$B$. Затем спуститесь на пятую, чтобы получить$F$. Это "соседи"$C$в кругу пятых. Отсюда вы получаете черные клавиши, используя остальную часть квинтового круга. После того, как вы прошли «идеальную» чистую квинту двенадцать раз, вы получите соотношение частот$3^{12} : 2^{12} \approx 129.7 : 1$. Это происходит довольно близко к$2^7 : 1$, или семь октав! А если мы заменим$3 : 2$к$2^{ \frac{7}{12} } : 1$, то получаем ровно семь октав. Другими словами, причина, по которой вы можете позволить себе идентифицировать эти интервалы, заключается в том, что$3^{12}$оказывается довольно близко к$2^{19}$. Сказал по-другому,

оказывается хорошим рациональным приближением, и это главная основа равного темперамента. (Другое главное совпадение здесь состоит в том, что$\log_2 \frac{5}{4} \approx \frac{4}{12}$; это то, что позволяет нам также втиснуть большие терции в равную темперацию.)

Фундаментальным фактом математики является то, что$\log_2 3$иррационально, поэтому ни для какого равного темперамента невозможно иметь «идеальные» идеальные квинты, независимо от того, сколько нот вы используете. Однако вы можете записать хорошие рациональные приближения, взглянув на непрерывную часть$\log_2 3$и запись конвергентов, и они будут соответствовать равнотемперированным гаммам с большим количеством нот.

Конечно, вы можете использовать и другие типы темперамента, такие как колодезный темперамент ; если вы придерживаетесь$12$ноты (что делают не все!), вам придется сделать так, чтобы некоторые интервалы звучали лучше, а некоторые – хуже. В частности, если вы не используете одинаковую темперацию, разные тональности звучат по-разному. Это основная причина, по которой многие западные композиторы сочиняли в разных тональностях; в их время это действительно имело значение. В результате, когда вы играете некоторые достаточно старые пьесы, вы на самом деле не играете их так, как они должны были быть услышаны — вы используете неправильный строй.

Редактировать: я полагаю, что также хорошо сказать кое-что о том, почему мы заботимся о коэффициентах частот, которые являются отношениями небольших целых чисел. Это связано с физикой звука, а я тут не особо разбираюсь, но это мое понимание ситуации.

Вы, наверное, знаете, что звук – это волна. Точнее, звук — это продольная волна , переносимая молекулами воздуха. Вы можете подумать, что существует простое уравнение для звука, создаваемого одной нотой, возможно.$\sin 2\pi f t$если соответствующий тон имеет частоту$f$. На самом деле это происходит только для тонов, воспроизводимых электронным способом; любой тон, который вы производите в природе, несет с собой обертоны и имеет ряд Фурье.

где коэффициенты$a_n, b_n$определить тембр звука; вот почему разные инструменты звучат по-разному, даже когда они играют одни и те же ноты, и это связано с физикой вибрации, которую я не слишком хорошо понимаю. Таким образом, любой тон, который вы слышите на частоте$f$почти наверняка также имеет компоненты на частоте$2f, 3f, 4f, ...$.

Если вы играете две ноты частот$f, f'$вместе, то результирующий звук соответствует тому, что получится, если сложить их ряды Фурье. Теперь нетрудно увидеть, что если$\frac{f}{f'}$является отношением небольших целых чисел, то многие (но не все) обертоны будут совпадать по частоте друг с другом; в результате звучит более сложная нота с определенными обертонами. В противном случае вы получите диссонанс, так как слышите оба типа обертонов одновременно, и их частоты будут схожими, но недостаточно похожими.

Редактировать: вам, вероятно, следует прочитать «Музыка: математическое предложение» Дэвида Бенсона, книгу, которую Рахул Нараин рекомендовал в комментариях для полной истории. Я многого не знал, и я только во вступлении!

Первый ответ великолепен, поэтому я попытаюсь подойти к вопросу с другой стороны.

Во-первых, существует несколько разных шкал, и в разных культурах используются разные шкалы. Это зависит как от математики инструментов, так и от культурных факторов. Наши весы имеют очень долгую историю, которая восходит к древним грекам и, в частности, к Пифагору. Они заметили (на слух), что струнные инструменты могут воспроизводить разные ноты, регулируя длину струны, и что некоторые комбинации звучат лучше.

Греки очень интересовались математикой, и им казалось «правильным» искать «совершенные» комбинации — совершенные в том смысле, что они должны быть выражены в виде долей небольших целых чисел. Они заметили, что если вы удвоите или уменьшите вдвое длину струны, вы получите ту же самую ноту (концепция октавы); другие дроби, например$2/3$,$3/4$, также производил «гармонические» комбинации. Это также является причиной того, что некоторые комбинации звучат лучше, поскольку это может быть объяснено физикой. Когда вы объединяете несколько синусоидальных волн, вы слышите несколько разных нот, являющихся результатом интерференции исходных волн. Некоторые комбинации звучат лучше, в то время как другие производят то, что мы называем «диссонансом».

Итак, теоретически вы можете начать с произвольной частоты (или ноты) и построить шкалу «гармонических» нот, используя эти соотношения (я использую кавычки, потому что термин «гармоника» имеет очень специфическое значение в музыке, и я говорить широко и неточно). Из этой схемы можно приблизительно вывести мажорную и минорную гаммы западной музыки. Обе гаммы (мажорная и минорная) имеют$7$примечания. Белые клавиши фортепиано соответствуют мажорной гамме, начиная с ноты до.

Теперь, если вы получите ноту до и используете «идеальные» дроби, вы получите «настоящую» гамму до мажор. И вот тут начинается самое интересное.

Если вы возьмете какую-либо ноту в гамме до мажор, вы можете рассматривать эту ноту как начало другой гаммы. Возьмите, к примеру, пятую часть до (это соль) и постройте новую мажорную гамму, начиная с соль вместо до. Вы получите еще семь нот. Некоторые из них также по шкале C; другие очень близки, но не совсем равны; а некоторые попадают в середину нот в гамме C.

Если вы повторите это упражнение со всеми нотами, вы в конечном итоге создадите$12$разные масштабы. Проблема в том, что интервал не регулярный, и есть некоторые неточности. Вам нужно перенастроить инструмент, если вы хотите иметь идеальную гамму.

Понятие «хроматическая» гамма (с$12$ноты, расположенные через равные промежутки) был придуман для решения этой «проблемы». Хроматическая шкала — это математическое приближение, достаточно близкое для БОЛЬШИНСТВА людей (но не для всех). Люди с «идеальным» слухом могут слышать недостатки. В хроматической гамме ноты равномерно распределены с использованием корня двенадцатой степени из двух. Это геометрическая прогрессия, которая с хорошей точностью соответствует всем возможным мажорным и минорным гаммам. Изобретение хроматической гаммы позволяет исполнителям воспроизводить музыку в произвольной гамме без перенастройки инструмента - вам нужно только отрегулировать гамму, «сместив» фиксированное количество позиций или полутонов от базовой позиции исходной гаммы.

В общем, это всего лишь условность и немного удачи. Белые клавиши - это «историческая случайность», поскольку они являются клавишами мажорной гаммы до. Остальные нужны для транспонирования. Также имейте в виду, что (1) клавиши должны иметь минимальную ширину для одного пальца, и (2) если бы у вас не было черных клавиш, октава была бы слишком широкой для игры «обычными» руками. . Так что схема с несколькими промежуточными тональностями нужна в любом случае, а хроматическая гамма, которую мы используем, по крайней мере так же хороша (или лучше), как и любая другая возможная гамма.

Данные ответы довольно хороши с музыкальной, математической и социологической/исторической точки зрения. Но они упускают основную причину, по которой$12$ноты в западной гамме (или$5$ноты в восточной пентатонике и т. д.), и почему именно эти$12$заметки (или$5$).

Цяочу почти угадал, указав, что нам нравятся записи, которые представляют собой простые целочисленные соотношения. Но почему? Фундаментальная причина кроется в физике распространенных ранних инструментов — флейт (включая человеческий голос) и щипковых струн — и в физике барабанной полости в ухе.

Как заметил Цяочу, звук состоит не из одной частоты синусоидальной волны, а из суммы многих синусоид. «Нота», которую мы слышим, — это частота основной (самой громкой) волны, исходящей от этих инструментов. Но в этой волне тоже есть частоты, хотя они в значительной степени маскируются первичной волной. Неофициально они известны как гармоники или обертоны.

Первые несколько гармоник флейт и щипковых струн подобны и очень просты: если первичная нормализована к частоте$1$, то вторая по громкости гармоника обычно$1/2$(октавой выше), терция обычно$1/3$(на октаву и квинту выше), четвертая обычно$1/4$(две октавы), квинта обычно$1/5$(две октавы и большая терция), а шестая обычно$1/6$(две октавы и квинта). Если основной нотой является C1, они примерно переводятся в C2, G3, C4, E4 и G4. Если гармоники продолжаются таким образом — а так бывает не всегда — появляются различные другие ноты.

Это важно, потому что если вы хотите играть на ДВУХ инструментах вместе, вам нужно, чтобы их гармоники совпадали, даже если они играют разные ноты. В противном случае избыток гармоник плохо воспринимается слухом. В худшем случае очень близкие, но не полностью перекрывающиеся гармоники создают «биты» — кажущиеся чередующимися громкие и тихие периоды времени — которые раздражают при прослушивании и неприятны для слуха.

Чтобы гармоники совпадали в нескольких инструментах или даже в последовательных нотах, вы должны выбрать ноты, чтобы они играли там, где их гармоники сильно перекрываются. Например, по этой же причине полезна большая четвертая, хотя она не часто появляется рано. Это потому, что если один инструмент играет до, а другой инструмент играет мажорную кварту, но ниже на октаву, они будут хорошо перекрываться.

Я полагаю, что этот выбор нот (так сказать, гарантирующий гармонию в гармонии) повлиял на эволюцию выбора звукоряда — особенно пентатоники, то есть черных нот) и деления октавы на$12$куски.

Одним из первых инструментов, который полностью вышел из строя, является колокол. Колокола и гонги могут быть настроены на различные гармоники, но самые распространенные из них — литейные колокола — имеют очень громкую, необычную третью гармонику: минорную терцию или ми-бемоль. Он настолько громкий и неуместный, что звучит ужасно, даже тревожно, когда играется вместе со струнными, флейтами, голосами и т. д. На самом деле, целые музыкальные произведения должны быть написаны специально для карильонов (больших многоколокольных инструментов), чтобы гарантировать правильное наложение. гармоник. Обычно это означает, что вся пьеса должна быть написана полностью уменьшенными аккордами. Мажорные аккорды звучат одними из худших из-за столкновения между мажорной терцией в аккорде и минорной терцией, исходящей от громкой третьей гармоники основного тона.

Математика частотных отношений здесь верна (каламбур), но она не помогает объяснить раскладку фортепиано с белой и черной клавишами.

Вот исторический императив, который привел к такому макету для "Western Music".

Сначала рассмотрим мажорное трезвучие: тоника + третья + пятая ноты «диатонической гаммы». Они следуют гармоническому ряду: 1 — основной тон 2 — октава (удвоение основной частоты) 3 — квинта (тройка основного тона — отношение 3:2 к октаве) 4 — двойная октава (4х) 5 — 10-я (двойная октава терция) 6 - квинта октавы

Это ноты, которые трубка статической длины может издавать, дуя в нее: горн.

Комбинации этих нот создают частоты, благодаря которым хор звучит божественно. Частоты выравниваются и сливаются в чистые сложные вибрации, которые являются суммой и различиями (гармоническими обертонами) этих отношений.

Хоры могут динамически настраиваться, чтобы создать эти частотные выравнивания, которые воспринимаются как совершенно согласные. Энергичная западная музыка сосредоточена на 3 основных аккордах диатонической гаммы: 1+3+5 основной мажорный аккорд – белые клавиши C – E – G 4+6+1 4-й аккорд – белые клавиши F – A – C 5+7+ 2 5-й аккорд - белые клавиши G - B - D

Основой западной народной музыки являются 1-4-5 последовательности аккордов. Выучите C, F и G на гитаре, и вы сможете сыграть большую часть классического сборника песен в стиле кантри.

Поместите ноты этих аккордов в гамму, и вы получите этот ряд из 7 белых клавиш: C - D - E - F - G - A - B (повторяйте, пока не перестанете слышать).

Итак, их западная шкала основана на частотных отношениях, благодаря которым комбинации нот «звенят» в созвучии в чистом виде... как григорианские песнопения Римской церкви.

Таким образом, базовая «западная клавиатура» может быть сделана всего из этих 7 нот, повторяющихся в частотном спектре. Посмотрите на макет греческой лиры (арфы), и вот что вы найдете. Последовательность, следующая за диатонической гаммой, которая звучит приятно, если вы просто играете по струнам из-за настройки четных кратных (с поправкой на октавы).

Хорошо... теперь добавление черных клавиш является компромиссом в настройке определенных нот, так что вы можете построить эти 1+3+5 аккордов из любой начальной точки и, таким образом, воспроизвести песню, отрегулированную вверх или вниз до любой начальной точки. Фортепиано никогда не достигнет того звукового математического взгляда на «музыку сфер», которое саморегулирующийся хор может сделать аккорд математически совершенным, но это «клавиатура» для современного композитора ... эффективная «музыкальная qwerty». что композитор или пианист начинает визуализировать «формы» аккордов как положения рук.

После большой практики пианист может предварительно визуализировать звук с точки зрения движений пальцев и рук, подобно тому, как машинистка с твердым прикосновением начинает составлять слова и предложения в виде последовательности движений.

Добавление черных клавиш было названо «хорошо темперированным» строем, и Бах был одним из первых композиторов, создавших целые группы композиций, которые работали через мажорные и минорные клавиши 12 гамм, которые вы сразу заметили при осмотре клавиатуры.

Если вы посмотрите на другие музыкальные культуры, вы обнаружите другие подходы к стандартизации звуковых отношений, которые не фокусируются на 1-4-5 аккордах. Эта музыка для культурно обученного западного уха менее предсказуема по своей природе, и отсутствие предсказуемости может сделать музыку разочаровывающей или захватывающей ... музыка «говорит» с нами с точки зрения чистых сенсорных входов, которые могут трогать, волновать, утомлять или сбивать нас с толку. .

Таким образом, фортепианная клавиатура предназначена для того, чтобы быть идеальной системой доставки для человека, чтобы воспроизвести диапазон сложности, которого достигла западная музыка.

Современные клавишные синтезаторы теперь могут воспроизвести весь спектр западного оркестра с точки зрения «инструментов», и я надеюсь, что кто-нибудь создаст синтезатор, который микрорегулирует ноты в зависимости от окружающего контекста… слегка сдвигая ноту вверх или вниз. от «хорошо темперированного» компромисса до высоты тона, которая заставляет аккорд «звенеть» и воспроизводит верхние гармонические обертоны, которые делают великий оркестр поистине «небесным».

Может быть, это уже сделано.

Математика в этой ветке потрясающая, но я не уверен, что она отвечает на первоначальный вопрос о «разнице между белыми и черными заметками».

Другие ответы в этой ветке содержат достаточно математики, чтобы понять, что каждая октава может быть более или менее естественным образом разделена на двенадцать полутонов. Западная музыкальная традиция в дальнейшем развивалась и основывалась на так называемой «диатонической гамме».

Музыкальная гамма — это последовательность звуков в пределах одной октавы; шкалы могут быть определены количеством полутонов между каждой последующей нотой.

Например, шкала целых тонов полностью состоит из целых тонов; он имеет шесть различных тонов, каждый из которых на два полутона выше предыдущего. Таким образом, вы можете представить его строкой «222222» — то есть взять ноту, затем ноту на 2 полутона выше, затем ноту на 2 полутона выше и т. д., пока последняя «2» не перенесет вас на ноту на октаву выше. где вы начали.

Диатоническая шкала, на которой основана западная музыка, также может быть представлена ​​строкой «2212221».

Если вы начнете с буквы C на клавиатуре и пойдете вверх, вы увидите, что белые клавиши соответствуют этому шаблону полутонов. Именно поэтому черные клавиши имеют именно этот узор.

Конечно, вы можете начать гамму с любой высоты тона, а не только с C. Вот почему «та же самая» диатоническая гамма в другой тональности будет включать в себя уникальный набор диезов и бемолей.

Диатоническая шкала также может быть представлена ​​числом «2212221», сдвинутым влево или вправо любое количество раз. Например, «2122212», «1222122» и т. д. также являются диатоническими; они называются «ладами» диатонической гаммы. В каждом диатоническом режиме можно играть только на белых клавишах фортепиано, начиная с другой высоты тона.

2212221 называется ионическим ладом (это также обычно называется мажорной гаммой), и его можно играть на белых клавишах, начиная с C.

2122212 — это дорийский лад, и его можно играть на белых клавишах, начиная с D.

1222122 — фригийский лад, начинающийся на Е.

2221221 — лидийский режим, начиная с F.

2212212 — миксолидийский лад, начинающийся с G.

2122122 — это эолийский лад (минорная гамма), начинающийся с ля.

1221222 — (потрясающий) локрийский мод, начиная с B.

Каждый лад имеет свое уникальное «звучание», которое (по крайней мере, на мой взгляд) происходит именно из-за различного расположения полутонов в каждой гамме.

И, конечно же, есть множество недиатонических гамм, которые не имеют ничего общего с тем, как появилась современная клавиатура.

РЕДАКТИРОВАТЬ, чтобы добавить более короткий и менее неявный ответ: одни только белые клавиши можно использовать для воспроизведения набора диатонических гамм, перечисленных выше; черные клавиши «другие», потому что они представляют собой оставшиеся хроматические тона, не используемые в этом наборе диатонических гамм.

Есть ли разница между белыми и черными банкнотами с математической точки зрения, или мы делаем это различие только по историческим причинам?

Нет никакой математической разницы между белыми и черными банкнотами. Смежные ноты на современной фортепианной клавиатуре обычно настраиваются с разницей в 1/12 октавы. Кьяочу объясняет это наиболее полно, но все сводится к тому, что разницы нет.

Мы не всегда использовали и не всегда используем одинаковую темперацию на клавишных инструментах, но даже тогда разница между белыми и черными нотами была бы произвольной.

Различие обусловлено историческими и культурными причинами. Здесь есть классная картинка, на которой изображен орган Николаса Фарбера (1361 г.), в котором использовалась раскладка 8 + 4, а не современная раскладка 7 + 5, которую мы видим сегодня. http://en.wikipedia.org/wiki/Музыкальная_клавиатура#Размер_и_историческая_вариация

Есть примеры используемых сегодня инструментов, в которых используется хроматическая клавиатура без различия между «белыми» и «черными» нотами. См. Баян и инструменты типа аккордеона Бандонеон.

В Консерватории Новой Англии в классе, где преподают четверть тона, два фортепиано настроены с разницей в четверть тона друг от друга. В этом случае на двух фортепиано должна быть сыграна полная 24-нотная хроматическая четвертьтоновая октава, чередуя ноты.

Это только начало этой конкретной кроличьей норы.

Обратите также внимание на то, что во многих культурах используется пентатоника . Это будет соответствовать воспроизведению только нот CDEGA. Как объясняется в ответе Цяочу, нам нужны ноты с небольшими рациональными интервалами, и особенно ноты с небольшими рациональными интервалами от тоники. Какой именно набор нот выбирается, варьируется от культуры к культуре: в западной музыке используются 7 белых клавиш, но во многих других культурах используется только 5 пентатоник.

Начните с F и поднимитесь на пятую часть (до C).

(В клавиатуре с 12-клавишными октавами это 7 шагов.) Повторите этот процесс (через круг квинт). Вы нажмете все белые клавиши, а затем все черные клавиши — F, C, G, D, A, E, B, F#, C#, G#, D#, A# — обратите внимание, эти клавиши обычно представлены бемолями. ). Получается, что если вы делите тона на 3 : 2 (пятый) или 4 : 3 (четвертый), наименьшее общее кратное равно двенадцати. На практике соотношение 3 : 2 достаточно похоже, чтобы дать ощущение «безопасности» или удовлетворения. Соотношение 4 : 3 дает немного более резкое ощущение, но такое, которое несколько идеально противопоставляется этому чувству безопасности. Таким образом, кварта + квинта дадут вам октаву. Итак, почему мы хотим, чтобы все двенадцать тональностей заключались в том, что мы хотим, чтобы пятая (доминантная) и четвертая (поддоминантная) объединились и составили единое целое.

Чтобы добавить к этой теме, вы можете понять, почему определенные ноты звучат вместе хорошо/плохо, посмотрев на формулы триггерной суммы/произведения, например:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos(a - b) * cos(a + b)

Это означает, что когда вы добавляете два тона/частоты «a» и «b», это эквивалентно взятию одной волны с частотой «a + b» и модуляции ее амплитуды другой с частотой «a-b». Частота «а + b» будет более быстрой вибрацией, а частота «а — b» будет более медленной вибрацией.

Когда две исходные частоты близки (например, A = 440 Гц и A# = 466 Гц), компонент «a - b» будет слышен как неприятное низкочастотное биение (здесь 26 Гц).

Когда две исходные частоты представляют собой целочисленные отношения друг к другу (например, 3/2, 4/3), как в аккордах, тогда результирующие частоты «a + b» и «a - b» также будут представлять собой целочисленные отношения друг к другу. Получившаяся волна будет простой и гармонично звучит. Вот почему целочисленные отношения нот так важны в музыке.

Это помогает графически изобразить суммы синусов, чтобы увидеть это в действии.

Я не музыкант, но, насколько мне известно, звуковые волны ощущаются только тогда, когда они «круглые/звуковые», если они повторяются быстрее определенной частоты. Эта частота, вероятно, соответствует нашим мозговым волнам: когда мы бодрствуем и не медитируем, это быстрее, чем 18 или более Гц; вы не можете ни дрожать быстрее, ни слышать более низкие частоты, чем волны вашего мозга.

Звуковые волны имеют длину

(Цяочу Юань ответил быстрее меня, пока я разговаривал по телефону. Кажется, он более полный, чем я мог бы ответить. Мне нечего добавить.)

На этот вопрос уже есть много, много ответов, но в рамках пифагорейской настройки на самом деле существует четкое математическое различие между черными и белыми клавишами, которое, я думаю, еще не было явно указано.

Деление хроматической гаммы в$7$натуральные ноты (белые клавиши фортепиано) и$5$случайные (черные) кажутся мне несколько произвольными.

По-видимому, соседние ноты в фортепиано (в том числе белые или черные) всегда разделены полутоном. Почему тогда различие?

При одинаковой темперации отношение частот двух звуков, разделенных одним полутоном, равно$\sqrt[12]{2}$, независимо от того, какие поля. Но в других строях соотношение не может быть сохранено равным. В пифагорейском строе, который пытается сделать квинты идеальными, насколько это возможно, существует два разных типа полутона: более широкий полутон, когда более высокий тон соответствует черной тональности, и более узкий полутон, когда более высокий тон соответствует белой тональности. Следовательно, по крайней мере, в пифагорейской настройке существует четкое математическое различие между белыми и черными клавишами.

Конечно, какие ноты являются белыми клавишами, а какие черными, зависит от того, какая нота используется для начала построения гаммы. Начиная с$F$производит традиционные имена для ключей.

Чтобы увидеть, как это работает, начните с$F$и генерировать восходящие квинты,

Вы обнаружите, что полутон, оканчивающийся на$F$, то есть интервал между$E$и$F$, является диатоническим полутоном, тогда как полутон, оканчивающийся на$F\sharp$, то есть полутон между$F$и$F\sharp$, является хроматическим полутоном. Остальные диатонические полутона заканчиваются на$G$,$A$,$B$,$C$,$D$, и$E$, а остальные хроматические полутона заканчиваются на$G\sharp$,$A\sharp$,$C\sharp$, и$D\sharp$.

Некоторые вещи, которые следует отметить:

1. Если вы начнете с ноты, отличной от$F$, диатонические и хроматические полутона будут расположены по-разному, но вы всегда получите семь диатонических и пять хроматических полутонов, причем хроматические полутона появляются в группе из трех и в группе из двух, как в традиционной раскладке клавиатуры.
2. Было разработано множество систем настройки, которые играют с определениями полутонов или вводят новые. Только в равной темперации различие между двумя полутонами полностью стирается.

Некоторая дополнительная деталь: начиная с октавы, можно постепенно подразделять большие интервалы на меньшие, добавляя ноты из последовательности квинт. На начальном этапе у вас есть октава.

• $12$добавляются квинты, сбрасывая пифагорейскую запятую с каждого диатонического полутона, тем самым создавая$29$-примечание шкала с$17$Пифагорейские запятые ($23.5$центов) и$12$интервалы$66.8$центов;
• $12$добавляется больше пятых, сбрасывая пифагорейскую запятую с каждой$66.8$центовый интервал, тем самым производя$41$-примечание шкала с$29$Пифагорейские запятые ($23.5$центов) и$12$интервалы$43.3$центов;
• $12$добавляются следующие пятые, сбрасывая пифагорейскую запятую с каждой$43.3$центовый интервал, тем самым производя$53$-примечание шкала с$41$Пифагорейские запятые ($23.5$центов) и$12$интервалы$19.8$центов

Обратите внимание, что на некоторых этапах этого процесса два полученных интервала более близки друг к другу, чем на других, и что те гаммы, интервалы которых почти равны, очень хорошо аппроксимируются равнотемперированной гаммой. Длины шкал, на которых это происходит, совпадают со знаменателями подходящих дробей разложения непрерывных дробей$\log_2 3$, то есть при$2$,$5$,$12$,$41$,$53$,$306$,$665$и т. д. Впечатляющее улучшение наблюдается в$665$-шкала нот, где два интервала$1.85$центов и$1.77$центов Напротив, интервалы в$306$шкалы нот относительно далеко друг от друга:$5.38$центов и$3.62$центов С этой точки зрения,$12$шкала нот на удивление хороша.

Я должен подчеркнуть, что это только самое начало обсуждения систем настройки. Желательно учитывать небольшие целочисленные соотношения, отличные от$\frac{3}{2}$такой как$\frac{5}{4}$(большая терция) и$\frac{6}{5}$(малая терция), что требует различных корректировок. Также желательно иметь возможность воспроизводить музыку в разных тональностях, что вынуждает идти на другие компромиссы. Многие из этих вопросов обсуждаются в других ответах.

Просто чтобы вы увидели, что возможны другие настройки и, следовательно, другие клавиатуры:

http://www.kylegann.com/tuning.html

Другие ответы хорошо объясняют 12-нотную хроматическую гамму. Из этих 12 тонов, если начать строить серию тонов, начиная с одной ноты и поднимаясь вверх по кругу квинт, есть две естественные точки остановки, где у вас есть полностью звучащая гамма, охватывающая октавы и имеющая относительно равные интервалы. между нотами без промежутков: пять нот, что дает интервалы в целую ступень и минорную терцию; и семь нот, что дает интервалы в целый шаг и полшага. Эти две шкалы (пентатоника и гептатоника) соответствуют расстоянию между черными и белыми клавишами на клавиатуре. Они являются зеркальным отражением друг друга по кругу квинт. Таким образом, два цвета нот - это не «разные», а скорее естественное разделение на две симметричные склы, построенные из противоположных направлений по кругу квинт.

В стандартной системе настройки C является «привилегированной», потому что это (по сути) нота, с которой мы начинаем строить квинтовый круг для создания этих двух гамм.

«Квинтовый круг» является побочным продуктом предпочтения диатонических гамм. Если вы расположите хроматическую (12-тональную) шкалу без расположения белого и черного, вы будете использовать ту же логику для описания «круга седьмых» (считая полутона от C до G).

Таким образом, расположение имеет смысл применительно к человеческой руке. Нам нужно иметь возможность охватывать интересные расстояния с помощью «октавного» интервала, который будет очень полезен для большинства пианистов в качестве основы, необходимой для всех старше 10-12 лет. Некоторые пианисты могут относительно легко брать 10-е, но их меньшинство. Фортепианная музыка Рахманинова пронизана этими массивными, но музыкально звонкими интервалами. Это большая терция, расширенная до чистого натурального интервала (с разницей в 10 клавиш) серии обертонов «горн».

Я могу достичь 10-го на переходе от белого к белому, но черный к белому (например, си-бемоль к ре) мне не под силу. И быстрое и точное их выполнение является признаком истинного владения инструментом... это как умение данк: генетика помогает, а пианисту с маленькими руками никакие усилия не помогут.

Я думаю, если в двух словах... Причина 12-ти деления в том, что это очень практичное решение для западной музыки, а схема черно-белого "эволюционировала" в эту форму, потому что в ней не было реинжиниринга.

В этом нет ничего особенно «математического». Другими словами... квадрат два: это произвольный выбор.

Если вы ищете что-то, что использует 12-частную октаву в качестве практического решения и спроектировано для удобства, ознакомьтесь с раскладкой русского баяна (аккордеона). Это довольно круто.

Что касается чего-то, что спроектировано для удобства, но не делит октаву на 12 частей, то ваши обычные безладовые струнные инструменты являются хорошим примером.

Опять же, все, что я сказал, было упомянуто выше. Просто остерегайтесь откровенно «математических», они мало что говорят о музыке, а скорее надевают на нее причудливую смирительную рубашку.

Ознакомьтесь с этой статьей , посвященной обычному 12-угольнику и теории музыки. Она поможет вам ответить на этот вопрос, а также на многие другие, похожие на него.

Если бы у вас на фортепиано была только повторяющаяся последовательность клавиш, было бы немного сложно визуально получить некоторые ориентиры. Я думаю, что это основная причина, по которой

Я согласен с теорией, что различие между примечаниями используется для наглядности и ориентиров. В дополнение к этому, он должен был рассматриваться как вертикально поднимающийся инструмент, как если бы вы поднимались по своего рода лестнице, а эти случайности (в случае до, черные ноты) — это захваты для перехода на следующий уровень. . Как мы бы назвали их ведущими нотами. Есть еще одна причина, по которой так много заметок. Почти все гаммы являются разновидностью мажорной гаммы или эолового лада. Эта гамма разработана так, чтобы иметь определенное количество тонов и полутонов, чтобы придать ей ощущение мажорной гаммы. Если бы было слишком много тонов или слишком много полутонов, это было бы не то же самое, потому что это произвело бы слишком много диссонанса или неизменного созвучия. Именно поэтому существует стандартная настройка для фортепиано, т.е. A440. Если бы интервал вибрации был изменен, это было бы не то же самое, потому что, если вибрации не синхронизированы, резонанс полностью исчезнет. Вот почему на фортепиано может быть так много нот, которые имеют смысл для человеческого уха. Возможны и другие настройки, но создается тот же эффект, что интервалы выдерживаются строго для сохранения гармонии. Итак, возвращаясь к вашему вопросу с математической точки зрения, да, есть причина для такого конкретного порядка белых и черных клавиш. Большая часть его связи связана с теорией лада 12 нот и кругом квинт, где, если вы расширите ноты на фортепиано, он образует идеальный круг с уменьшенными аккордами до в качестве основных точек.

Однажды я серьезно изучу это! во всех этих ответах есть правда, белые ноты дают нам нашу до-ре-ми (мажорную гамму), начинающуюся с до, эта гамма имеет смесь тонов и полутонов и диктует, куда должны идти черные ноты и сколько нам нужно . Повторная настройка на равную темперацию — это выдумка, и если вы проанализируете настроенную клавиатуру, не все полутона будут расположены одинаково. Другие интервалы также скомпрометированы, поэтому большая терция в одной тональности может иметь ноты дальше друг от друга, чем ноты в другой тональности. Композиторы давно знают об этом и знают, что тональность, которую они выбирают для композиции, может существенно повлиять на «настроение» (то есть после того, как вы выбрали мажор или минор).

Классическая индийская музыка использует систему гамм (раги). Их несколько сотен, и они будут приспособлены к определенному настроению, времени суток, типам событий и т. д. Это не случайные вариации какой-либо западной гаммы, и они не имеют ничего общего с клавиатурами, которые мы обычно используем.

Наша клавишная система предназначена только для клавишных — струнный инструмент может не воспроизводить ту же высоту тона, что и фортепиано для данной ноты (если только это не открытая струна), потому что они будут иметь тенденцию использовать что-то более близкое к исходной пифагорейской шкале.

PS Я работающий музыкант со степенью бакалавра по математике!

Если вы действительно хотите знать все об этом, то вам следует прочитать « Об ощущении тона » Гельмгольца.

Несколько графическое представление того, о чем говорил Карлос Рибейро.

«Если вы возьмете какую-либо ноту в гамме до мажор, вы можете рассматривать эту ноту как начало другой гаммы. Возьмите, например, квинту до (это соль) и постройте новую мажорную гамму, начиная с соль вместо до. Вы получите еще семь нот. Некоторые из них тоже в гамме до, другие очень близки, но не совсем равны, а некоторые попадают в середину нот в гамме до».

Обратите внимание на полутоновые интервалы EF и BC по шкале C. При попытке воспроизвести ту же гамму, начиная с D, мы сталкиваемся с проблемой. В алфавитном порядке третьей нотой должна быть фа, но фа на полутон слишком низкая для этого места. Чтобы сохранить тот же масштаб звучания, нам нужно ввести НОВУЮ ноту, называемую F#.

• C - D - EF - G - A - BC (шкала C)
• D - E - F#G - A - B - C#D (шкала D)
• E - F#-G#A - B - C#- D#E (гамма E)
• F - G - AA#- C - D - EF (шкала F)
• и т. д.
  Обратите внимание, что при написании музыки A – A # будет записываться как A – Bb, чтобы линия «A» нотоносца не была двусмысленной.