Какова физическая интерпретация произвольного нормального режима для масс и пружин?

Question

Какова физическая интерпретация произвольного нормального режима для масс и пружин?

волны
Физика
нормальные режимы
классическая механика
связанные генераторы

зануда

Рассмотрим следующую систему, состоящую из 3 масс и 4 пружин:

три массы и четыре пружины последовательно

Я узнал, что эта система обладает тремя нормальными модами, соответствующими, скажем, трем ее собственным частотам. $\omega_0$ , $\omega_1$ и $\omega_2$ .

Меня интересует движение масс, которое представляет каждый из трех нормальных модусов.
Я знаю, что одна нормальная мода соответствует средней массе $m_2$ неподвижны, а другие внешние массы $m_1$ и $m_3$ движутся в противоположных направлениях с одинаковой частотой... А как насчет двух других нормальных режимов?
Я узнал, что для системы из 2 масс и 3 пружин первая нормальная мода представляет собой движение двух масс с одинаковой частотой и с одинаковой фазой; в то время как вторая нормаль представляет движение двух масс с некоторой другой общей частотой, но с разницей фаз в девяносто градусов (одна движется в направлении, противоположном другому).

А как насчет системы из 3 масс и 4 пружин? Или скажем, $N$ массы и $(N+1)$ пружины?

Я нашел много математических демонстраций (с собственными векторами и собственными значениями) решения этой системы, представляющей движение масс, но я не вижу физической интерпретации.

Любопытный

Физическая интерпретация состоит в том, что любое свободное движение этой системы можно понимать как суперпозицию ее собственных мод, движущихся на ее собственных частотах (остерегайтесь осложнений в случае вырождения).

Том

Ответ придет, но обратите внимание, что нормальные режимы будут зависеть от значений масс и прочности пружин - можно было бы сделать некоторые полезные прогнозы, если, например, все массы равны и все пружины имеют одинаковое k.

Ответы (2)

Какова физическая интерпретация произвольного нормального режима для масс и пружин?

Физическая интерпретация состоит в том, что любое свободное движение этой системы можно понимать как суперпозицию ее собственных мод, движущихся на ее собственных частотах (остерегайтесь осложнений в случае вырождения).
Ответ придет, но обратите внимание, что нормальные режимы будут зависеть от значений масс и прочности пружин - можно было бы сделать некоторые полезные прогнозы, если, например, все массы равны и все пружины имеют одинаковое k.

Росс Милликен · Answer 1

Если вы позволите $x_i$ быть положением $m_i$ , вы можете написать набор связанных уравнений

(\begin{matrix} м_{1} \ddot{{Икс}_{1}} \\ м_{2} \ddot{{Икс}_{2}} \\ м_{3} \ddot{{Икс}_{3}} \end{matrix}) "=" А (\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \end{matrix})

$\begin {pmatrix} m_1\ddot{x_1}\\ m_2\ddot{x_2}\\ m_3\ddot{x_3} \end {pmatrix}=A\begin {pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end {pmatrix}$ где

A

$A$ дает силы от пружин. Чем больше масс и пружин, тем больше строк в уравнении. Если все массы одинаковы, их можно разделить на

A

$A$ . Вы найдете частоты, найдя собственные значения

A

$A$ и режимы путем нахождения соответствующих собственных векторов. Грубо говоря, моды будут похожи на моды струны. В самом низком режиме все массы будут двигаться в одном направлении, так как это вызывает наименьшее растяжение пружин. Следующий режим будет иметь одно изменение направления, поэтому левая группа масс будет колебаться против правой группы масс. Каждый более высокий режим будет иметь другую смену знака.

Чувак, я думал именно так. Можете ли вы сказать мне, будут ли массы двигаться с общей частотой (но, возможно, с разной амплитудой) во всех этих нормальных режимах?
Да, общая частота - это то, откуда исходит собственный материал. Вы предполагаете, что каждая масса движется с общей частотой, но со своей амплитудой и фазой. Затем $\ddot x_i= \omega^2 x_i$ , Вы получаете $(A-\omega^2)\vec{x}=0$ а вы хотите нетривиальных решений.
Этот ответ был фантастическим. Простое сравнение со струной делает физическую интерпретацию нормальных режимов любой связанной колебательной системы кристально ясной. Я поражен, что не смог найти столь полезного понимания в литературе. Огромное спасибо.

Том · Answer 2

Я надеюсь, что это будет полезно в качестве ответа на ваш вопрос, потому что, хотя это не о вашей точной системе, это дает полезную интерпретацию того, что такое нормальные режимы.

Молекулу воды можно рассматривать как три массы, связанные двумя одинаковыми пружинами. Как и в вашей системе, есть три нормальных режима, которые можно представить в виде следующих движений, показанных на диаграмме (взято с http://www4.ncsu.edu/~franzen/public_html/CH795N/lecture/XIV/image964.gif )

введите описание изображения здесь

Таким образом, существуют три различных нормальных режима движения молекулы воды, которые можно понимать как следующие движения молекулы воды.

Точно так же нормальные моды, которые вы вычисляете для своей системы, будут соответствовать различным совместным движениям трех масс. Надеюсь, это полезно.

Я предполагаю, что ваши режимы могут выглядеть примерно так, как показано ниже. Обратите внимание, что разница между 2 и 3 заключается в том, что в 3 все движения «синфазны», а во 2 молекулы на концах движутся. $\pi \over 2$ или 90 $\deg$ не в фазе друг с другом

введите описание изображения здесь

обратите внимание, что это для всех одинаковых масс и одинаковых пружин, и даже тогда я мог ошибиться.

Да, но не могли бы вы сказать мне, какие движения ??? Я знаю, что одна нормальная мода соответствует средней массе $m_2$ фиксируется, пока $m_1$ и $m_3$ двигаться в противоположные стороны. А как насчет двух других нормальных режимов?
Вы уверены, что вторая мода не соответствует тому, что все массы движутся в одном направлении, как предположил Росс Миликан?
@nerdy - Росс, вероятно, не прав, но со всем этим фактическое движение будет зависеть от значений масс и постоянных пружины.

Какова физическая интерпретация произвольного нормального режима для масс и пружин?

зануда

Любопытный

Том

Ответы (2)

Росс Милликен

зануда

Росс Милликен

зануда

зануда

Том

зануда

Том

зануда

Том

Как я могу определить, возбуждена ли нормальная мода или нет?

Существуют ли неортогональные «нормальные» моды для неидентичных связанных осцилляторов?

Нормальные режимы: как получить приведенные массы из векторов смещения, атомных масс и частот колебаний

Одновременная диагонализация потенциальной и кинетической энергии

Связь между нулевыми модами и симметрией в простой системе связанных пружин

Связанные осцилляторы и нормальные режимы

Интерпретация физического смысла нормальных мод

Уточнение и упрощение того, что означает «режим» с точки зрения SHM

Переворачивание колоды карт: почему карты группируются?

Механика Ландау - Нормальные формы колебаний