Является ли заряд точечным или мазковым?

Не так уж просто определить этот вопрос таким образом, чтобы на него был дан определенный ответ, а в рамках классической физики вы, конечно же, не сможете получить хороший ответ.

Даже Фейнман обращается к этой проблеме в своих лекциях, когда говорит, что при решении электростатической энергии в поле точечного заряда мы получаем в качестве предела бесконечность.

Да, это хороший подход к проблеме. Теперь учтите, что классический электромагнетизм по своей сути является релятивистской теорией, поэтому$E=mc^2$применяется. Для частицы с массой$m$, заряжать$q$и радиус$r$, можно было бы ожидать, что инерция$m$частицы не может быть больше, чем$\sim E/c^2$, где$E$есть энергия в электрическом поле. Это приводит к$r\gtrsim r_0=ke^2/mc^2$, где$r_0$называется классическим радиусом электрона, хотя он применяется не только к электронам.

Для электрона,$r_0$находится в порядке$10^{-15}$метров. Эксперименты по физике элементарных частиц были достаточно хороши десятилетия назад, чтобы искать внутреннюю структуру электрона в таком масштабе, а ее не существует в том смысле, что электрон не может быть составной частицей, такой как протон, в этом масштабе. Это предполагает, что электрон является точечной частицей. Однако классический электромагнетизм становится несостоятельной теорией, если рассматривать точечные частицы с$r\lesssim r_0$.

Вы можете попытаться обойти это, моделируя электрон как твердую сферу или что-то в этом роде, с некоторой плотностью заряда, скажем, постоянной. Это было широко исследовано ок. 1900, и это не сработало. Когда Эйнштейн опубликовал специальную теорию относительности, он объяснил, почему эта идея потерпела неудачу. Он терпел неудачу, потому что теория относительности не допускает жестких объектов. (В таком объекте скорость звука была бы бесконечной, но теория относительности не позволяет передавать сигнал быстрее, чем$c$.)

Это доказывает, что если мы хотим описать заряд и электрическое поле электрона в масштабах ниже$r_0$, нам нужна какая-то другая теория природы, отличная от классической Э&М. Эта теория — квантовая механика. Говоря нестрогим языком, квантовая механика описывает картину такого масштаба в терминах быстрых, случайных квантовых флуктуаций, когда возникают пары частица-античастица, а затем вновь аннигилируют.

Но дифференциальная форма закона Гаусса говорит о плотности заряда, что возможно, только если заряды размазаны в пространстве.

На самом деле дифференциальный закон Гаусса справедлив даже для точечных зарядов. Для начисления баллов$q$в точку$\mathbf x_0$, вместо плотности заряда используем распределение заряда$\rho(\mathbf x) = q\delta(\mathbf x-\mathbf x_0)$.

Даже Фейнман обращается к этой проблеме в своих лекциях, когда говорит, что при решении электростатической энергии в поле точечного заряда мы получаем в качестве предела бесконечность.

Эта проблема - отдельный вопрос. Существуют непротиворечивые теории как для точечных, так и для протяженных зарядов с конечной энергией в обоих случаях. Ни одна из теорий не может дать нам намека на то, являются ли реальные частицы точками или протяженными телами. Это должно быть исследовано опытным путем.

Итак, знаем ли мы теперь, являются ли заряды точечными или размытыми?

Для электронов мы не знаем; все эксперименты согласуются с точечной частицей, но она может быть протяженным телом достаточно малых размеров. Текущий предел размера электрона, установленный десятилетиями, составляет где-то около 1e-18 мкм.

Для протонов, основанных на экспериментах по рассеянию и их понимании с точки зрения квантовой теории рассеяния, считается, что они имеют ненулевой размер (распределение заряда) около 1e-15 мкм.

Это зависит от масштаба.

Электроны обычно можно рассматривать как точечные, если рассматривать их в масштабе, намного большем, чем отдельный атом.

Но полупроводники часто имеют порядок$10^{12}- 10^{23}$свободных электронов на${\rm cm^{3}}$, в зависимости от температуры и легирования. Медь, как пример металла, имеет около$10^{23}$свободных электронов на$\rm cm^3$.

В этих материалах, если объем, который вы рассматриваете, составляет даже несколько$\rm \mu m^3$, ошибка, вызванная предположением, что заряд размазан, а не локализован в тысячах или триллионах точек, очень мала.

Если вы изучаете какую-то систему, в которой присутствует всего несколько носителей заряда, вам может понадобиться считать, что заряд локализован, чтобы делать точные прогнозы о нем.

Электроны считаются точечными зарядами. Протоны имеют радиус несколько меньше фемтометра. Существуют разногласия по поводу точного значения радиуса протона . Так что протон можно считать мазком, пусть и очень маленьким.