Предел плоского пространства метрики Шварцшильда и температуры Хокинга

В пространстве-времени происходит изменение топологии, когда вы завершаете$M\rightarrow 0$limit — пространство-время Минковского неособо, в то время как пространство-время Шварцшильда содержит пространственно-временную сингулярность для любого (положительного) значения$M$.

Вы также можете посмотреть на это с точки зрения общей энергии, доступной для ЧД небольшой массы, которая будет ничтожной, и вы ожидаете, что время испарения будет быстрым (особенно с учетом того, что вы собираетесь запускать больше режимов распада при высокой температуре). ), с очень горячими остатками испарения, которые, вероятно, быстро рассеиваются на большое расстояние, поэтому его влияние на пространство-время будет заключаться в создании газа из высокотемпературных частиц, которые быстро диффундируют в газ практически с нулевой температурой.

Меня не особенно устраивают ответы, в которых говорится об изменении топологии или нарушении полуклассичности. В частности, последнее не объясняет, почему метрика, которая кажется все более и более плоской, производит все более и более горячее излучение Хокинга задолго до приближения к планковскому режиму.

Но я некоторое время думал об этом и, наконец, нашел способ смириться с таким поведением (за исключением несовместимости асимптотической плоскостности и температуры на бесконечности, на которую указал QGR, которую я поставил как отдельный вопрос ).

Вот как я об этом думаю - оставьте комментарий, если вы не согласны:

Близко к горизонту неподвижный наблюдатель видит метрику Риндлера, и температура Унру здесь равна температуре Хокинга - наблюдатель должен запускать свои двигатели с надлежащим ускорением, равным соответствующему собственному ускорению в случае Унру. Это также означает, что свободно падающий наблюдатель вообще не видит излучения (это верно по крайней мере вблизи горизонта, чего я думаю достаточно).

Итак, как я посылаю лимит$M \rightarrow 0$, соответствующий наблюдатель, на которого я наношу карту по мере приближения к плоскому пространству-времени, является не инерционным наблюдателем в плоском пространстве-времени, а вечно ускоряющимся наблюдателем с надлежащим ускорением.$1/M$. (Правильное ускорение Unruh отождествляется с силой тяжести на поверхности)

Так что, конечно, я должен ожидать увидеть тепловое состояние с бесконечной температурой в этом пределе плоского пространства-времени, поскольку я сопоставляемся не с инерциальным наблюдателем в Минковском, а с вечно ускоряющимся наблюдателем Риндлера с бесконечным ускорением.

Если бы я всегда рассматривал геодезических (свободно падающих/инерциальных) наблюдателей, по крайней мере, близких к горизонту, этот предел имеет смысл, потому что во время и после ограничения нет излучения (теплового или иного).

PS: Обратите внимание, что после того, как я задал вопрос, я перепутал этот процесс принятия предела с испарением черной дыры — что на самом деле не то, о чем я спрашивал — я просто хотел знать, как выглядит температура пространства-времени для более плоского и более плоского пространства-времени — а не сложные вещи, которые происходят, когда черная дыра действительно испаряется. Или, другими словами, я хотел знать, что$M=0$элемент в наборе вечных черных дыр выглядит так, как выглядит пространство-время, наблюдаемое риндлеровским наблюдателем с бесконечным ускорением в плоском пространстве-времени.

Чем меньше масса черной дыры, тем выше температура излучения Хокинга. Это предсказание основано на приближениях, которые кажутся оправданными до тех пор, пока черная дыра имеет массу.$M >> M_\text{Planck}$. Никто не знает, какие именно явления происходят, когда масса черной дыры приближается к$M_\text{Planck}$. Делаем выводы о$M \to 0$ограничение на основе GR, безусловно, не оправдано.

Ответ Джерри довольно хорош, и я бы сказал, что топология или$H^2({\cal M})$дается оценкой двумерной формы кривизны$\Omega_{ab}~=~R_{abcd}\omega^c\wedge\omega^d$на двух плоскостях, и где$R_{abcd}$– тензор кривизны Римана. Результатом является «заряд», который является мерой топологии. Очень маленькая черная дыра имеет огромную кривизну вблизи горизонта, которая отличается от пространства-времени Минковского с нулевой кривизной.

Эта проблема аналогична «ультрафиолетовой катастрофе» в доквантовом понимании излучения черного тела. Там, поскольку не учитывался дискретный характер излучения, полная энергия, излучаемая черным телом, расходилась. Пришел Планк и исправил ситуацию, отметив, что фотоны испускаются дискретными пакетами, а не предыдущее предположение, что все частоты присутствуют в излучении.

Точно так же, как отметил в своем ответе @Johannes, расчеты, которые приводят к предсказанию, что черная дыра излучает при температуре$T \propto 1/M$справедливы только для макроскопических черных дыр. Как и когда мы поймем, как дискретный характер пространства-времени модифицирует эту зависимость, сможем ли мы ответить на этот вопрос. Проще всего предположить, что такие поправки изменят температурно-массовую зависимость, придав ей вид:

где$M_O$это минимальный размер, которого может достичь черная дыра, что приводит к конечной максимальной температуре, которой может достичь система, содержащая распадающуюся черную дыру.$T_{max} \sim 1/M_O$. Можно было бы предположить, что черная дыра распадается до тех пор, пока не останется плоский фон, населенный газом из этих квантов черной дыры с массой$M_O$и температура$T_{max}$.

Конечно, все это очень наивно.

Редактировать: обобщение вышеприведенного подхода состоит в том, чтобы постулировать, что точная форма зависимости$T_{max}$на$M$задается некоторой функцией$f(M/M_O)$который имеет тенденцию к$1/M$в пределе$M/M_O \rightarrow \infty$.

Классически история выглядит следующим образом. Плоское пространство не имеет горизонта и, следовательно, температуры Хокинга. Крошечная черная дыра сильно отличается от плоского пространства, независимо от того, насколько мала ее масса, поскольку у нее есть горизонт. Таким образом, предел$M\to 0$существенно отличается от предельной точки$M=0$, и вы ничего не можете заключить о последнем, изучая первое.

Другой способ увидеть, что вывод о том, что плоское пространство имеет бесконечную температуру Хокинга, очевидно, неверен, состоит в том, чтобы рассмотреть различные пределы пространства-времени черной дыры по сравнению с пространством Минковского. Существуют черные дыры с положительной удельной теплоемкостью (возьмем, например, BTZ в трех измерениях или точную струнную черную дыру или Schwarzschild-AdS над переходом Хокинга-Пейджа), и если вы возьмете любую из этих черных дыр и примете соответствующие пределы массы (и возможно другие параметры) до нуля, то и температура Хокинга падает до нуля.

Возможно, вопрос, который вас смущает, это отрицательная теплоемкость полуклассических черных дыр Шварцшильда, которая отвечает за негладкость предела$M\to 0$. На общих основаниях (или с помощью некоторых простых моделей) можно утверждать, что квантовые эффекты должны преобразовывать отрицательную удельную теплоемкость в положительную для крошечных черных дыр. Тогда предел исчезновения массы снова будет гладким.

Для асимптотически плоских пространств черная дыра никогда не может находиться в тепловом равновесии с остальным пространством-временем. Если бы это было так, остальная часть пространства-времени была бы заполнена излучением при температуре Хокинга, и результирующий везде ненулевой тензор энергии-импульса несовместим с предположением об асимптотической плоскостности.

Таким образом, если предположить, что пространство-время, находящееся достаточно далеко от черной дыры, является вакуумоподобным (т. е. отсутствие космического микроволнового фонового излучения), мы имеем температурный градиент в пределах от температуры Хокинга сразу за горизонтом событий до нуля очень далеко.

Но как только вы принимаете температурный градиент, температура черной дыры больше ничего не говорит нам о температуре пространства-времени вдали от нее. Температура Хокинга может быть около температуры Планка, но вдали температура все еще приближается к нулю.

Черные дыры AdS — совсем другое дело. Я знаю, что этот вопрос не о черных дырах AdS, но он поучителен, поскольку мы можем везде иметь тепловое равновесие для черных дыр AdS. Это потому, что у нас есть коэффициент деформации для тактовой частоты, который перемасштабирует температуру, измеренную локальным наблюдателем, по сравнению с температурой, измеренной удаленным наблюдателем. Таким образом, даже при тепловом равновесии локальная температура экспоненциально падает за радиусом AdS по мере удаления от черной дыры. Любая обратная реакция останется конечной из-за этого фактора деформации.

Здесь следует рассмотреть два случая:

• радиус черной дыры меньше радиуса AdS
• радиус черной дыры больше радиуса AdS

В последнем случае по мере увеличения размера черной дыры увеличивается и температура, а для температуры нет верхнего предела. Это означает, что черная дыра имеет положительную теплоемкость и остается в тепловом равновесии с окружающей средой.

В первом случае температура снижается по мере увеличения размера черной дыры, что приводит к отрицательной теплоемкости. Таким образом, даже если мы начнем с «равновесного» состояния, оно будет нестабильным. Если черная дыра расширяется, она становится холоднее, чем окружающая среда, и, таким образом, она будет поглощать чистое количество излучения и расширяться еще дальше за пределы радиуса AdS, после чего она начнет остывать, в конечном итоге установившись в тепловое состояние в Последний случай.

Имея U-образную зависимость температуры от размера черной дыры, мы видим, что температура черной дыры не может быть ниже шкалы AdS.$k$. Вместо этого у нас есть фазовый переход в тепловое состояние без черных дыр.

Предполагая, что вас не интересует тепловое равновесие повсюду, тогда, когда масса черной дыры приближается к массе Планка, термодинамический предел для микросостояний черной дыры нарушается, и мы больше не можем осмысленно говорить о ее температуре.