Почему работа ракетного двигателя больше при более высоких скоростях? [дубликат]

Ключевым моментом этого вопроса является то, что интуитивно кажется, что сохранение энергии работает неправильно. Ракета приводится в действие химической реакцией, которая высвобождает химическую энергию с постоянной скоростью. Так как же постоянная скорость высвобождения энергии может привести к большему увеличению КЭ при быстром движении?

Чтобы понять это, полезно рассмотреть «игрушечную модель» ракеты, которая работает по тем же принципам, но ее легче анализировать. В частности, давайте рассмотрим шар массой 10 кг (ракета) и шар массой 1 кг (выхлоп), которые прикреплены к невесомой пружине (топливо).

Предположим, что у этой пружины достаточно запасенной энергии, чтобы, когда ракета изначально находилась в состоянии покоя, она могла разогнать ее до 1 м/с, а за счет сохранения импульса выхлоп разгоняется до -10 м/с. И наоборот, если ракета стартует со скоростью 5 м/с, то после «сгорания» топлива ракета разгоняется до 6 м/с, а выхлоп движется со скоростью -5 м/с.

Итак, теперь давайте проверим энергию. В первом случае КЭ ракеты увеличилась с 0 Дж до 5 Дж, а во втором – со 125 Дж до 180 Дж. В обоих случаях пружина запасает одинаковое количество энергии, так почему же КЭ увеличивается на 5 Дж на низкой скорости и на 55 Дж на высокой скорости?

Обратите внимание, что мы забыли рассчитать энергию, которая пошла на выхлоп. Это ключевая ошибка большинства подобных анализов. В первом случае КЭ выхлопа увеличилась с 0 Дж до 50 Дж, а во втором случае КЭ составила 12,5 Дж до и после. Так что в обоих случаях суммарное изменение КЭ (и ракеты, и выхлопа) составило 55 Дж.

На низких скоростях большая часть энергии топлива «тратится впустую» в КЕ выхлопа. На более высоких скоростях больше попадает в ракету и меньше в выхлоп. С настоящей ракетой постоянно происходит то же самое. И энергия, и импульс сохраняются, и фактически больше мощности передается транспортному средству по мере увеличения скорости при постоянной тяге.

Есть несколько способов просмотреть это.

Я думаю, проще всего то, что кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости.

$$K=\frac 12 m v^2$$

Если предположить, что ракетный ускоритель обеспечивает постоянное ускорение, то, сравнивая начальную и конечную скорости, находим, что

$$\Delta v=v_\text{final}-v_\text{init}=at$$

Таким образом, за одно и то же время изменение скорости одинаково, независимо от фактической начальной скорости. Так как мы имеем квадратичную зависимость от скорости в$K$, это означает, что кинетическая энергия увеличивается больше, если мы начинаем с большей скорости. то есть

$$\Delta K=\frac 12 m v_\text{final}^2-\frac 12 m v_\text{init}^2=\frac 12 m (v_\text{final}-v_\text{init})(v_\text{final}+v_\text{init})=\frac 12 m\, \Delta v (\Delta v+2v_\text{init})$$

Как видим, сумма скоростей в выражении для$\Delta K$это то, что способствует большему изменению кинетической энергии. Поскольку проделанная работа равна изменению кинетической энергии, должно быть так, что ракета совершает больше работы, когда мы стартуем с большей скоростью.

Второй способ взглянуть на это, который, как вы могли бы утверждать, такой же, как и первый, состоит в том, чтобы взглянуть на определение работы.

$$W=\int\vec F \cdot \mathrm d\vec x$$

Или в одном измерении с постоянной силой

$$W=F\,\Delta x$$

Теперь, снова предполагая постоянное ускорение, мы знаем, что

$$\Delta x = \frac 12 a t^2 + v_\text{init}t$$

Так что проделанная работа

$$W=F\left(\frac 12 a t^2 + v_\text{init}t\right)$$

Мы снова видим, что начальная скорость определяет работу. Качественное объяснение этого состоит в том, что чем больше скорость, тем больше расстояние проходит объект за то же время. Итак, если мы посмотрим на время приложения силы, то увидим, что чем быстрее она движется, тем на большее расстояние действует сила. Следовательно, мы выполняем больше работы, если объект изначально движется быстрее.

Предполагаемая проблема, стоящая за всем этим, заключается в том, что мы получаем больше энергии, применяя ту же силу в течение того же периода времени. Но если вы поработаете над этим, то обнаружите, что это вообще не проблема. Это верно даже для объектов, падающих вблизи поверхности Земли. Несмотря на то, что сила постоянна, гравитация действует на объект все больше и больше, пока он падает. Или, другими словами, скорость преобразования энергии из потенциальной в кинетическую увеличивается по мере падения объекта.

В обоих случаях (стационарный и быстрый полет) изменение полной кинетической энергии системы ракета + топливо одинаково и равно химической энергии, выделяемой при односекундном горении. Если ракета была неподвижна, топливо переходит из состояния покоя в движение назад, увеличивая свою кинетическую энергию. Если ракета летела (очень) быстро, топливо переходит от быстрого движения вперед (вместе с ракетой) к более медленному (отстающему), уменьшая его кинетическую энергию. Этого достаточно, чтобы качественно понять, почему кинетическая энергия ракеты больше возрастает во втором случае.

Эти два случая связаны преобразованием Галилея (выбор равномерно движущейся системы отсчета). Непротиворечивость обеспечивается тем фактом, что для любой изолированной системы (такой как ракета + топливо) изменение полной кинетической энергии от одного момента времени к другому является галилеевым инвариантом (то же самое в любой равномерно движущейся системе отсчета).