С какой скоростью вращающаяся черная дыра теряет массу из-за излучения Хокинга?

Я задавался тем же вопросом, и у меня короткая продолжительность концентрации внимания, поэтому я собираюсь украсть ответ, данный другими людьми, и представить его в виде прямых уравнений. Стэн Лиу дал ответ в целом для черной дыры с массой$M$, угловой момент$J$и заряжать$Q$. Если эти значения не равны нулю, это означает, что это черная дыра Керра-Ньюмана . Чтобы перейти от его ответа к явной форме, мне пришлось использовать$r^+$,$r^-$,$a$,$\sigma$(константа, определенная через другие константы),$\kappa$,$T$,$A$, и, наконец, светосила. Вот что я нашел.

$$P = \frac{1}{240} \frac{\hbar c^6 \left( 1 -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} -\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2\right)^2 }{ \pi G^2 M^2 \left( 2 +2 \sqrt{ 1 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 } -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M} \right)^3}$$

Также я должен отметить, что не все комбинации этих значений являются физическими. Любая ЧД, нарушающая неравенство $Q^2+\left ( J/M \right )^2\le M^2\,$является нефизическим, поскольку это уравнение принимается в специальных универсальных единицах. Это говорит о том, что уже очевидно из моего уравнения выше. Мы ожидаем, что если величина в радикале будет отрицательной, это не будет допустимой комбинацией значений. Таким образом, правильный определитель моего уравнения выше в произвольных единицах:

$$M^2 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G } - \left( \frac{J c}{M G} \right)^2 \ge 0$$

Теперь предположим, что это просто черная дыра Керра , подразумевая, что$Q=0$. Подставим это, чтобы получить более компактное уравнение.

$$P = \frac{1}{1920} \frac{ c^6 \hbar \left(1-\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 \right)^2}{ \pi G^2 M^2 \left(1+\sqrt{ 1 - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 }\right)^3}$$

Ограничивая обсуждение, давайте сузим его до черной дыры Шварцшильда , то есть$Q=0$а также$J=0$. Это сводит приведенное выше уравнение к:

$$P = \frac{\hbar c^6}{15360 \pi G^2 M^2}$$

Это соответствует уравнениям, которые вы можете найти в Википедии.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation

Естественно, если черная дыра излучает свою массу за счет излучения Хокинга, потеря массы и выходная мощность связаны соотношением$E=m c^2$. Так$dM/dt=P/c^2$. Вы можете использовать это дифференциальное уравнение, чтобы найти жизнь черной дыры. Я не знаю, с какой скоростью он будет терять заряд и угловой момент.

---

Я также хотел проверить (или опровергнуть) утверждение о том, что угловой момент заставляет черную дыру излучать медленнее. Я нарисовал часть уравнения для черной дыры Керра-Ньюмена со специальными единицами измерения заряда и углового момента. Ни один из них не может быть равен нулю, поэтому я построил график от 0 до 1 для диапазона обоих значений. Максимальное значение графика точно$240/15360=0.015625$.

Так что да, любое количество заряда и/или углового момента уменьшает скорость излучения Хокинга.

Черная дыра Керра или Керра-Ньюмана с массой$M$, обвинение$Q$и угловой момент$J$имеет горизонты:

$$r_\pm = \frac{G}{c^2}\left[M\pm\sqrt{M^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0G}Q^2-\frac{c^2}{G^2}\frac{J^2}{M^2}}\right]$$ и гравитация на поверхности относительно бесконечности: $$\kappa = c^2\frac{r_+-r_-}{2(r_+^2+a^2)},$$ куда $a = J/(Mc)$. Площадь поверхности составляет: $$A = 4\pi(r_+^2 + a^2)$$ И, наконец, температура: $$T = \frac{\hbar}{c k_B}\frac{\kappa}{2\pi}.$$ Квазиклассически черная дыра является идеальным черным телом, поэтому ее светимость определяется обычным законом Стефана-Больцмана: $$L = \sigma AT^4 \longrightarrow \frac{\eta_{\text{eff}}}{2}\sigma AT^4$$ Я ввел некоторые факторы физических констант, которые физики обычно игнорируют, работая в натуральных единицах ( $c = G = 4\pi\epsilon_0 = k_B = \hbar = 1$). Игнорируйте их, если вы делаете то же самое. Скорость потери массы, естественно, связана с этим соотношением $c^2$.

Одна сложность заключается в том, что когда температура достаточно высока по сравнению с массой покоя массивных частиц в единицах постоянной Больцмана$k_B = 1$, светимость тем выше, чем больше число эффективно доступных видов частиц. Для холодных черных дыр, какими и должны быть астрофизические,$\eta_{\text{eff}} = 2$, считая оба типа поляризации фотона. Если черная дыра достаточно горячая, чтобы излучать заряженные частицы, она будет делать это необъективно, изменяя тем самым свой заряд.$Q$. Вероятно, существует аналогичный эффект изменения углового момента через излучение Хокинга, но я не уверен в деталях.

В$D$пространственно-временные измерения, температура идет как

$$T\sim 1/R$$ а невырожденная (например, сферическая) черная дыра имеет площадь горизонта, масштабирующуюся как $$A\sim R^{D-2}.$$ Умножьте это на закон Стефана-Больцмана для энергии, излучаемой на единицу площади. $$\frac{dE}{dt} \sim -\sigma T^D\cdot A$$ где я включил $\sigma$просто чтобы напомнить вам, что это закон Стефана-Больцмана, и вы получаете $$\frac{dE}{dt} \sim - T^{2}\sim - \frac{1}{R^2}$$ независимо от размерности. Потому что масса черной дыры (энергия, которая будет излучаться) равна $$E\sim R^{D-3},$$ вы также можете оценить время жизни черной дыры как $$t_{\rm life} \sim \frac{R^{D-3}}{1/R^2}\sim R^{D-1}$$ Во всех приведенных выше формулах подставьте $D=4$для нашего пространства-времени.

Кажется, на этом сайте есть то, что вы ищете: http://www.modernrelativitysite.com/chap11.htm Там есть формула для температуры ЧД Керра-Ньюмана примерно на 3/4 пути вниз. Игнорируйте «e», если вас не волнует заряд.

Другая веб-страница http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy предлагает формулу, отмеченную (11), чуть меньше половины пути вниз, но я не вижу постоянной Больцмана, и почему-то она выглядит неправильно. .

Если я не напортачил с алгеброй, то для незаряженной ЧД с угловым моментом температура равна

$T_{BH}={\hbar c \over 4\pi k_B}{c^2\over{GM}}{{\sqrt{1-({a\over{M}})^2}}\over{{1+\sqrt{1-({a\over{M}})^2}}}}$

Параметр вращения$a$связано с угловым моментом соотношением

$a = {cJ\over GM}$

При заданной температуре скорость потери энергии (светимости или мощности) определяется стандартной термодинамикой.

$P = \sigma A T^4$

Немного математики, интегрирование и приравнивание к общей массе ЧД (время c^2) дает время жизни. Игнорируя вращение, это увеличивается с массой в кубе. С увеличением спина температура снижается, а срок службы увеличивается.

Чтобы почувствовать типичные физические величины, но, увы, только для невращающейся ЧД, можно поиграться с онлайн-калькулятором на http://xaonon.dyndns.org/hawking/

Мне не нравится указывать википедию в качестве справочной информации (но я люблю ее для просмотра), но все же, если кто-то наткнется на этот вопрос и ответ нуждается в дополнительной информации, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation

Семь лет спустя я наткнулся на эту ветку, когда думал, стоит ли исправить статью в Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation .

Для справки: в анализе упущено несколько важных факторов:

1. Излучающая площадь должна (согласно подробному балансу) быть классическим поперечным сечением поглощения, то есть в 27/4 раза больше площади горизонта событий.

2. Противодействуя этому коэффициенту 6,75, коэффициенты серого тела, представляющие рассеяние от кривизны пространства-времени обратно в дыру, уменьшают его до увеличения в 1,6232 раза, полученного из ссылок Дона Пейджа, включая https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103 . /PhysRevLett.50.1013 кратко изложено в https://arxiv.org/pdf/hep-th/0612193.pdf или https://arxiv.org/pdf/hep-th/0409024.pdf .

3. Излучение гравитонов обеспечивает другую бозонную моду с двумя поляризациями, такую ​​как фотоны, но после факторов серого тела это всего лишь общее увеличение на 1,11404.

4. Предполагая, что ни один аромат нейтрино не имеет нулевой массы (и обратите внимание, что масштабы масс в мэВ велики по сравнению с температурами астрофизических черных дыр), итоговый эффект представляет собой увеличение в 1,80831 раза по сравнению с наивным (расчет площади горизонта только с фотонами, A_H \sigma T ^4).

5. Это все для невращающихся отверстий; медленно вращающиеся дыры очень мало отличаются друг от друга, в то время как быстро вращающиеся дыры сначала теряют массу и вращаются довольно быстро по сравнению с общим сроком службы; при a/M \sim от 0,9 до почти экстремального время жизни черной дыры составляет от 50% до по крайней мере 40% невращающегося времени жизни Шварцшильда. См. https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9801044.pdf и https://arxiv.org/pdf/1906.04196.pdf .