Я изучал и действительно проникался музыкой таких композиторов, как Ben Johnston и Kyle Gann, в стиле Extended Just Intonation. Я начал пытаться исследовать разновидности интервалов и гамм, которые доступны композитору, когда они переходят к различным соотношениям p -limit. 3-предел в значительной степени характеризуется идеальными пятыми и четвертыми, а также довольно диссонирующими терциями. 5-предел, конечно же, характеризуется своими терциями 5:4 и 6:5 и новыми размерами шага шкалы, такими как 16:15 и 10:9. Все это довольно очевидно для всех, независимо от их интереса к EJI.
Когда я исследую 7-предел, кажется, что один из классов интервалов, который становится доступным, — это то, что я видел, описанное как «консонантные диссонансы». Здесь я имею в виду тритон 7:5 и, в частности, септаккорд 7:4. Некоторые размеры шага шкалы включают полушаги 15:14 и целые шаги 8:7.
11-предел, кажется, открывает большой класс «нейтральных» интервалов, которые находятся более или менее между мажором и минором, например, 11:9 3-й, 11:6 седьмой, 18:11 шестой. Также становятся доступными нейтральные шаги, такие как четвертные шаги 33:32 и нейтральные секунды 11:10 и 12:11.
Я вдаюсь в подробности, потому что мне бы хотелось получить такую информацию для лимита 13 и выше, но я полностью уперся в стену. Я не нахожу обсуждений характерных 13-предельных интервалов или шкал. Очевидно, я мог бы просто начать пробовать каждое соотношение, включающее 13 кратных, но мне бы хотелось больше подсказок о конкретных интервалах или классах интервалов, к которым стоит прислушиваться. Бонусные баллы за 17-лимит, 19-лимит и другие примеры.
Первое, что нужно учитывать для 13-предела, это октавная редукционная тринадцатая гармоника, 13/8. Это первая шестая, которая встречается в гармоническом ряду и составляет около 840,53 цента. Это довольно близко к тому, чтобы быть привкусом в середине 12 тет минорной шестой и большой шестой. Так что, как и 11-лимит, этот лимит будет содержать несколько нейтральных интервалов. На самом деле, большинство лимитов выше 7 дадут вам множество нейтральных интервалов. Некоторые просто более нейтральны, чем другие.
Второе, что мне нравится учитывать при изучении предела, — это его суперчастные интервалы. Их также называют эпиморными интервалами. Это любой интервал вида n+1/n. Вот тут-то и появляется теорема Штормера. Она утверждает, что для любого заданного простого числа p количество последовательных целых чисел, являющихся p-гладкими, конечно, и дает процедуру их нахождения. Число называется p-гладким, если оно не содержит простых множителей, больших p. Гладкость напрямую применима к предельной системе, как и последовательные целые числа к суперчастностям. Таким образом, с небольшой доработкой этой реализации в Python мы можем найти все сверхчастности для заданного предела. Итак, пока мы движемся вперед, имейте в виду следующее:
2 лимит: 2/1
3 лимита: 3/2, 4/3, 9/8
5 лимит: 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 81/80
7 предел: 7/6, 8/7, 15/14, 21/20, 28/27, 36/35, 49/48, 50/49, 64/63, 126/125, 225/224, 2401/2400 , 4375/4374
11 предел: 11/10, 12/11, 22/21, 33/32, 45/44, 55/54, 56/55, 99/98, 100/99, 121/120, 176/175, 243/242 , 385/384, 441/440, 540/539, 3025/3024, 9801/9800
13 предел: 13/12, 14/13, 26/25, 27/26, 40/39, 65/64, 66/65, 78/77, 91/90, 105/104, 144/143, 169/168 , 196/195, 325/324, 351/350, 352/351, 364/363, 625/624, 676/675, 729/728, 1001/1000, 1716/1715, 2080/2079, 4096/4095, 4225 /4224, 6656/6655, 10648/10647, 123201/123200
Итак, для начала я построил шкалу, чтобы немного изучить предел. Эта шкала была вдохновлена ближневосточной шкалой, в названии которой я не уверен. По сути, это дорийский лад, в котором 2-я и 6-я понижены на четверть тона. Поэтому я реализую это только с интервалами. Во-первых, мы начнем с основного корня, четвертой, пятой и октавы.
1/1, 4/3, 3/2, 2/1
Затем мы добавим уменьшенную до октавы 13-ю гармонику и ее аналог второй, 13/12. 13/12 можно получить несколькими способами, но я просто получил его, разделив на пятую часть. 13/8 / 3/2 = 13/12.
1/1, 13/12, 4/3, 3/2, 13/8, 2/1
Теперь было бы достаточно просто добавить минорную 3-ю 6/5 и пифагорейскую 7-ю 16/9, но это оставляет нам проблему. Я лично считаю, что ступенчатые мелодические интервалы более созвучны, когда они суперчастны или имеют форму n+1/n. Я не уверен, есть ли другие исследования или теории, подтверждающие это, но это то, что я заметил и получил хорошие результаты. Интервал между 13/12 и 6/5 составляет 72/65. Не самый лучший по звучанию интервал в мире. Точно так же интервал между 13/6 и 16/9 равен 128/117. Лучшим решением для этого, которое я нашел, было использование семеричных 3-го и 7-го. Интервал между 13/12 и 7/6 является надчастным 14/13. Интервал между 13/8 и 7/4 такой же. Похоже, мы в деле.
1/1, 13/12, 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4, 2/1
Я хочу бегать вверх и вниз по этой шкале со все большими интервалами, чтобы увидеть, каковы относительные интервалы. Начиная с секунд:
Root: 1/1, 13/12, 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4
Second: 13/12, 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4, 2/1
Interval: 13/12, 14/13, 8/7, 9/8, 13/12, 14/13, 8/7
Итак, мы признаем 13/12, но 14/13 — новое. И это подводит нас к новой идее. Мы можем объединить интервалы на основе интервала, который они составляют при объединении. В этом случае похоже, что семеричная терция может быть разделена на два трехзначных целых тона. 13/12 — это мажорный тройной целый тон, так как он больше, а 14/13 — минорный тройной целый тон, так как он меньше. Далее третьи.
Root: 1/1, 13/12, 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4
Third: 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4, 2/1, 13/6
Interval: 7/6, 16/13, 9/7, 39/32, 7/6, 16/13, 26/21
Это раскрывает немного больше. Пятая с 13/12 по 13/8 разбита по терциям на 4/3. Эти трети 16/13 и 39/32. 16/13 — более широкий интервал, но я слышу его как очень темный. 39/32 звучит ярче, но все равно диссонирует. Четвертая между 7/8 (Седьмая под корнем) и 7/6 разбита на третью и вторую на 13/12. Второе — знакомое 14/13, а третье — 26/21, что очень близко к 5/4 и может рассматриваться как созвучие. Теперь к четвертям.
Root: 1/1, 13/12, 7/6, 4/3, 3/2, 13/8, 7/4
Third: 4/3, 3/2, 13/8, 7/4, 2/1, 13/6, 7/3
Interval: 4/3, 18/13, 39/28, 21/16, 4/3, 4/3, 4/3
Кварты здесь объединяются, чтобы создать септимы, и в этом случае объединенные интервалы не являются нижним пределом, чем компоненты. 18/13 * 4/3 равно 24/13, а 39/28 * 4/3 = 13/7. Оба 13-лимитные седьмые. Вы можете объединить обе из 13-предельных четвертей, чтобы получить семеричную. 18/13 * 39/28 = 27/14. На этом этапе я оставлю вас делать все остальное, если хотите. Это довольно утомительный процесс, и у меня не так много времени. Вы также обнаружите, что можете инвертировать секунды, трети и четверти, чтобы получить седьмые, шестые и пятые доли.
Теперь, если вы вспомните все сверхчастные интервалы, вы увидите, что многие из них смехотворно малы. В большинстве случаев они представляют собой разницу между интервалами с более высоким пределом и их аналогами с более низким пределом. Например, разница между минорной шестой (8/5) и тройной шестой (13/8) составляет 65/64, что является одним из 13-предельных сверхчастностей. Разница между тройной шестой и большой шестой (5/3) составляет 40/39. Это можно делать с любым интервалом. Результаты не всегда сверхчастны, но очень часто бывают, и я считаю, что это имеет значение. Мне нужно остановиться здесь, иначе я буду продолжать еще долго. Но там, безусловно, много информации, и я надеюсь, что вы будете счастливы. Имейте в виду, что эта шкала не содержит ни 5-предельных интервалов, ни 11-предельных интервалов, так что есть несколько измерений, которых я здесь даже не коснулся. Я настоятельно рекомендую построить несколько гамм и найти способ получить звуковую обратную связь, чтобы услышать их. я используюPure Data и базовый синтезатор, который я запрограммировал на Python с помощью PyAudio и Pygame . Я надеюсь, что это дало вам возможность начать хотя бы с чего-то другого.
Не буду врать, просто интонация не моя сильная сторона, а я ненавижу математику, так что не буду болтать о цифрах.
Из того, что я прочитал в нескольких разностных источниках (некоторые из которых описаны ниже), есть несколько причин, по которым мало обсуждаются/применяются коэффициенты расширенного лимита:
В знаменательном тексте Гарри Партча « Генезис музыки » он просто предполагает, что перестал рассчитывать пределы интервалов за пределами 11 по чисто эстетическим причинам, предполагая, что дальнейшие ограничения были вполне разумными для использования. Тем не менее, я считаю, что он предоставляет графики с рассчитанными интервалами, включая 11-предел.
Некоторые музыканты и теоретики, такие как упомянутый здесь , предполагают, что по мере увеличения предела происходит одна из двух вещей: 1.) Определенные соотношения могут быть уменьшены до меньших соотношений и, следовательно, попадают в другой предельный класс. 2.) Интервалы, которые нельзя сократить, имеют тенденцию звучать все ближе и ближе к приближению системы 12-ET (Равная темперация) и, таким образом, бесполезны с точки зрения гармонии. Дальнейшее обсуждение распространенности и применения интервалов верхнего предела можно найти здесь.
Я бы посоветовал обратиться к стр. 52-53 для возможного подтверждающего объяснения нарушения больших предельных интервалов. Pg.74-81 Предлагает беглое обсуждение интервалов 11, 13 и более высоких пределов.
Из комментария по этой ссылке книга Дэвида Б. Доти The Just Intonation Primer кажется ценным ресурсом с расширенным обсуждением предельных интервалов 13–19 и простых чисел за его пределами.
Подводя итог, я думаю, важно отметить, что хотя большинство источников, на которые я ссылался, являются любительскими, мне кажется любопытным, что их аргументация в пользу отсутствия исследования и анализа EJI раздельна, но сравнима.
Я надеюсь, что это поможет вам двигаться в правильном направлении.
Боб Бродли
Пэт Мачмор