Вычислить видимую визуальную величину планеты

Давайте предположим, что мы имеем дело с высшей планетой, то есть планета вращается на большем расстоянии, чем Земля. Это эффективно гарантирует отсутствие планетарной фазы, с которой нужно иметь дело.

Сейчас Солнце имеет светимость$L_{sun}$таким образом, что солнечный поток, видимый планетой, равен

$$f_{planet} = \frac{ L_{sun} }{ 4 \pi d_s^2 }.$$

Поперечное сечение планеты составляет около$A = \pi r_p^2$, поэтому для заданного альбедо$a_p$отражательная светимость планеты будет

$$\begin{aligned} L_{planet} &= a_p f_{planet} A \\ &= a_p \pi r_p^2 \frac{ L_{sun} }{ 4 \pi d_s^2 }. \end{aligned}$$

Учитывая, что мы знаем абсолютную величину Солнца, абсолютная величина планеты следует как

$$\begin{aligned} V_{planet} &= -2.5 \log_{10}\left[ \frac{ L_{planet} }{ L_{sun} } \right] - V_{sun} \\ &= -2.5 \log_{10}\left[ a_p \frac{ r_p^2 }{ 4 d_s^2 } \right] - V_{sun} \end{aligned}$$

Кажущаяся величина планеты, видимая с Земли, может быть рассчитана как

$$m_{planet} = V_{planet} + 5 \log_{10}\left[ d_{e-p} \right] - 5$$ где расстояние между Землей и планетой,$d_{e-p}$, должно быть в парсеках и, конечно, зависит от орбитальной фазы двух соответствующих планет.

Таким образом, одним дополнительным требуемым параметром была солнечная светимость. Вероятно, есть куча тонких эффектов с альбедо и геометрией системы, которые здесь не учитываются, но это должно быть справедливое приближение.

Звездные величины планет различаются не только в зависимости от светимости Солнца, их собственного среднего альбедо и расстояния от Земли, но и от:

• Изменения их альбедо по поверхности.
• Их фазовый угол для планет, которые мы иногда видим в виде полумесяца.
• Их наклон для таких планет, как Сатурн и Уран, у которых альбедо на экваторе отличается от альбедо на полюсах.
• Нептун становится все ярче. Никто не знает почему.

Все эти эффекты подробно описаны в информативной статье « Вычисление видимых планетных величин для астрономического альманаха » Малламы и Хилтон, пересмотренной в 2018 году:

https://arxiv.org/pdf/1808.01973.pdf

Их исходный код для вычисления планетарных величин с учетом всех этих эффектов можно найти здесь:

https://sourceforge.net/projects/планетарные-величины/

Если вам нужны правильные значения, вы должны принять во внимание эффекты, упомянутые в ответе Брэндона Роудса. Тем не менее, вот как сделать быстрый и грязный расчет.

Абсолютная величина планеты определяется как видимая величина, если расстояние между Солнцем и планетой и наблюдателем составляет 1 а.е. в оппозиции.

Предполагая модель диффузного дискового отражателя, абсолютная величина$H$планеты диаметром$D_{\rm p}$дан кем-то

$$H = 5 \log_{10} \left( \frac{D_0}{D_{\rm p} \sqrt{a_p}} \right)$$

Где$a_p$- геометрическое альбедо планеты, а$D_0$дан кем-то

$$D_0 = 2\,{\rm au} \times 10^{H_\ast / 5}$$

Где$H_\ast$- абсолютная величина, определенная на эталонном расстоянии в 1 а.е., которую можно рассчитать из обычной абсолютной величины в 10 парсек.$M_\ast$следующее:

$$H_\ast = M_\ast + 5 \log_{10} \left( \frac{1 \rm \ au}{10 \rm \ pc} \right) \approx M_\ast - 31.57$$

Для Солнца это приводит к$D_0 \approx 1329\ \rm km$.

Чтобы получить видимую величину планеты, вы можете использовать

$$m_{\rm p} = H + 5 \log_{10} \left( \frac{d_{\rm p\ast} d_{\rm po}}{1 \mathrm{\ au}^2} \right) - 2.5 \log_{10} q(\alpha)$$

Где$d_{\rm p\ast}$расстояние между планетой и звездой,$d_{\rm po}$- расстояние между планетой и наблюдателем, а$q(\alpha)$- фазовый интеграл при фазовом угле$\alpha$.

Для диффузного дискового отражателя$q(\alpha) = \cos \alpha$. Для ламбертовой сферы

$$q(\alpha) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\alpha}{\pi} \right) \cos \alpha + \frac{1}{\pi} \sin \alpha \right)$$

В оппозиции,$\alpha = 0$, что дает фазовые интегралы$q(0) = 1$для диффузного диска и$q(0) = \tfrac{2}{3}$для сферы Ламберта.

Реальные планеты имеют более сложные фазовые функции, которые необходимо определять эмпирически (см. ответ Брэндона Роудса).

---

В качестве быстрой проверки давайте подставим значения для Юпитера, взятые из информационного бюллетеня NASA по Юпитеру . При (среднем объемном) диаметре 139 822 км и геометрическом альбедо 0,538 расчетная абсолютная величина составляет -9,44 по сравнению с фактическим значением -9,40.

Используя вычисленное значение -9,44, расстояние от Юпитера 5,204 а.е. до Солнца и 4,204 а.е. до Земли и используя сферу Ламберта$q(0) = \tfrac{2}{3}$, видимая звездная величина составляет -2,30, а для диффузного диска$q(0) = 1$видимая звездная величина составляет -2,74. Самая яркая реальная планета составляет около -2,94. К счастью для меня, значение получается правильным, несмотря на грубые приближения к поведению отражения реальных планет.

Мои вычисленные значения с использованием$q(0) = 1$для Сатурна , Урана и Нептуна 0,54, 5,57 и 7,75 соответственно, что также не слишком далеко от реальных значений.