Имеет ли значение для уравнений поля дополнительный член с четырьмя расходимостями в лагранжевой плотности?

Грейнер в своей книге «Квантование поля», стр. 173, уравнение (7.11) сделал такой расчет:

л ′ "=" − 1 2 ∂ мю А ν ∂ мю А ν + 1 2 ∂ мю А ν ∂ ν А мю − 1 2 ∂ мю А мю ∂ ν А ν
        "=" − 1 2 ∂ мю А ν ∂ мю А ν + 1 2 ∂ мю [ А ν ( ∂ ν А мю ) − ( ∂ ν А ν ) А мю ]

Последний член представляет собой четырехдивергенцию, не влияющую на уравнения поля. Таким образом, динамика электромагнитного поля (в калибровке Лоренца) может быть описана простым лагранжианом

л ′ ′ "=" − 1 2 ∂ мю А ν ∂ мю А ν

Да, если это 4-дивергенция вектора, 0-компонента которого не содержит производных по времени от поля , то по вариационному принципу эта 4-дивергенция не повлияет на уравнение поля.

И на самом деле я вычислил производную по времени зависимость 0-компоненты [ А ν ( ∂ ν А мю ) − ( ∂ ν А ν ) А мю ] , в котором только [ А 0 ( ∂ 0 А 0 ) − ( ∂ 0 А 0 ) А 0 ] может содержать производную по времени, которая, к счастью, обращается в нуль, так что, каков бы ни был общий случай, в данном случае это не имеет значения.

Но как он может, по-видимому , утверждать, что это верно для общего члена с четырьмя расходимостями ?The last term is a four-divergence which has no influence on the field equations

РЕДАКТИРОВАТЬ:
я только предположил, что граничное условие будет А мю "=" 0 в пространственной бесконечности, а не в бесконечности времени. И вариация действия С "=" ∫ т 1 т 2 л г т происходит из-за изменения полей, которые исчезают во времени, дельта А мю ( Икс , т 1 ) "=" дельта А мю ( Икс , т 2 ) "=" 0 , не имея знаний дельта А ˙ мю ( Икс , т 1 ) и дельта А ˙ мю ( Икс , т 2 ) , которые обычно не исчезают, поэтому член с четырьмя расхождениями в общем случае будет способствовать действию,

дельта С Дж "=" дельта ∫ т 1 т 2 г т ∫ г 3 Икс ∂ мю Дж ( А ( Икс ) , ∇ А ( Икс ) , А ˙ ( Икс ) ) мю "=" дельта ∫ т 1 т 2 г т ∫ г 3 Икс Дж ˙ 0 "=" ∫ г 3 Икс [ дельта Дж ( Икс , т 2 ) 0 − дельта Дж ( Икс , т 1 ) 0 ]
который не исчезает вообще!

Как вы говорите, в вашем примере производные по времени отменяются, так что проблем нет. Примером, где эта тонкость важна, является действие Эйнштейна-Гильберта. На границе имеются отличные от нуля производные по времени. Исправление в этом случае состоит в том, чтобы добавить граничные условия (гиббоны, торгующие граничными условиями Йорка), которые отменяют оскорбительные части.
(a) Я думаю, вы имеете в виду калибровку Лоренца, а не Лоренца. (b) Если вы на самом деле применяете это калибровочное условие, этот последний член становится ∂ мю [ А ν ( ∂ ν А мю ) ] . После этого проблема становится тривиальной...

Ответы (3)

I) Геометрический аргумент ясен: рассмотрим лагранжеву плотность л "=" г мю Ф мю это полное расхождение. Соответствующее действие

(0) С [ ф ]   "="   ∫ М г н Икс   л   "="   ∫ ∂ М г н − 1 Икс   ( … )

тогда будет граничным интегралом из-за теоремы о расходимости . Поэтому соответствующая вариационная/функциональная производная ,

(1) дельта С дельта ф α ( Икс )

который является объектом, живущим в объеме (а не на границе), никогда не может быть иным, чем тождественно нулевым в объеме

(2) дельта С дельта ф α ( Икс )   ≡   0 ,

если он существует. (Примечание: даже для достаточно гладкой лагранжевой плотности л , существование функциональной производной является нетривиальной проблемой и связано с тем, предполагаются ли в вариации непротиворечивые граничные условия.)

Затем вспомним, что (выражение для) полевых уравнений движения просто дается функциональной производной (1) действия. Тогда согласно ур. (2), (выражение для) уравнения движения поля обращаются в нуль тождественно.

II) Наконец, распространим приведенное выше рассуждение из раздела I по линейности на общую лагранжеву плотность вида л + г мю Ф мю которые включают дополнительный член полной дивергенции. Заключить с помощью линейности, что последнее не дает вклада в полевые уравнения движения.

Не могли бы вы немного подробнее объяснить, как линейность приводит к заключению в вашем последнем абзаце?
Первоначальный вопрос задавался о четырех расхождениях, но вы ссылаетесь на полное расхождение в своем ответе, т. Е., ∂ ты Ф ты против г ты Ф ты . Ваш результат верен только для полного расхождения?
↑ Да.
Относительно пункта I), как обстоят дела н "=" 1 ?
Тогда граница ∂ М является 0-мерным, например, начальная и конечная точка.

Термин ∫ г 4 Икс Тр Ф ∧ Ф может быть добавлена ​​к неабелевой теории Янга-Миллса (она тривиально обращается в нуль для абелева случая из-за клина), и это полная производная. Этот член не влияет на уравнения движения. Однако это топологический заряд , который считает что-то вроде «числа витков» калибровочного поля.

Еще одно место, в которое он входит, — это теория струн, где он подсчитывает количество дескрипторов на мировом листе, позволяя вторичному квантованию возникать довольно естественным образом.

Если у вас есть четыре расхождения внутри интеграла по всему пространству-времени (это то, что вы получаете, когда вы экстремируете действие), результатом будет член, который будет некоторым произведением поля (полей) и его / их производных, оцениваемых на границе пространства-времени. Поскольку мы предполагаем, что все поля стремятся к нулю (достаточно быстро, чтобы их производные также обращались в нуль) на границе, мы имеем вклад, равный нулю, и можем смело игнорировать член.

Однако могут быть некоторые тонкости, которые могут помешать использовать этот аргумент в некоторых случаях, о которых я не знаю. Я надеюсь, что кто-то более знающий, чем я, может пролить свет на это.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Посмотрите комментарии ниже для получения дополнительной информации.

Интеграл не стремится к нулю. Часть границы пространственно-временной области находится в пространственной бесконечности, а часть — во временных срезах для начального и конечного времени. Но поскольку вы не меняете степени свободы (здесь поле) в начальный и конечный моменты времени, эта часть интеграла не дает вклада в изменение действия. Таким образом, при нахождении вариации действия для получения уравнений поля эти термины как будто не существуют, поскольку они не вызывают вариаций.
Справедливо. Я предполагаю, что я предполагал предварительное знание лагранжевых методов в неполевых контекстах.
Имеет ли значение для уравнений поля дополнительный член с четырьмя расходимостями в лагранжевой плотности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v