Уравнение теплопроводности на шаре - одномерное описание

ваш расчет в порядке, но нет необходимости использовать численные методы для данного уравнения. Уравнение можно решить, используя разделение переменных с физическим анзацем для радиальной части. Конечно, вам не нужно ограничивать свою задачу радиальной симметрией решения, полный Лаплас приведет к сферическим гармоникам для угловых частей. В этом случае можно непосредственно применить следующий вывод.

Решение с использованием разделения переменных

Принимая

$$T(r,t) = f(t)\cdot B(r)$$

приводит к

$$f'(t) B(r) = \alpha f(t)\frac{1}{r^2}\partial_r \left(r^2 B'(r) \right)$$

Теперь мы видим, что мы можем переписать это как

$$\frac{f'(t)}{f(t)} = \alpha \frac{1}{r^2}\frac{\partial_r \left(r^2 B'(r) \right)}{B(r)}$$

и видим, что обе стороны независимы друг от друга из-за разных зависимостей, следовательно, они должны быть константой , скажем$-\lambda$, для левой стороны

$$\frac{f'(t)}{f(t)} = -\lambda$$ для которого находим решение $$f(t) = f_0 e^{-\lambda t}\ .$$

$\lambda$можно рассматривать как константу диссипации , определяющую потерю тепла в единицу времени. Я нашел хорошую иллюстрацию этого процесса на YouTube или в Википедии для другой геометрии:

Теперь к радиальной части,

$$\alpha \frac{1}{r^2}\partial_r \left(r^2 B'(r) \right) = -\lambda B(r)$$

для которого мы находим

$$B(r) = c_1 \frac{e^{-\mathrm{i}\kappa r}}{r} + c_2\frac{e^{\mathrm{i}\kappa r}}{r}$$ с $$\kappa = \sqrt{\lambda/ \alpha}\ .$$

Вопрос : Можете ли вы сказать мне, к каким решениям мы только что пришли?

Применение к сферическому телу

Это было общее решение проблемы, но мы должны применить его к вашей ситуации. Прежде всего, нам нужно некоторое начальное распределение тепла:

$$T_0(r) = T(r,0)$$ определить динамику с этой точки. Во-вторых, нам нужно знать, что значит иметь какую-то сферу в нашей системе. У нас нет другого выбора, кроме как назначить какое-то распределение $\alpha$, определение различных тепловых коэффициентов в разных регионах, например $$\alpha = \begin{cases} \alpha_{i} & r\leq R\\ \alpha_{0} & r>R\end{cases}$$

Осталось только определить константы $\lambda$и$c_i$от непрерывности$T$в$r=R$и значимые значения при$r = \infty$($T\rightarrow 0$) и$r = 0$($T$конечно).

Я оставлю этот шаг вам.
Имея под рукой решение, вы можете сравнить его с результатами моделирования и далее расширить его, например, до системы оболочек или специальных граничных условий.

Искренне

Это звучит правильно для меня. Хотя я никогда не делал этого конкретно для уравнения теплопроводности, во многом это тот же подход, который мы используем для решения уравнения Шредингера в сферических координатах, например, для атома водорода. Ваше полное решение будет произведением радиальных функций$T(r,t)$с соответствующими сферическими гармониками.

При определении радиальной части решения, предполагая, что это похоже на уравнение Шредингера, одно из граничных условий, которое вам нужно использовать, — это согласованность в начале координат: в основном вам нужно ваше решение для$T(r)$быть конечным и дифференцируемым в$r=0$. Я могу вернуться и расширить это позже, или, возможно, кто-то еще даст вам более подробное объяснение, прежде чем я доберусь до этого.