Общая теория относительности утверждает, что пространство-время является лоренцевым 4-многообразием. метрика которого удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна. У меня есть два вопроса:
Какие топологические ограничения накладывают уравнения Эйнштейна на многообразие? Например, существование метрики Лоренца подразумевает некоторые топологические вещи, такие как исчезновение характеристики Эйлера.
Проводятся ли какие-либо эксперименты или даже гипотетические эксперименты, которые могут дать информацию о топологии? Например, есть ли группа аспирантов, пытающихся сжать петли, чтобы открыть фундаментальную группу Вселенной?
Это отличный вопрос! То, о чем вы спрашиваете, является одним из недостающих звеньев между классической и квантовой гравитацией.
Сами по себе уравнения Эйнштейна, , являются уравнениями локального поля и не содержат никакой топологической информации. На уровне принципа действия
термин, который мы обычно включаем, является скаляром Риччи , которая зависит только от первой и второй производных метрики и снова является локальной величиной. Таким образом, действие также не говорит нам о топологии, если только вы не находитесь в двух измерениях, где характеристика Эйлера задается интегралом скаляра Риччи:
(по модулю некоторых числовых множителей). Итак, гравитация в двух измерениях полностью топологична. Это отличается от четырехмерного случая, когда действие Эйнштейна-Гильберта не содержит топологической информации.
Это должно охватывать ваш первый вопрос.
Однако не все потеряно. К 4D-гравитации можно добавить топологические степени свободы, добавив члены, соответствующие различным топологическим инвариантам (Черн-Саймонс, Ни-Ян и Понтрягин). Например, вклад Черна-Саймонса в акцию выглядит так:
Вот очень хорошая статья Джекива и Пи для деталей этой конструкции.
О топологии и общей теории относительности можно сказать еще много. Ваш вопрос только царапает поверхность. Но есть золотая жила внизу! Я позволю кому-то другому заняться вашим вторым вопросом. Короткий ответ: «да».
Только один дополнительный момент, о котором я не упомянул выше: если пространство-время имеет нетривиальную фундаментальную группу, оно не будет видно наблюдателю на бесконечности . В этом состоит содержание теоремы о топологической цензуре . Подразумевается, что для асимптотически плоского пространства-времени любая интересная топология будет скрыта за горизонтом событий. Доказательство теоремы на удивление простое: это более или менее прямое расширение теоремы Пенроуза о сингулярности.
Видеть:
Фридман, Дж. Л.; Шлейх, К. и Витт, Д.М. Топологическая цензура Phys. Rev. Lett., Американское физическое общество, 1993, 71, 1486–1489.
Шлейх, К. и Витт, Д.М. Особенности топологии и дифференцируемой структуры асимптотически плоских пространств-времен http://arxiv.org/abs/1006.2890
Галлоуэй, Г.Дж. О топологии области внешней связи . Учебный класс. Квантовая Грав. 12 № 10 (октябрь 1995 г.) L99 (3 стр.)
Я не знаю ответа, но ваша интуиция верна: тот факт, что уравнения являются локальными, не означает, что не может быть ограничения на топологию глобального решения. Например, в евклидовой подписи сразу следует, что скалярная кривизна положительна, что, в свою очередь, приводит к топологическим ограничениям. Если четырехмерное многообразие является эйнштейновским и комплексным, то оно должно быть поверхностью дель Пеццо (с сильными ограничениями). Я мало что знаю о лоренцевской подписи, но я знаю, что PDE — это совершенно другой зверь. Я видел несколько результатов о классификации возможных групп голономии лоренцевских эйнштейновских многообразий, но я не знаю ничего глобального (на самом деле я вообще ничего не знаю).
Уравнения Эйнштейна описывают локальную структуру пространства-времени. Они не содержат глобальной или топологической информации.
Хотя я слышал, что некоторые ограничения в масштабе топологии могут быть получены из кривизны Вселенной, если кривизна отрицательна. (Что-то вроде «масштаб = целое число, кратное 1/кривизне».)
Ну, а если наше пространство имеет нетривиальную топологию, то световые лучи будут многократно "оборачивать" нашу Вселенную, и вы сможете увидеть одинаковые (похожие) копии галактик. Я слышал о людях, которые безуспешно искали такое сходство.
Также нетривиальная топология должна приводить к некоторой корреляции в CMB — таких корреляций тоже не обнаружено (пока?).
Это два независимых вопроса, один математический, а другой о наблюдениях.
Какие ограничения на глобальную структуру пространства и/или пространства-времени накладывают уравнения Эйнштейна? Я не знаю общего ответа, у меня сложилось впечатление, что о лоренцевых многообразиях известно не так много, как о евклидовых многообразиях. Более того, нет оснований подозревать, что пространство/пространство-время лишено сингулярностей (по крайней мере, мы знаем о многих черных дырах во Вселенной), и я сомневаюсь, что можно многое сказать о глобальной структуре любого многообразия, если принять во внимание особенности.
О наблюдательной физике: единственный наблюдаемый объект, который, как мне кажется, чувствителен к глобальной структуре, — это низкие мультиполи реликтового излучения, и время от времени появляются статьи на эту тему, чтобы объяснить аномалии в таких мультиполях (например, истории о футбольных формах). вселенная). Увы, космическая дисперсия ограничивает серьезность таких наблюдений и моделей, призванных их объяснить.
Что касается экспериментов и вопросов топологии, то Гленн Старкман и др. написали на эту тему некоторые работы. В своей работе они ищут в реликтовом излучении структуры, которые указывали бы на какую-то конкретную топологию Вселенной. В PI есть очень хорошая лекция по этому вопросу, а также по другим вопросам, связанным с CMB . Чтобы дать вам спойлер на лекции, они ничего не нашли в корреляции больших углов.
Р. Ранкин
Куильо