Интуиция, стоящая за теоремой о связанных кластерах: связанные и несвязанные диаграммы

Теорема о связанных кластерах$^1$

$$\ln Z~=~\frac{i}{\hbar} W_c, \tag{1}$$ где$Z$является статистической суммой и$W_c$— производящий функционал связных диаграмм.

Доказательство. Мы будем использовать трюк с репликами , ср. Ссылка 1.

1. Напомним, что если теория состоит из$n$независимые подтеории со статистическими суммами$Z_1, \ldots, Z_n$(т. е. взаимодействия разрешены только внутри каждой подтеории), то статистическая сумма для полной теории представляет собой произведение$Z_1 \cdots Z_n$.

2. Представлять$n$копии исходной исследуемой теории, где$n\in\mathbb{N}$является положительным целым числом. Функция раздела реплики становится просто силой

   $$\sum\left\{\text{all replica diagrams}\right\} ~=~Z^n,\tag{2}$$ потому что разные копии не взаимодействуют. Каждое поле$\phi^{\alpha}_{(i)}(x)$в теории реплик теперь носит ярлык копирования$i\in\{1, \ldots, n\}$, и не разговаривает с другими копиями.

3. Учитывая диаграмму Фейнмана$D$в исходной теории вклады в соответствующую реплику диаграммы Фейнмана должны быть умножены на множитель$n^{\#(D)}$, где$\#(D)$обозначает число компонент связности$D$. Другими словами,

   $$\begin{align} \sum & \left\{\text{all replica diagrams}\right\}\cr &~=~ 1 + n\sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} +{\cal O}(n^2).\end{align} \tag{3}$$ В уравнении (3) мы неявно нормализовали статистическую сумму так, что$1$есть значение пустой диаграммы, которая по определению не является связной .

4. Возможно, показательный пример. Если исходная схема$D^2/2!$состоит из одной и той же связной диаграммы$D$дважды соответствующие вклады реплик

   $$(\sum_{i=1}^n D_{(i)})^2/2!~=~ n^2 D^2/2!$$ масштабировать как$n^2$. Здесь$2!$является фактором симметрии. Тот факт, что вклады соответствующих диагональных реплик $$(\sum_{i=1}^n D_{(i)}^2)/2!~=~ n D^2/2!$$ только весы с меньшей мощностью$n$не имеет значения / важно, потому что (неявно) предполагается, что RHS уравнения. (3) организован в соответствии с оригинальными (а не репликами) диаграммами. Конец примера.

5. Теперь продолжим доказательство. Эквивалентно ур. (3), по разложению Тейлора,

   $$\begin{align} \ln\sum &\left\{\text{all replica diagrams}\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~& n\sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} +{\cal O}(n^2). \end{align} \tag{4}$$

6. Объединение ур. (2) и (4) выход

   $$\ln Z - \sum\left\{\text{connected original diagrams}\right\} ~\stackrel{(2)+(4)}{=}~{\cal O}(n^1) .\tag{5}$$ ЛХС. экв. (5) не зависит от$n$, т.е. это константа wrt.$n$. Но начиная с RHS. экв. (5) не имеет${\cal O}(n^0)$условия, константа должна быть равна нулю. (В качестве альтернативы мы можем формально рассматривать целое число$n$как действительное число, и взять предел$n\to 0^{+}.$) Отсюда следует теорема о связанных кластерах (1).$\Box$

См. также этот и этот связанные посты Phys.SE.

Использованная литература:

1. XG Wen, QFT систем многих тел, (2004); п. 143.

--

$^1$NB: обычно в QFT допускается мультипликативный нормировочный коэффициент в статистической сумме$Z$, что, следовательно, соответствует аддитивной константе в$W_c$, ср. экв. (1).

1. Нет
2. насколько мне известно
3. Идея такова: диаграммы представляют амплитуды переходов (комплексные числа). Структура диаграммы говорит вам, как записать интеграл. Таким образом, диаграмма может быть интегралом, например $$\int f(x) dx.$$ Представьте, что у нас есть две копии одной и той же диаграммы. Это все же схема. В этом случае у нас будет что-то вроде $$\int f(x)f(y) dx dy = \int f(x)dx \int f(y)dy.$$ Я проигнорировал факторы симметрии.

С другой стороны, если бы я соединил две несвязанные копии линией, то у нас была бы одна связная диаграмма, и интеграл нельзя было бы разделить на произведение двух интегралов, как выше. У нас было бы

По сути, диаграмму со многими несвязными компонентами можно разбить на произведение интегралов, которые представляют связные диаграммы.

Поскольку правила теории возмущений предписывают нам записывать все возможные диаграммы, мы можем разложить несвязные диаграммы на связные.

Например, если бы я попросил вас расширить выражение$(a+b+c+...)^n$, то вы бы записали все возможные комбинации$a,b,c,...$содержащий$n$условия и вставьте правильные биномиальные коэффициенты.

Тогда мы могли бы сказать, что ряд возмущений выглядит примерно так:

1/н! prefactor в основном получается как правильный фактор симметрии из правил Фейнмана.

Также можно разделить связанные диаграммы на диаграммы 1PI и получить ряд Дайсона, а также производящий функционал 1PI с помощью преобразования Лежандра.