Насколько точна аналогия между статистической механикой и квантовой теорией поля?

Я думаю, это будет зависеть от вида статистической механики. Для классической статистической механики нет времени, поэтому очень сложно представить красивую физическую картину распространения чего-либо. Но тем не менее мы по-прежнему говорим о петлях как о распространяющихся «частицах» (мы даем, например, «импульсы», которые сохраняются и т. д.). Интересно, что перенормировку (а-ля Уилсон) легче понять с физической точки зрения в статистической физике, где грубая зернистость имеет очень хорошую интерпретацию.

С другой стороны, в квантовой статистической физике аналогия немного более прямая, хотя время все еще мнимое, поэтому в действительности ничего не распространяется. Но в каком-то смысле мы все равно суммируем все возможности (хотя и в статическом смысле). В этом случае эффект АБ даст квантование потока или квантовый эффект Холла.

В любом случае, что касается первого вопроса, имейте в виду, что петли, диаграммы Фейнмана и виртуальные частицы являются артефактами теории возмущений и поэтому не имеют реальной физической интерпретации.

С моей наивной точки зрения, это всего лишь математический трюк, к которому не следует относиться слишком серьезно с точки зрения физической интерпретации.

В конце концов, «вращение Вика», примененное к уравнению Шредингера, дает уравнение диффузии. Это полезно для некоторых математических задач, но описываемая им физика сильно отличается от квантовой механики; не говоря уже о том, что одно из них — волновое уравнение, а другое — уравнение Фоккера-Планка.

Теперь, поскольку квантовая теория поля и статистическая теория поля имеют одну и ту же математическую структуру (то есть интеграл по путям как производящий функционал), они также используют общие полезные инструменты, такие как функции Грина, теорема Вика, диаграммы Фейнмана и т. д., но это скорее математическое совпадение, чем глубокая многозначительная аналогия между ними, на мой взгляд...

[Под статистической механикой я подразумеваю классическую статистическую механику в этом ответе. Если вам любопытно подумать о сложностях, добавленных с превращением статистической стороны истории в квантовую механику, это звучит как очень хорошее упражнение. Для уточнения см. гл. 3 из «Конформной теории поля» Ди Франческо и др.]

Аналогия между « евклидовыми квантовыми теориями поля» и « равновесной статистической механикой вблизи фазовых переходов второго рода» является точной, как только вы определите$\hbar$(с квантовой стороны) с$1/\beta$(со статистической стороны). Важно быть осторожным с терминами « евклидово» и « равновесие », чтобы избежать ошибочных аналогий. Близость к фазовому переходу второго рода гарантирует, что (континуальный предел лежащей в основе статистической системы хорошо аппроксимирует его и, таким образом) статистическая механика может быть хорошо аппроксимирована статистической "теорией поля".

1) Грубо говоря, в квантовой теории поля реального времени каждый промежуточный этап происходит с вероятностью, пропорциональной$e^{iS/\hbar}$. Часто вы интерпретируете эти промежуточные стадии как «виртуальные частицы». В евклидовой (или мнимой) квантовой теории поля нет «промежуточной» стадии, поэтому правильная интерпретация (не в терминах виртуальных частиц, а) состоит в том, что все возможные классические конфигурации вносят вклад в статистическую сумму с вероятностью, пропорциональной$e^{-S/\hbar}$. Теперь, чтобы связать эту евклидову КТП-ситуацию с ситуацией в равновесной статистической механике вблизи фазового перехода 2-го рода, нужно только указать, в каком смысле «все возможные классические конфигурации вносят вклад в статистическую статистическую сумму с вероятностью, пропорциональной$e^{-\beta S}$". Смысл, в котором приведенное выше утверждение верно в равновесной статистической механике, конечно, эргодический смысл.

В общем, ответ на ваш первый вопрос заключается в том, что i) интерпретация виртуальных частиц не применима к евклидовой КТП (которая, в отличие от КТП в реальном времени, аналогична равновесной статистической механике вблизи фазовых переходов второго рода), ii) как к евклидовой КТП и равновесной статистической механике каждая разрешенная классическая конфигурация вносит вклад в статистическую сумму; просто в евклидовой КТП это имеет фундаментально вероятностную интерпретацию, тогда как в равновесной статистической механике она имеет статистическую интерпретацию, поддерживаемую эргодической теоремой.

2) Да. Фактически каждую евклидову квантовую теорию поля можно рассматривать как описание равновесной системы статистической физики вблизи фазового перехода 2-го рода. Термин статистическая теория поля применяется всякий раз, когда теория поля интерпретируется как описание некоторой статистической системы.

3) В евклидовой КТП отсутствует эффект Ааронова-Бома (в смысле распространения электронов и интерференции друг с другом) . Это путаница, аналогичная путанице с «виртуальными частицами», которая возникает из-за того, что не помнит слово « евклидово » ; нет распространения в мнимом времени КТП. Кроме того, со стороны равновесной статистической механики такой вещи нет. Однако, если вы ищете проявления нетривиальных калибровочных расслоений, вы можете найти такие проявления с обеих сторон, взглянув на петли Вильсона, циркулирующие вокруг соленоидов, установленных в вашей квантовой или статистической системе.

Мне придется не согласиться с некоторыми ответами, опубликованными в этом вопросе.

Во-первых, это вопрос интерпретации квантового формализма (и преобладающей «интерпретации», копенгагенской)

Хотя эта интерпретация (которую я нахожу неудовлетворительной и нефизической) может показаться преобладающей (и действительно может быть), это не потому, что она предлагает лучшее или более ясное понимание квантовой механики (действительно, известная цитата Р. Фейнмана может быть уместной, "никто не понимает квантовую механику")

Большинство физиков просто работают над формализмом и не вникают в какие-либо аспекты интерпретации, хотя они могут найти их неудовлетворительными.

(иногда это превращается в «научное табу»)

Таким образом, опубликованные ответы, в которых говорится о случайном сходстве между статистической механикой и квантовой механикой, на самом деле говорят об интерпретации (т. Е. Копенгагенской интерпретации)

Таким образом, конкретная интерпретация (которая в лучшем случае существует как исторический артефакт или, может быть, традиция, но не обязательно научная) приводит к связанному ответу.

Оставив все это в стороне на минуту (моя позиция состоит в том, что связь между квантовой механикой и статистической механикой, особенно энтропией, очень интересна, см., например , https://math.stackexchange.com/a/782596/139391 ),

давайте посмотрим на некоторые другие отношения между QM и SM:

1. Постоянная Планка (и действительно начало КМ) была связана с проблемой статистической механики (излучение черного тела). Кроме того, постоянная Планка h вычислялась с использованием статистических методов.

2. Вика, имеет физический смысл (имеется соответствие 1-1 между "квантовой" системой и "статистической"), формализм фактически отражает этот факт

3. Существуют теории (более или менее спонсируемые), которые выводят квантовую механику как расширение статистической механики (или наоборот). Например. Стохастическая механика (хорошая попытка), обобщенная термодинамика (в разработке) и т. д.

4. Квантовая механика без комплексных чисел (и гильбертовых пространств) — это всего лишь статистическая механика (и евклидовы пространства). Одним из применений комплексных чисел является определение границы, замкнутой системы, периодических условий. Поскольку квантовая механика может представлять ЕДИНСТВЕННУЮ систему (в отличие от статистической механики, которая представляет АНСАМБЛИ систем), все восходит к эксперименту с двумя щелями (и его интерпретации)

5. Все еще существует проблема асимметрии квантовых измерений (и возможной связи с энтропией), которой не хватает хорошего объяснения/интерпретации/переформулировки (в данном случае копенгагенская интерпретация может быть наихудшей интерпретацией)

Спасибо

ОБНОВЛЕНИЕ: в беззаботной манере можно сказать, что QM кажется КВАДРАТНЫМ из SM, или mutatis-mutandis SM является КВАДРАТОМ из QM