Классические и квантовые аномалии

В настоящее время существует более фундаментальная геометрическая интерпретация аномалий, которая, я думаю, может разрешить некоторые из ваших вопросов. Основной источник аномалий заключается в том, что классически и квантово-механически мы работаем с реализациями и представлениями группы симметрии, т. е. при заданной группе симметрий через стандартную реализацию в некотором пространстве нам нужно поднять действие на адекватные геометрические объекты, которые мы работают в классической и квантовой теории, и иногда это действие не может быть отменено. Математически это называется препятствием для подъема действия, которое и является источником аномалий. Препятствия часто приводят к возможности реализации не самой группы симметрий, а некоторого ее расширения другой группой, естественным образом действующей на геометрические объекты, определяющие теорию.

Различают три уровня реализации группы симметрий:

Абстрактный уровень: например, действие группы Лоренца (Галилея) на пространстве Минковского (евклидово). Это представление, например, не является унитарным, и это не то представление, с которым мы работаем в квантовой механике.

Классический уровень: когда групповое действие реализуется в терминах функций, принадлежащих алгебре Пуассона некоторого фазового пространства. Например, реализация групп Галилея или Лоренца на фазовом пространстве классической свободной частицы.

Квантовый уровень, когда групповое действие реализуется в терминах линейных представлений операторов в некотором гильбертовом пространстве (или просто операторов, принадлежащих некоторому$C^*$алгебра. Например, реализация групп Галилея или Лоренца на квантовом гильбертовом пространстве свободной частицы.

Теперь переход с абстрактного уровня либо на классический, либо на квантовый уровень может сопровождаться препятствием. Эти препятствия существуют уже в квантовой и классической механике с конечным числом степеней свободы, а не только в квантовых теориях поля. Два очень известных примера - это группа Галилея, которая не может быть реализована на алгебре Пуассона фазового пространства свободной частицы, а, скорее, центральное расширение которой с модифицированным коммутационным соотношением:

$$[K_i, P_j] =-i \delta_{ij}m$$

, реализуется. ($K_i$являются повышениями и$P_i$являются переводами$m$это масса). Это расширение было открыто Баргманном, и иногда его называют группой Баргмана. Второй пример - это реализация спиновых систем в терминах сечений однородных линейных расслоений над двумя сферами.$S^2$. Теперь действие группы изометрии$SO(3)$нельзя поднять до расслоений, соответствующих полуцелым спинам, а$\mathbb{Z}_2$продолжение которого, а именно$SU(2)$можно поднять. В этом случае расширенная группа полупроста, и вопрос о том, что$SU(2)$будучи групповым расширением$SO(3)$а не просто универсальная оболочка, как правило, не акцентируется в текстах по физике.

Расширения группы, реализуемые вследствие этих препятствий, могут потребовать:

1) Лучевые представления исходной группы, являющиеся истинными представлениями расширенной группы. Это случай$SO(3)$, где полуцелые спины могут быть реализованы через лучевые представления SO (3), которые являются истинными представлениями$SU(2)$. В этом алгебры Ли обеих групп изоморфны.

2) Расширения групп, соответствующие расширениям алгебры Ли. Это более общий случай, соответствующий, например, случаю Галилея.

Теперь на квантовом уровне легче понять, почему препятствия ведут к групповым расширениям. Это потому, что мы ищем представления, удовлетворяющие двум дополнительным условиям:

1) Унитарность

2) Положительная энергия

Иногда (до$1+1$размерности), мы можем удовлетворить этим условиям просто за счет нормального упорядочения, которое приводит к центральным расширениям групп симметрии. Этот метод применим к случаю алгебр Вирасоро и Каца-Муди, которые являются центральными расширениями алгебр Витта и алгебр петель соответственно и могут быть получены на квантовом уровне после нормального упорядочения.

Связь между нормальным порядком и аномалиями можно объяснить тем, что операторы квантования должны быть операторами Теплица . Очень известным примером является реализация гармонического осциллятора на баргмановском пространстве аналитических функций, тогда операторы Теплица — это именно те операторы, у которых все производные сдвигаются вправо. Это называется квантованием Вика и точно соответствует нормальному упорядочению в алгебраическом представлении. Основное свойство теплицевых операторов состоит в том, что их композиция осуществляется через звездчатые произведения, и звездчатые произведения операторов Теплица также являются операторами Теплица, таким образом, алгебра квантовых операторов замкнута, но она замкнута не на исходную группу, а на центральное расширение которой. Эта важная интерпретация еще не была распространена на теории поля.

Стоит отметить, что центральные расширения не являются самыми общими расширениями, которые можно получить, когда симметрия реализуется в терминах операторов в квантовой теории, существуют абелевы и даже неабелевы расширения. Одним из наиболее известных расширений этого типа является расширение Микельссона-Фаддеева алгебры киральных фермионных неабелевых плотностей заряда, связанное с внешним полем Янга-Миллса в$3+1$Габаритные размеры:

$$[T_{a}(x), T_{b}(y)] = if_{ab}^c T_c(x) \delta^{(3)}x-y) +id_{ab}^c\epsilon_{ijk} \partial_i\delta^{(3)}(x-y) \partial_j A_{ck}$$

Это расширение является абелевым нецентральным расширением.

Объяснение существования «аномалий» в классическом случае, т. е. на алгебре Пуассона, можно понять уже в случае простейшего симплектического многообразия$\mathbb{R}^2$, алгебра Пуассона не изоморфна алгебре трансляций. Более глубокий анализ, например, дан в: Marsden and Ratiu page 408 для случая группы Галилея. Они показали, что в гильбертовом пространстве свободных частиц группа Галилея поднимается до центрального расширения (группы Баргмана), которое действует унитарно в гильбертовом пространстве свободных частиц:$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$. Теперь проективное гильбертово пространство$\mathcal{PH}$является симплектическим многообразием (как и любое комплексное проективное пространство), в которое вложено фазовое пространство частицы. Ограничение представления на проективное гильбертово пространство, а затем на фазовое пространство частицы сохраняет центральное расширение, т. е. изоморфно расширенной группе, таким образом, расширенная группа действует на алгебре Пуассона.

На самом деле всегда следует ожидать, что аномалия должна реализовываться классически на фазовом пространстве. Случай фермионных киральных аномалий кажется исключительным, поскольку принято говорить, что аномалия существует только на квантовом уровне. Причина в том, что пространство переменных Грассмана на самом деле не является фазовым пространством, и даже в случае фермионов аномалия существует на классическом уровне, когда их представляют в терминах «бозонных координат». Эти аномалии представлены в виде терминов Весса-Зумино-Виттена. (Конечно, эти представления бесполезны в теории возмущений).

Другая причина, по которой аномалии всегда существуют на классическом (фазовом) уровне, заключается в том, что при геометрическом квантовании аномалии могут быть получены на уровне предварительного квантования. Теперь предварительное квантование не требует больше данных, чем фазовое пространство (в отличие от самого квантования, которое требует поляризации).

Теперь постараюсь ответить на ваши конкретные вопросы. Верно, что киральные аномалии были обнаружены в квантовых теориях поля, когда не удалось найти никаких ультрафиолетовых регуляторов, соблюдающих киральную симметрию. Но аномалия на самом деле является инфракрасным свойством теории. Признаками этого является теорема Адлера-Бардина о том, что отсутствует поправка к осевой аномалии с более высокой петлей (более одной) и, что более важно, в аномалию вносят вклад только безмассовые частицы. В операторном подходе, который я пытался применить в этом ответе, аномалия является следствием деформации, которую следует выполнить над генераторами симметрии, чтобы ее можно было правильно определить в физическом гильбертовом пространстве, а не прямым следствием регуляризации.

Во-вторых, аномалия существует в равной степени как на квантовом, так и на классическом уровне (на фазовом пространстве). Случай фермионов и регуляризации был рассмотрен отдельно.

Обновление - Проработка спин-кейса:

Вот и разработка$SO(3)$,$SU(2)$случай, который содержит все ингредиенты, касающиеся препятствия к поднятию и групповым расширениям, за исключением того, что он не имеет соответствующего расширения алгебры Ли.

Мы работаем над$S^2$используя координату стереографической проекции, заданную в терминах полярных координат:

$$z = \tan \frac{\theta}{2} e^{i \phi}$$

Элемент группы$SU(2)$

$$g=\begin{pmatrix} \alpha& \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha } \end{pmatrix}$$

действует на$S^2$по преобразованию Мёбиуса:

$$z \rightarrow z^g = \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha } }$$

Однако можно заметить, что действие специального элемента:

$$g_0=\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

тождественно действию тождества. Этот элемент представляет собой элемент SU (2), который проецируется в единство SO (3) (это видно из его трехмерного представления, которое представляет собой единичную матрицу). Таким образом, группа, действующая нетривиально на$S^2$является$SO(3)$

Теперь квантово-механические спиновые системы могут быть реализованы на сфере в гильбертовых пространствах аналитических функций:

$$(\psi, \xi) = \int_{S^2} \overline{\xi(z)} \psi(z) \frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

Трансформация под$SU(2)$согласно с:

$$\psi(z) \rightarrow \psi^g(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha })^{2j} \psi(z^{g^{-1}})$$

Это лучевое представление$SO(3)$в качестве$SO(3)$не имеет половинного целочисленного представления.

Итак, первое наблюдение (квантовый уровень) заключается в том, что специальный элемент не действует на волновые функции как единичный оператор, а для полуцелых спинов добавляет фазу$\pi$. Это и имеется в виду, что$SO(3)$действие не может быть поднято в квантовое гильбертово пространство.

Теперь перейдем к классическому уровню. Симплектическая форма на$S^2$пропорциональна его элементу площади. Константа пропорциональности должна быть целым числом в предквантовой теории (условие квантования Дирака).

$$\omega = 2j \frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

Соответствующая скобка Пуассона между двумя функциями на сфере:

$$\{f, h\} =\frac{1}{2j} (1+\bar{z}z)(\partial_z f \partial_{\bar{z}} h - \partial_z h \partial_{\bar{z}} f)$$

Функция, порождающая групповое действие в алгебре Пуассона, имеет вид:

$$f_g= \left(\frac{\alpha \bar{z}z + \beta \bar{z} - \bar{\beta}z + \bar{\alpha}}{1+\bar{z}z}\right)^{2j}$$

Теперь функция, представляющая единицу SU(2) в функции$f=1$, а функция, представляющая специальный элемент,$f=-1$для полуцелых спинов, что является другой функцией (она должна быть постоянной, потому что принадлежит центру$SU(2)$, поэтому он должен коммутировать Пуассона со всеми функциями.

Таким образом, даже на классическом уровне действие$SO(3)$не поднимается до алгебры Пуассона.

Теперь, что касается вопроса о классическом различении$SU(2)$из$SO(3)$. Если вы вычислите классическую статистическую сумму спина$\frac{1}{2}$газ, взаимодействующий с магнитным полем, будет отличаться от, скажем, спина$1$, но крутиться$\frac{1}{2}$существует в первую очередь только в том случае, если$SU(2)$действует, потому что$SO(3)$допускает только целочисленные спины.