Я студент математики с небольшим опытом в физике. Я заинтересован в изучении квантовой теории поля с математической точки зрения.
Есть ли хорошие книги или другой справочный материал, который может помочь в изучении квантовой теории поля? С какими областями математики мне следует ознакомиться, прежде чем читать о квантовой теории поля?
Позвольте мне добавить лишь пару вещей к тому, что уже было сказано. Я действительно думаю, что лучшим источником для QFT для математиков являются два тома IAS. Но так как они довольно длинные и некоторые части непросты для математиков (я немного участвовал в их записи, и знаю, что в основном это писали люди, которые в то время плохо понимали, о чем они писали), поэтому, если вы действительно хотите понять предмет с математической точки зрения, я бы предложил следующий порядок:
1) Убедитесь, что вы хорошо понимаете квантовую механику (есть много математических вступлений в квантовую механику, особенно мне нравится книга Фаддеева и Якубовского http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical /дп/082184699X )
2) Получить некоторое представление о квантовой теории поля (математическом). Источником, который мне здесь нравится, являются аксиомы Вайтмана (как то, что вы могли бы пожелать в КТП, но которые почти никогда не выполняются), представленные во втором томе книги Рида и Саймона по функциональному анализу; для более подробного обсуждения см. лекции Каждана в томах ИАС.
3) Понять, как работает двумерная конформная теория поля. Если вы хотите более элементарного и более аналитического (и более "физического") введения - посмотрите лекции Гаведски в томах IAS. Если хотите чего-то более алгебраического, посмотрите там же заметки Гейтсгори.
4) Изучите пертурбативную КТП (диаграммы Фейнмана): это хорошо освещено в томах ИАС (для математика; физику нужно было бы гораздо больше практики, чем там делается), но на месте я точно не помню, где ( но должно быть легко найти).
5) Попытайтесь понять, как работают суперсимметричные квантовые теории поля. Этот предмет является самым сложным для математиков, но он также является источником большинства приложений к математике. Это обсуждается в лекциях Виттена во 2-м томе IAS (их, по-моему, около 20), и это действительно непросто - например, требует хороших практических знаний некоторых аспектов супердифференциальной геометрии (также обсуждаемых там), это чисто математический предмет, но очень немногие математики знают его.
Немногие математики прошли через все это, но если вы действительно хотите иметь возможность общаться с физиками, я думаю, что что-то вроде приведенной выше схемы необходимо (кстати: я не включил в свой список теорию струн - это дополнительный предмет, хорошее введение в него есть в лекциях Д'Окера в томах IAS).
Редактировать: Кроме того, если вам нужно чисто математическое введение в топологическую теорию поля, вы можете прочитать заметки Сигала http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www.cgtp.duke.edu/ITP99 . /Сигал/ ; это очень доступное (и приятное) чтение! Современный (и технически намного более сложный) математический подход к тому же предмету разработан Джейкобом Лурье http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (в этой статье нет физической мотивации, но математически это, вероятно, правильный способ думать о топологических теориях поля).
Если вы математик и хотите понять КТП, вам рано или поздно придется столкнуться с перенормировкой. Ваша жизнь станет легче, если вы с самого начала поймете, что философия Уилсона-Вайнберга и «теории эффективного поля» является важным организующим принципом для всего предмета. В частности, вам нужно знать это, чтобы иметь надежду понять интуицию, стоящую за существующими строгими конструкциями КТП. К сожалению, объяснения перенормировки в учебниках по физике элементарных частиц, к которым математики часто обращаются в первую очередь, не так хороши.
Может быть, я могу немного мотивировать, прежде чем добавить в список рекомендуемого чтения.
В системе с бесконечным числом степеней свободы (такой, как теория поля в пространстве-времени размерности по крайней мере 2), вы должны каким-то образом организовать степени свободы, прежде чем вы сможете даже начать говорить о том, как они взаимодействуют. В КТП мы часто организуем степени свободы, задаваясь вопросом, насколько они велики по сравнению с некоторой фиксированной шкалой расстояний. (Примером этого является разложение Фурье электромагнитного поля. Мы думаем об электромагнитном поле как о сумме волн sin/cos с различными длинами волн.) Поэтому, когда мы говорим о теории поля, на самом деле мы имеем в виду последовательность аппроксимаций, которая начинается с набора степеней свободы, характерный масштаб которых сравним с эталонным масштабом, а затем систематически добавляются новые, характерные масштабы которых находятся дальше от нашего эталонного масштаба.
Основная идея философии эффективной теории поля заключается в том, что вместо того, чтобы думать о степенях свободы, которые мы используем вблизи эталонной шкалы, как о тех, которые остаются, когда мы отбрасываем все остальные, мы должны думать об этих степенях свободы как о приближенное «эффективное» описание системы, которое мы получаем, усредняяэти другие степени свободы. Если вы примите эту точку зрения, вы часто обнаружите, что степени свободы на эталонной шкале действительно напоминают те, которые мы получили бы, слепо игнорируя степени свободы на более коротких расстояниях, и их взаимодействия имеют ту же основную форму, за исключением что константы связи все разные. Процедура перенормировки, которая проявляется повсюду в КТП, связана с вычислением того, как взаимодействия между степенями свободы в эталонном масштабе определяются с точки зрения взаимодействий между степенями свободы, соответствующими более короткому расстоянию, в частности с выяснением того, какие взаимодействия становятся сильнее. и какой слабее.
Эта философия берет свое начало в статистической механике, часто игнорируемой третьей ножке стула КТП. (Интеграл по траекториям в КТП тесно связан с вычислением статистической суммы, используемой в статистической механике полевых систем.) Если вы хотите понять КТП, вы должны изучить КМ, теорию относительности и статистическую механику. Механизм статистики на самом деле не является обязательным.
Несколько ссылок:
Книга Тима Холловуда «Отсечки и пределы континуума: подход Вильсона к теории поля» — отличное введение.
В « Статистической механике » Керсона Хуанга есть хорошая трактовка модели Изинга, которая в значительной степени является пра-примером предмета.
QFT & Critical Phenomena Зинна-Джастина прорабатывает эти идеи с огромным количеством деталей.
Дэвид Бриджес «Лекции по ренормализационной группе» в сборнике IAS/Park City « Статистическая механика » довольно хорош.
«Вейвлеты и перенормировка» Баттла тщательно и математически строго обрабатывают евклидов интеграл по путям для трехмерной скалярной теории поля, очень в духе философии перенормировки.
В книге Глимма и Джаффе «Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения» объясняется множество математических механизмов, таких как ядерные пространства и цилиндрические меры, которые можно использовать для придания математической точности идее эффективной теории поля, и используется этот механизм для построения двумерного скалярного поля. теории и доказать некоторые нетривиальные факты о них.
В этом вопросе есть два аспекта:
1) Какие источники пытаются передать обычную расплывчатую и спекулятивную историю физики так, чтобы математики с большей вероятностью ее оценили?
2) Какие источники пытаются дать реальную математическую трактовку КТП, что-то, что соответствует математике?
Во-первых, Квантовые поля и струны Делиня и др., вероятно, лучший ответ, существующий на сегодняшний день.
Но и по второму вопросу тоже есть что сказать. За последние несколько лет здесь был достигнут значительный прогресс. В декабре этого года (2011 г.) выходит том AMS, в котором собраны обзоры и оригинальные статьи по этой теме:
Сати, Шрайбер (ред.) Математические основы квантовой теории поля и пертурбативной теории струн AMS (2011) Труды симпозиумов по чистой математике, том: 83 .
Введение с дополнительными ссылками находится по адресу arXiv:1109.0955.
[Редактировать: ввиду приведенного ниже обсуждения я должен сказать, что я вовсе не имею в виду «расплывчатое и спекулятивное» в уничижительном смысле. Это просто факт, что с точки зрения математики большая часть физики, особенно большая часть квантовой теории поля и теории струн, какими бы надежными и надежными они ни были, являются расплывчатыми и спекулятивными. Чтобы получить представление об истинности этого, может помочь обратиться к чистому математику, который заинтересован в изучении предмета, но не имеет в этом опыта, и попытаться научить его или ее. Из этого можно узнать, что многие тексты, написанные физиками и претендующие на звание «для математиков», на самом деле таковыми не являются. Между математически осведомленными физиками-теоретиками и чистыми математиками, не знакомыми с обычными физическими знаниями, существует большое расстояние. Многие физики не знают об этом расстоянии.]
Моше уже коснулся многих моментов. Вас может заинтересовать Квантовая теория поля Фолланда: туристический справочник для математиков . Он старается сделать как можно больше математически строгим образом и указывает на те моменты, где это невозможно сделать.
Что касается математической подготовки: будет полезно некоторое знакомство с уравнениями в частных производных и теорией распределений.
Это касается «обычной» квантовой теории поля. Вас также может заинтересовать топологическая квантовая теория поля, которая носит гораздо более математический характер.
КТП — обширная тема, лежащая в основе большей части современной теоретической физики. Я думаю, что в целом математическое сообщество интересовалось частными простыми случаями (например, топологической или рациональной КТП), поэтому стандартное предостережение о пресловутом слоне здесь очень уместно.
Одним из хороших обзоров является годовой курс IAS для математиков, который охватывает много вопросов. Есть двухтомник, полезный не только математикам, и сайт: http://www.math.ias.edu/qft . Это даст вам обзор центральных тем и (в зависимости от того, что конкретно вас интересует) необходимой предыстории.
Что касается попыток формализовать общую КТП, то их много. Поскольку в современной (пост- Влисоновской ) трактовке предмета все определяющие свойства КТП связаны с процессом перенормировки, я задал вопрос на этот счет здесь . Формализация квантовой теории поля . того, что есть на этом фронте.
В дополнение к этим замечательным ответам я хотел бы порекомендовать книги,
Первая книга развивает часть анализа, необходимого для КТП (глава 8), а также теорию конформных компактификаций (главы 1, 2) и теорию алгебр Витта и Виросоро (главы 4–6). Книга заканчивается обсуждением правил слияния и того, как формально построить КТП (начиная с чего-то, аналогичного аксиомам Вайтмана). Я считаю, что Шоттенлохер — аналитик, так что вы можете получить более аналитическое представление [читай: знать кое-что из функционального анализа и базовой теории представлений] из этой книги.
Вторая книга написана с точки зрения функционального аналитика с большим опытом работы в области теории представлений. Первые две главы дают достойное математическое введение в КТП, а также некоторые результаты из теории представлений, которые могут показаться интересными. Автор также вводит часть алгебраической геометрии, которую можно найти в формальном анализе КТП (которая, конечно же, во всей своей красе освещена в « Квантовые поля и струны» .
Третья книга из летней школы для аспирантов по математике и физике. Таким образом, он знакомит с большим разнообразием тем и обеспечивает несколько формальное введение в КТП.
Наконец, конспект лекций Леонарда Гросса по квантовой теории поля является хорошим формальным введением для математиков, имеющих а) аналитический опыт и б) не имеющих более высокой физики, чем классическая механика. Это легко читаемый набор заметок с хорошими историческими ссылками. Изучая и физику, и математику, я обнаружил, что эти заметки — мой любимый справочник по КТП (возможно, потому, что я предпочитаю анализ и дифференциальную геометрию алгебре и алгебраической геометрии).
Если вы ищете что-то более простое и педагогичное, то вам стоит взглянуть на замечательную книгу Баеза и Муньяина « Калибровочные поля, узлы и гравитация» . Эта книга развивает математический формализм калибровочной теории в дружелюбной и увлекательной форме, и для ее прочтения требуется совсем немного знаний. Если вы хотите узнать о физических аспектах квантовой теории поля, вы можете поискать в другом месте, но эта книга представляет собой полностью самодостаточное математическое введение в теорию Черна-Саймонса, квантовую теорию поля с важными приложениями в чистой математике.
Еще одна очень удобная для математиков книга по квантовой теории поля — « Алгебры Фробениуса и двумерные топологические квантовые теории поля » Дж. Кока. Это отличное место для начала, если вы хотите изучить недавнюю работу Якоба Лурье по классификации топологических квантовых теорий поля. Единственная проблема с этой книгой заключается в том, что в ней мало говорится о том, как квантовые теории поля используются для вычисления инвариантов топологических пространств. Поэтому я думаю, что лучше всего дополнить эту книгу чем-то другим — возможно, классической статьей Атьи.
Это должен был быть комментарий, а не ответ, но у меня недостаточно репутации. По сути, я получил степень магистра по математике (чистая математика), затем степень магистра по физике (QFT), затем докторскую степень по математике (чистая алгебраическая геометрия). Итак, мне пришлось столкнуться с проблемой, которую вы пытаетесь решить. Я думаю, что будет трудно получить хороший ответ, поскольку вы не указываете, по какой причине вы хотите изучить QFT. Некоторые комментарии тогда:
Если вы собираетесь работать с такими вещами, как уравнения Зайберга-Виттена, с математической точки зрения, то я полагаю, что книга Баэза и Муниана под названием «Калибровочные поля, узлы и гравитация » (упомянутая выше Бобом Джонсом) будет отличной, поскольку вам не нужно будет квантовать все равно вещи.
Если вы на самом деле хотите получить представление о предмете, включающем в себя физику (что я и пытался сделать), то я предлагаю немного изучить физику. Итак, я предлагаю прочитать книгу Сакурая по квантовой механике (которая, исходя из моего чисто математического образования того времени, была хорошей книгой) вместе с книгами для неспециалистов: КЭД Фейнмана и Открытие Вайнберга субатомные частицы . Я использовал эти книги вместе с книгой Пескина и Шредера «Введение в квантовую теорию поля» .
На самом деле, я пытался в то же время следовать более «математическому» подходу к КТП — но в конце концов я подумал, что это сложнее, чем физический подход — потому что, я думаю, вы в конечном итоге тратите огромное количество времени, чтобы получить в любом месте, и рискуете быть похороненным в груде математического формализма, прежде чем сможете выполнять простые вычисления.
Последний комментарий. По моему опыту, было здорово поговорить с физиками (они, как правило, более болтливы и рассказывают больше историй о своем предмете, чем математики). Итак, я считаю, что очень выгодно проводить время с группой студентов/преподавателей физики, изучая КТП.
Будучи математиком-любителем, я нашел книгу Франца Мандла и Грэма Шоу « Квантовая теория поля» быстрым и кратким введением. Тем не менее, вам нужно будет изучить некоторые аспекты квантовой механики ранее. Изначально мне рекомендовали книгу.
Этот ответ содержит некоторые дополнительные ресурсы, которые могут быть полезны. Обратите внимание, что ответы, которые просто перечисляют ресурсы, но не содержат подробностей, настоятельно не рекомендуются политикой сайта в отношении вопросов о рекомендациях ресурсов . Этот ответ оставлен здесь, чтобы содержать дополнительные ссылки, которые еще не имеют комментариев.
По суперсимметрии (которая, как справедливо заметил Александр Браверман, наиболее важна для математических приложений), книга Дэна Фрида ["Пять лекций по суперсимметрии".][3]
Квантовая теория поля (математические обзоры и монографии) Фолланда
Квантовая механика и квантовая теория поля: математический учебник
Математические аспекты квантовой теории поля (Кембриджские исследования по высшей математике
Ссылки на обмен стеками физики:
Хорошим введением является «Квантовая теория поля для математиков» Тичиати. Он великолепен в том смысле, что он довольно строгий и самодостаточный, и в то же время довольно широкий в своем изложении.
Немного более увлекательная и длинная презентация с конкретными темами — «Квантовые поля и струны: курс для математиков». Это двухтомный набор, наполненный лекциями людей, работающих в этой области. Хотя довольно технично.
Джонатан Глисон
Игорь Хавкин