Можем ли мы безопасно отправить человека на Луну на ракете, не зная общей теории относительности?

Проблема орбитальной механики в том, что она быстро становится чрезвычайно сложной и трудной для интуитивного понимания. Однако я думаю, что есть достаточно простой способ показать, насколько мало влияние ОТО на переходную орбиту Земля-Луна. Но это требует небольшой подготовки, так что потерпите меня, пока я дам краткое введение.

Я надеюсь, что каждый, кто читает этот сайт, знает, что гравитационная потенциальная энергия определяется законом Ньютона:

$$V(r) = -\frac{GMm}{r}$$

Гравитационная потенциальная энергия обусловлена ​​гравитационной силой притяжения, но для объекта, вращающегося по орбите, существует также (фиктивная) центробежная сила, толкающая его наружу. Если мы вычислим потенциальную энергию центробежной силы и добавим ее к потенциальной энергии гравитации, мы получим эффективную потенциальную энергию:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} \tag{1}$$

куда$L$- угловой момент, который является константой для объекта, находящегося на орбите (поскольку угловой момент сохраняется в центральном поле). Если мы посчитаем$V_{eff}$для объекта на переходной орбите Земля-Луна получаем такой график:

Стабильная круговая орбита находится на минимально возможном уровне, то есть на высоте около 384 400 км, что обнадеживает, поскольку это расстояние Земля-Луна. Все идет нормально.

Но когда мы учитываем эффекты общей теории относительности, мы обнаруживаем, что она изменяет уравнение для эффективного потенциала. Подробности приведены в статье Википедии о геодезических шварцшильдах , но опустим подробности и просто приведем уравнение для$V_{eff}$включая релятивистские эффекты:

$$V_{eff}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GML^2}{c^2mr^3} \tag{2}$$

Таким образом, включение релятивистских эффектов просто добавляет третий член в$r^{-3}$.

Теперь вычисляем положение устойчивой орбиты, находя минимум$V_{eff}$т.е. мы вычисляем$dV/dr$, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение относительно$r$. Делая это для ньютоновского потенциала (1), мы получаем:

$$r = \frac{L^2}{GMm^2} \tag{3}$$

Нахождение минимума релятивистского выражения (2) немного сложнее, так как нам нужно решить квадратное уравнение, но некоторые возни приводят к следующему:

$$r = \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{12G^2M^2m^2}{L^2c^2}} \right)$$

и мы можем аппроксимировать квадратный корень, используя биномиальную теорему, чтобы получить:

$$\begin{align} r &\approx \frac{L^2}{2GMm^2} \left( 1 + 1 - \frac{6G^2M^2m^2}{L^2c^2} \right) \\ &\approx \frac{L^2}{GMm^2} - \frac{3GM}{c^2} \tag{4} \end{align}$$

И сравнивая наши расчетные ньютоновские (3) и релятивистские (4) расстояния, мы находим разницу между ними:

$$\Delta r \approx \frac{3GM}{c^2} \approx 1.3 \text{cm}$$

Вот какая разница, включая общую теорию относительности, в расчетной переходной орбите Земля-Луна — около 1,3 см!

Лаборатория реактивного движения включила общие релятивистские эффекты в численное интегрирование планет с середины до конца 1960-х годов. Например, эфемериды JPL DE19, выпущенные в 1967 году, учитывали релятивистские эффекты при моделировании Солнечной системы.

Это не сильно помогло. Если бы они игнорировали релятивистские эффекты, эффект был бы незначительным. Ошибки в этих старых эфемеридах JPL быстро накапливались, превращаясь в бесполезные всего за несколько лет. Большинство этих ошибок было связано с крайне паршивыми вычислительными возможностями (ваш ноутбук/домашний компьютер намного мощнее самого большого суперкомпьютера 1960-х годов) и довольно паршивыми измерениями (сеть дальнего космоса JPL все еще находилась в зачаточном состоянии).

Другие части НАСА, в том числе другие части Лаборатории реактивного движения, не учитывали релятивистские эффекты при распространении своих космических кораблей. В этом было мало смысла. Еще в 1960-х годах модель гравитационного поля Земли, разработанная НАСА, представляла собой модель сферических гармоник 4x4, а модели Луны — простую модель сферической гравитации. (Сравните это с гравитационной моделью Земли EGM2008 2159x2159 и моделью лунной гравитации GRGM900C 900x900.) Ошибки, вызванные этими известными ограничениями, затмевают ошибку, поскольку эти крошечные релятивистские эффекты не моделируются.

В 1968 году НАСА было весьма шокировано ошибкой в ​​2 километра, которую они наблюдали в своих лунных зондах и в полете Аполлона-8 в 1968 году. Это было тем, что НАСА преследовало. Оказывается, на ближней стороне Луны есть пять больших массовых концентраций, которые превращают эту простую модель сферической гравитации в насмешку. Эту проблему стоило исправить.

Не моделировать релятивистские эффекты? Во многих случаях это все еще не стоит исправлять. До недавнего времени я был ключевым разработчиком большей части программного обеспечения орбитальной механики, используемого в Космическом центре НАСА имени Джонсона. Ежегодно я просил добавить релятивистские эффекты к нашим гравитационным вычислениям. Эта просьба отклонялась каждый год. Я спросил, потому что хотел это добавить, а не потому, что это важно для моделирования поведения космического корабля.

Общая теория относительности оказывает крошечное, крошечное влияние на космический корабль. Они не работают достаточно долго, чтобы увидеть рост ошибок, возникающих в результате игнорирования этих эффектов. Игнорирование релятивистских эффектов вызывает крохотную, крохотную ошибку в распространенном состоянии, полностью заглушаемую другими ошибками. Например, в случае с транспортным средством на низкой околоземной орбите неопределенности в верхних слоях атмосферы Земли огромны. Небольшая солнечная вспышка — это все, что нужно, чтобы верхние слои атмосферы Земли раздулись, как воздушный шар. Нет смысла моделировать релятивистские эффекты, когда сопротивление на несколько порядков выше и когда вам повезло знать сопротивление с точностью до двух знаков.

В случае корабля, направляющегося на Луну или на другую планету, ошибки в системах наведения, навигации и управления вновь затмевают последствия игнорирования теории относительности. Эти ошибки, наряду с другими, необходимо исправлять, чтобы космический корабль не промахнулся. Каждый космический корабль, направляющийся к какому-либо другому телу Солнечной системы, должен сделать по крайней мере одну коррекцию на полпути. В худшем случае игнорирование релятивистских эффектов просто означает необходимость привнести немного дополнительного топлива для этих промежуточных поправок.

Несколько проверок работоспособности без фактического вычисления чего-либо:

Во-первых, ошибка из-за пренебрежения общей теорией относительности настолько мала, что не повлияла на предсказание лунных затмений и фактически не была замечена нигде, кроме орбиты Меркурия (по крайней мере, до тех пор, пока не были специально поставлены эксперименты для обнаружения незначительных расхождений). Я знаю, что это не дает полностью удовлетворительного ответа, но Луна и наши ракеты подчиняются одним и тем же физическим законам, и если механика Кеплера достаточно хороша для Луны, то она достаточно хороша и для ракеты.

Во-вторых, точность силы и продолжительности тяги ракеты, особенно полвека назад, была ограничена. Точность грубого машиностроения (которой определенно соответствует ракета, работающая на твердом топливе) оптимистично составляет около трех десятичных знаков, что намного хуже, чем точность, с которой экспериментально подтверждена ньютоновская динамика.

В-третьих, корректировка курса производится во время полета, чтобы скорректировать траекторию и достичь правильного пункта назначения. Так что мы не рассчитываем на предельно точный запуск, чтобы исключить накопление ошибок.

Короче говоря, эффекты общей теории относительности полностью затмеваются несовершенством твердосплавного оборудования, плохо измеренным количеством топлива, топливными примесями, неравномерностью сгорания, турбулентностью и общей аэродинамикой в ​​атмосфере во время запуска, неточным определением веса полезной нагрузки, птичьим пометом на лобовом стекле и т. д. на. Учитывая, что мы прибыли на Луну с помощью технологии стимпанк , общую теорию относительности можно смело игнорировать для космических путешествий, по крайней мере, если вы находитесь достаточно далеко от звезды.

Это, конечно, не означает, что общая теория относительности не заметна где-либо еще. Это определенно влияет на GPS, и наш хронометраж также достаточно точен, чтобы определить разницу во времени, если вы поднимаетесь на гору и спускаетесь обратно.

Я начну с этого. Мои знания GR, вероятно, недостаточно хороши, чтобы сделать этот ответ действительно удовлетворительным...

Гравитационное ускорение для объекта, движущегося радиально с нерелятивистскими скоростями в метрике Шварцшильда, модифицируется коэффициентом$(1 - r_s/r)(3[1-r_s/r] -2)$, куда$r_s = 2GM/c^2 = 0.00885 m$для Земли.

Если мы возьмем низкую околоземную орбиту в несколько сотен километров, фактор$0.999999995$. Ибо где-то между Землей и Луной это$0.9999999998$.

Так что, если вы делаете что-то глупое, например, используете уравнение равномерного ускорения в течение 3 дней, то возникающая (радиальная) позиционная неточность возникает из-за времени гравитационного поля.$t^2$умножается на указанные выше коэффициенты. Я думаю, что второй фактор более реалистичен, так как большая часть времени была проведена между Землей и Луной. Гравитационное поле здесь порядка 0,02 м/с.$^2$, что дает ошибку позиционирования на порядок после трехдневного полета на 0,3 метра или немного больше, если больше времени проводится в более сильном гравитационном поле.

Касательно, я думаю, мы можем сделать расчет порядка величины, используя метрическое замедление времени Шварцшильда для Земли на орбите Луны. В первом порядке часы на Луне идут быстрее, чем часы на поверхности Земли, со скоростью$(1- r_s/r)^{-1/2}$, куда$r \sim 6,400\ km$. Умножение этого на 3 дня приводит к временной ошибке в 0,2 миллисекунды, за это время Луна сместилась (относительно Земли) примерно на 0,2 метра.

Таким образом, этот необычайно грубый расчет, по-видимому, указывает на то, что ОТО здесь не о чем беспокоиться. Но я уверен, что кто-то может сделать более точную работу. В любом случае, я не думаю, что постановка вопроса верна, поскольку корректировки полета в пути и на орбите могли и были сделаны (несколько раз) во время полетов Аполлона.

Учтите, что было бы несложно выполнить посадку типа «Аполлон», если бы каждое из ваших измерений относительной скорости, дальности и угла отличалось на +/- 5%.

Вы можете просто вносить небольшие итеративные исправления по ходу дела, пока абсолютные значения не станут достаточно малы, чтобы сделать относительные ошибки несущественными. В худшем случае вам нужно будет иметь несколько больший запас топлива.

Безусловно, мы могли бы, и на самом деле я сильно подозреваю, что общая теория относительности никогда не использовалась в программе «Аполлон». во-первых, бортовые навигационные компьютеры были далеко не настолько мощными, чтобы выполнять какие-либо полезные вычисления с помощью GR.

с другой стороны, можно измерить положение Луны с точностью до нескольких сантиметров (намного точнее, чем это необходимо для безопасной доставки туда космического корабля), и, безусловно, необходимо использовать ОТО для точного моделирования этих данных.