Откуда берется электрическая сила, если электрон не имеет определенного местоположения?

Обратите внимание, что проблема, которую вы ставите, нереалистична. Если в определенный момент B находится в собственном состоянии положения,$\delta (\vec r)$, через очень короткое время после , B может быть везде во Вселенной с равной вероятностью. Эффект от этого вы увидите ниже.

Но давайте сначала посчитаем силу$<\vec F>$. В КМ влияние между А и В выглядит следующим образом: пусть$\psi_A(\vec r)$— волновая функция электрона A, где вектор$\vec r$соединяет А, где бы А ни было, с В.

Тогда сила взаимодействия

$\vec F(\vec r) = -\frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |r|^2}$.

Средняя сила между двумя электронами равна

$<\vec F> = \int d\vec r \int d\vec r' \psi_A^* (\vec r)\delta (\vec r') \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3} \psi_A (\vec r) \delta (\vec r')$.

$=\int d\vec r d\vec r' \delta (0) |\psi_A (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2} = \delta (0)\int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2}$

Итак, у нас есть проблема, потому что функция$\delta (\vec r')$имеет бесконечную норму. С другой стороны, если$\psi_A$сферически симметрична, получается$<\vec F> = 0$. Для случая, когда$\psi_A$не является сферически симметричным, мы должны заменить волновую функцию B другой функцией, назовем ее$\psi_B (r')$, сильно локализованные вокруг точки$\vec r' = 0$, но нормализовалось. В таком случае

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}$,

и с тех пор$\psi_B (r')$сильно локализуется вокруг$\vec r' = 0$мы можем аппроксимировать,

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3} = \int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3}$.

Теперь возвращаюсь к следующему моменту после локализации. Функция$\psi_B (\vec r')$будет практически нулевым везде. Итак, в предпоследнем уравнении получим$<\vec F> = 0$.

Если ваша заряженная частица не находится в собственном состоянии положения, вы всегда можете записать положение как суперпозицию собственных состояний положения. Следовательно, у вас будет квантовая суперпозиция сил на пробную частицу (взвешенная по амплитудам вероятности).

Например, предположим, что у вас есть отрицательная частица, которая изначально имеет волновую функцию

$$\psi^- = \delta(0),$$ т.е. находится в состоянии определенного положения, расположенного в начале координат. Теперь предположим, что у вас есть еще один положительный заряд в состоянии суперпозиции. $$\psi^+ = \left(\delta(-x) + \delta(+x)\right)/\sqrt{2}.$$ Теперь через короткое время обе частицы немного разойдутся, но отрицательная частица будет находиться в суперпозиции движения влево и вправо, т.е. $$\psi^-\approx\left(\delta(-\Delta x) + \delta(+\Delta x)\right)/\sqrt{2}.$$ Конечно, положительный заряд также изменит положение (и распространится).

Если бы мы построили это, волновые функции могли бы выглядеть так, как показано на рисунке ниже.

Если вы попытаетесь измерить положение (одной или обеих частиц), вы получите коллапс волновой функции, и обе частицы окажутся либо справа, либо слева (с вероятностью 50% для каждого случая).