Сколько рентгеновских лучей излучает лампочка?

Формула, которую вы хотите, называется законом Планка . Копирую Википедию:

Спектральное сияние тела,$B_{\nu}$, описывает количество энергии, которое он испускает в виде излучения различных частот. Он измеряется с точки зрения мощности, излучаемой на единицу площади тела, на единицу телесного угла, над которым измеряется излучение, на единицу частоты.

$$B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm{B}T} - 1}$$

Теперь, чтобы вычислить общую мощность, излучаемую нашей лампочкой на единицу площади на телесный угол в рентгеновской части электромагнитного спектра, мы можем интегрировать это до бесконечности:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = \int_{\nu_{min}}^{\infty} \mathrm{B}_{\nu}d\nu,$$

куда$\nu_{min}$здесь мы (несколько произвольно) выбираем фотон с самой низкой частотой, который мы назвали бы рентгеновским фотоном. Предположим, что фотон с длиной волны 10 нм является нашим пределом. Допустим также, что лампочка мощностью 100 Вт имеет температуру поверхности 3700 К, температуру плавления вольфрама. Это очень щедрая верхняя граница — кажется, что типичное число может быть 2500 К.

Мы можем упростить это до:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = 2\frac{k^4T^4}{h^3c^2} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min}}^{\infty}x^3e^{-nx}dx,$$

куда$x = \frac{h\nu}{kT}$. wythagoras указывает, что мы можем выразить это в терминах неполной гамма-функции, чтобы получить

$$2\frac{k^4T^4}{h^3c^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} \Gamma(4, n\cdot x)$$

Подстановка некоторых чисел показывает, что член с n = 1 доминирует над другими членами, поэтому мы можем отбросить более высокие n членов, что приведет к

$$P \approx 10^{-154} \ \mathrm{Wm^{-2}}.$$

Это крошечный . Вы можете ожидать, что в течение жизни Вселенной нить накала в среднем не излучает рентгеновских фотонов.

Более точные обработки могут дать вам более точные числа (например, мы проигнорировали площадь поверхности нити и фактор телесного угла), но порядок величины очень показателен - нет никаких рентгеновских фотонов, испускаемых стандартным источником света. лампочка.

Длины волн излучаемого света можно рассчитать, используя закон Планка и температуру объекта. По данным Google, для средней лампы накаливания мощностью 100 Вт температура нити накала составляет 2823 Кельвина.

Спектральное сияние ,$B$, равно

$$\frac{1.2\cdot10^{52}}{\mathrm{wavelength}^{5}\cdot e^{\frac{1.99\cdot10^{43}}{\mathrm{wavelength}\cdot4\cdot10^{26}}}-1}$$

Математика для расчета спектральной яркости сложна, поэтому этот онлайн- калькулятор сделает всю работу. Рентгеновские лучи находятся между 0,01 нм и 10 нм. Суммарная яркость на 10 нм составляет$2.7\cdot10^{-187}$фотон/с/м2/ср/мкм. Это настолько невероятно мало, что этой лампочке потребуется очень много времени, чтобы испустить рентгеновский фотон. Калькулятор не даст спектральную яркость рентгеновских лучей с меньшей длиной волны, поэтому мы просто будем использовать самые большие рентгеновские лучи.

Чтобы выяснить, сколько фотонов испускается в секунду, вам нужно знать площадь поверхности нити. Это крошечное металлическое жало, которое будет трудно обнаружить, но если вы действительно хотите, расколите луковицу и измерьте ее длину и диаметр штангенциркулем. Оцените площадь поверхности, используя формулу площади поверхности цилиндра A=πdh. Забудьте о концах, они слишком малы, чтобы с ними возиться.

Если вы не хотите разбить лампочку, сделайте дикую догадку. 0,6 м в длину и$5\cdot10^{-4}$диаметр, щедрый. площадью 0,001 м ² . Так$2.7\cdot10^{-187}$фотонов/с/м^2/ср/мкм, то при заданной площади поверхности$2.7*10^{-190}$фотон/с/ср/мкм. Это 8,5 фотона каждый$10^{186}$годы. Может быть, если вы посмотрите на 100 000 000 000 000 лампочек, вы поймаете рентгеновский снимок при жизни.

Я дам закрытую форму интеграла в ответе Криса Канди.

Выполнение замены$u=nx$, мы получаем

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min} \cdot n}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{u}{n}\right)^3e^{-u}\mathrm{d}u$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \Gamma(4,x_{min}\cdot n)$$

куда$\Gamma$— верхняя полная гамма-функция. Мы пишем$a=x_{min}$так как оно будет часто использоваться, короткое имя более полезно. Используя формулу приведения для гамма-функции, когда первый аргумент является целым числом, получаем:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^4}e^{-an}\left(6+6an+3a^2n^2+a^3n^3\right)\right)$$

$$6\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}e^{-an} + 6a\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}e^{-an}+ 3a^2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{-an}+a^3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an}$$

Теперь обратите внимание, что

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left[\frac{1}{n}e^{-an}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}-e^{-an}=-\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-a})^n=1-\frac{1}{1-e^{-a}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-an} = \int 1-\frac{1}{1-e^{-a}} \mathrm{d}a = -\ln|1-e^{-a}|$$

Аналогичным образом получим остальные члены. Окончательный результат:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{\infty} x^3e^{-nx}dx = -6\mathrm{Li}_4(e^a)+6a\mathrm{Li}_3(e^a)+6a^2 \mathrm{Li}_2(1-e^{-a})-9a^2\mathrm{Li}_2(e^a)\\+2a^3\ln|1-e^{-a}|-9a^3\ln|1-e^{a}|+5\frac{3}4 a^4$$

Я использовал систему компьютерной алгебры, чтобы найти эту форму.$\mathrm{Li}_n$является полилогарифмической функцией.