Уменьшает ли жонглирование мячами общий вес жонглера и мячей?

Question

Уменьшает ли жонглирование мячами общий вес жонглера и мячей?

адампорт

Друг предложил мне головоломку, решение которой включает в себя $195$ фунт человек жонглирует двумя $3$ -фунтовые шары, чтобы пересечь мост, максимальная вместимость которого составляет всего $200$ фунты. Он объяснил, что, поскольку мужчина держит только одну $3$ фунтов за один раз, максимальный суммарный вес в любой момент составляет всего $195 + 3=198$ фунтов, и мост выдержит.

Я поправил его, объяснив, что акты подбрасывания и ловли мяча временно делают вас «тяжелее» (мяч оказывает на меня и мною на мостик дополнительную силу из-за изменения импульса при подбрасывании или ловле мяча). мяч), но признал, что мягкие подбрасывания/ловли (с меньшим ускорением) могут привести к ситуации, в которой сила на мосту никогда не достигает совокупного веса человека и обоих мячей.

Выдержит ли мост человека и его яйца?

Стив Муччи

Вы должны учитывать силу броска мяча вверх.

Ответы (8)

Уменьшает ли жонглирование мячами общий вес жонглера и мячей?

Вы должны учитывать силу броска мяча вверх.

Джон Ренни · Answer 1

Предположим, вы подбрасываете мяч вверх с некоторой скоростью. $v$ . Тогда время, которое он проводит в воздухе, просто:

т_{воздуха} знак равно 2 \frac{в}{грамм}

$t_{\text{air}} = 2 \frac{v}{g}$

куда $g$ есть ускорение свободного падения. Когда вы ловите мяч, он некоторое время остается в вашей руке. $t_{\text{hand}}$ и в течение этого времени вы должны приложить к нему достаточное ускорение, чтобы замедлить мяч с его скорости спуска $v$ вниз и подбрасывать вверх со скоростью $v$ вверх:

т_{рука} знак равно 2 \frac{в}{а - грамм}

$t_{\text{hand}} = 2 \frac{v}{a - g}$

Обратите внимание, что я записал ускорение как $a - g$ потому что вы должны применить по крайней мере ускорение $g$ чтобы остановить ускорение мяча вниз. Ускорение $a$ вы должны подать заявку $g$ плюс дополнительное ускорение для ускорения мяча вверх.

Вы хотите, чтобы время в руке было как можно дольше, чтобы вы могли использовать как можно меньше ускорения. Однако $t_{\text{hand}}$ не может быть больше, чем $t_{\text{air}}$ в противном случае было бы какое-то время, в течение которого вы удерживали бы оба шара. Если вы хотите убедиться, что держите только один мяч за раз, лучшее, что вы можете сделать, это сделать $t_{\text{hand}}$ знак равно $t_{\text{air}}$ . Если подставить выражения для $t_{\text{hand}}$ а также $t_{\text{air}}$ сверху и приравняв их, получим:

2 \frac{в}{грамм} знак равно 2 \frac{в}{а - грамм}

$2 \frac{v}{g} = 2 \frac{v}{a - g}$

что упрощает до:

а знак равно 2 грамм

$a = 2g$

Таким образом, пока вы держите один 3-килограммовый мяч, вы прикладываете ускорение $2g$ к нему, и поэтому сила, которую вы прикладываете к мячу, равна $2 \times 3 = 6$ кг.

Другими словами, сила на мосту, когда вы жонглируете двумя мячами (с минимально возможной силой), точно такая же, как если бы вы просто шли по мосту с двумя мячами, и вы, вероятно, промокнете!

Я единственный человек, который заметил, что вы конвертировали фунты ОП в кг, используя соотношение 1: 1? Вы предполагали, что g~=22 м/с/с?
Я не хотел указывать силу в ньютонах, потому что подозревал, что это может сбить с толку ОП. По той же причине я также не хотел вводить единицы измерения в кгс. Я использовал кг в качестве единицы, потому что за исключением нас, фанатов физики, ваша обычная публика не делает различий между массой и весом/силой.
Подумав об этом, я не покупаюсь $t_{\text{hand}}$ знак равно $t_{\text{air}}$ вещь. Если бы я запускал шары на милю в воздух из пушки, ускорение было бы намного больше, но время в воздухе все равно могло бы равняться времени в пушке...
@adamdport: когда вы стреляете из пушки, сила на мосту будет намного выше, чем вес шара. Наименьшее ускорение, а значит, и наименьшая сила на мосту, достигается за счет равномерного ускорения мяча как можно дольше, т. е. вы распределяете ускорение.
Оглядываясь назад, можно сказать, что если бы вес был оставлен в фунтах, как сказал ОП, не было бы никакой путаницы в использовании его в качестве единицы силы и массы одновременно. Кроме того, я бы не стал задаваться вопросом, как жонглирует 195-килограммовый мужчина.
Я не понимаю, почему сила бросаемых мячей учитывается, а сила, которую человек прикладывает во время ходьбы / бега, - нет. Например, если бы человек прыгнул высоко, он наверняка приложил бы к мосту более 200 фунтов силы. Кажется, что мы определяем статические и динамические нагрузки как одно и то же.
@blankip Верно, но силу ходьбы человека можно сделать сколь угодно малой, например, представив, что мост обледенел, и он скользит по нему, не двигая ногами.
Я полагаю, что если $v$ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО большой и высота шара сравнима с радиусом Земли, то нужно учитывать тот факт, что гравитация становится слабее, чем $g$ на больших высотах, и тогда вы могли бы предотвратить обрушение моста, поддерживая центр масс системы жонглер+шары достаточно высоко, чтобы ее вес был меньше $mg$ .

Алан Роминджер · Answer 2

Я люблю этот класс задач как фантастический физический пример теоремы о среднем значении . Позвольте мне описать конкретный случай, который соответствует следующим условиям:

Суммарный вес человека плюс шары $m$
Вся система (человек + мячи) начинается в состоянии покоя и заканчивается в состоянии покоя.

Исходя из этих относительно простых предположений, я утверждаю, что средняя нормальная сила (сила, с которой земля действует вверх) равна весу системы. Другими словами, за определенный период времени продолжительностью $T$ у нас есть это:

м грамм знак равно \frac{1}{Т} \int_{0}^{Т} \vec{Ф} (т) \cdot \vec{н} г т

$m g = \frac{1}{T} \int_0^T \vec{F}(t) \cdot \vec{n} dt$

На самом деле это впечатляющее утверждение. Для упрощения записи считаем, что $\vec{F}(t) \cdot \vec{n}$ просто равно весу, который будут показывать весы (это неплохое предположение, в зависимости от весов). Представьте, что человек жонглирует, стоя на весах, и весы показывают значение, которое зависит от времени, $w(t)$ . Среднее значение, которое покажут весы, будет равно произведению силы тяжести на его массу, включая все, что он держит или носит.

В истории о человеке, идущем по мосту и жонглирующем шарами, общий вес равен $201 lb$ . За каждую секунду он весит $200 lb$ , он тратит одну секунду на взвешивание $202 lb$ или что-то подобное. Дело в том, что среднее значение одинаково .

Я только что понял - скалярное произведение с вектором нормали на самом деле не нужно, если вы пишете $g$ как вектор тоже.
«Вся система (человек + мячи) начинается в состоянии покоя и заканчивается в состоянии покоя» — это допущение жизненно важно для этого решения, иначе должна быть возможность уменьшить вес на мосту, либо ловя его, либо бросая с моста.
Первоначально я, хотя, мы должны были также предположить, что человек не оказывается с шарами в более низком положении или понижает его центр тяжести согласно комментарию Бобби . Только что понял, что в этом предположении нет необходимости, если мы предполагаем, что система заканчивается в покое.
Но если вам разрешено делать первый бросок и ловить последний с любого конца моста, не лучше ли вам эффектно бросить один из мячей, а затем перепрыгнуть через другой?
@EmilioPisanty Правильно, в любом случае это нарушает предположение о начале и завершении в состоянии покоя. Средний вес может быть меньше, если шары движутся вверх при входе в мост или вниз при выходе. Это относится к случаям, когда вы ловите их посередине или нет. Есть еще один ответ, в котором по этому поводу ведется серьезное обсуждение, хотя я не думаю, что он еще математически решен.

Рекс Керр · Answer 3

Положите один мяч. Пройдите через другую. Вернитесь, возьмите второй мяч.

Или прокатите два мяча поперек, а затем бегите за ними.

Или жонглер снимает туфли и ходит босиком.

Это решается как проблема «нелинейного мышления», а не как «жонглирование — это антигравитация». Систему шарового человека необходимо ускорять вниз со средним усилием в 1 фунт, иначе мост сломается. В противном случае вы могли бы построить вечный двигатель из двух жонглеров на качелях, которые жонглируют по очереди.

(Кроме того, бег похож на жонглирование в том смысле, что вес большую часть времени находится в воздухе — если бы это сработало, вы могли бы просто держать мяч и бежать.)

+1 хороший момент о жонглерах на качелях, делающих вечный двигатель.
Первоначальная загадка на самом деле гласила, что вы должны были сделать это за один проход (без повторной поездки), 3-фунтовый сотовый телефон и его 3-фунтовая батарея (без катания), и что вы были голым (без раздевания).
@adamdport - Тогда лучше начни думать о том, чтобы сделать веревку из своих волос. Или... ты в последнее время ходил в ванную?
Мои якобы «неправильные» ответы были такими: «уберите с моста 1-фунтовую доску перед переходом», «бегите, наклонившись вперед, чтобы ваше тело действовало как аэродинамический профиль» и «ждите прилива и используйте лунное гравитационное влияние» ^_^

Qмеханик · Answer 4

Представим для простоты, что жонглер в какой-то момент повторяется, т. е. что жонглер и шары (массами $M$ а также $2m$ , соответственно) находятся в одном и том же кинематическом состоянии время от времени $t_1$ а также $t_2$ .

Рассмотрим человека + 2 шара как систему, а мост и т. д. как среду.

Позволять $p(t)$ быть (вертикальная составляющая) полного импульса системы.

Второй закон Ньютона, примененный к системе, дает:

\begin{matrix} (1) & \dot{п} (т) знак равно Ф_{н} (т) - Ф_{грамм}, \end{matrix}

$\tag{1} \dot{p}(t) ~=~ F_n(t) - F_g,$

куда

\begin{matrix} (2) & Ф_{грамм} знак равно (М + 2 м) грамм, \end{matrix}

$\tag{2} F_g~=~(M+2m)g,$

и где $F_n(t)$ - нормальная сила от моста, которая может меняться во времени $t$ как жонглер делает свою рутину. $^1$

Из-за нашего упрощающего предположения о повторяющихся состояниях мы имеем

\begin{matrix} (3) & 0 знак равно п (т_{2}) - п (т_{1}) знак равно \int_{т_{1}}^{т_{2}} Ф_{н} (т) г т - (т_{2} - т_{1}) Ф_{грамм}, \end{matrix}

$\tag{3} 0~=~p(t_2)-p(t_1)~=~ \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt - (t_2-t_1)F_g,$

или же

\begin{matrix} (4) & Ф_{грамм} знак равно \frac{1}{т_{2} - т_{1}} \int_{т_{1}}^{т_{2}} Ф_{н} (т) г т знак равно ⟨ Ф_{н} ⟩ . \end{matrix}

$\tag{4} F_g ~=~ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~=~\langle F_n \rangle.$

Но если в среднем $\langle F_n \rangle$ является $F_g$ , то явно хотя бы один экземпляр $t_3\in [t_1,t_2]$ , нужно иметь $^2$

\begin{matrix} (5) & Ф_{н} (т_{3}) \geq Ф_{грамм} . \end{matrix}

$\tag{5} F_n(t_3)\geq F_g.$

Другими словами, мост рушится.

$^1$ Жонглеру разрешается делать любое движение, которое, по его мнению, принесет пользу его делу. Хочет ли он прыгнуть обеими ногами, отрываясь от моста, или опустить свой центр масс, или упасть вниз, зависит от него. Кажется физически разумным предположить, что нормальная сила $F_n(t)$ является кусочно-непрерывной функцией времени $t\in [t_1,t_2]$ , только с конечным числом точек разрыва. В этом случае интеграл $\int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt$ можно определить с помощью интеграла Римана без привлечения технически более сложного интеграла Лебега . (Заметим также, что теорема о среднем значении неприменима к разрывным функциям, и с математической пуристской точки зрения теорема о среднем значении не нужна, т. е. решающее неравенство (5) может быть установлено с еще более важными соображениями. элементарно.)

$^2$ Косвенное доказательство уравнения (5): предположим

\begin{matrix} (6) & \forall т е [т_{1}, т_{2}] : Ф_{н} (т) < Ф_{грамм} . \end{matrix}

$\tag{6} \forall t\in [t_1,t_2]:~ F_n(t)~<~ F_g.$

затем

\begin{matrix} (7) & \int_{т_{1}}^{т_{2}} Ф_{н} (т) г т < (т_{2} - т_{1}) Ф_{грамм}, \end{matrix}

$\tag{7} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~<~ (t_2-t_1)F_g,$

если предположить кусочную непрерывность $t\mapsto F_n(t)$ . Но уравнение (7) несовместимо с уравнением (3). КЭД.

... если период не больше, чем время, необходимое ему, чтобы пересечь мост, то есть он мог бы подбросить мячи в воздух, пересечь мост, а затем поймать их на другой стороне ;)
Меня интересует только идеализированная версия головоломки (v1), которая имеет дело с тем, может ли человек остаться на мосту, жонглируя, а не с тем, сможет ли он перейти мост .

Бобби Беннетт · Answer 5

Это зависит от длины его рук!! (и какова длина моста) Если он начинает с первой позиции, с высоко поднятыми руками и передает -0,17G своим яйцам при переходе, он сделает это. Упс. Я неправильно посчитал в своем комментарии.

Кроме того, он может проделывать фокус жонглера и !постепенно понижать свой центр тяжести! когда он идет по мосту. Жонглирование необязательно, это отвлечение от того, что они на самом деле делают. Ему нужно только разогнаться до G*(1/201), чтобы мост выдержал не 201 фунт (195+6), а 200 фунтов. Если он сможет присесть на 2 фута, у меня будет 5 секунд, чтобы пересечь мост.

1/2 ( 0.16 ft / s^2 ) t^2 = 2 ft

t = sqrt[ 4ft/(0.16ft) sec^2 ]

+1, если вы можете понять, какой длины должны быть его руки, хахаха
1/2 A t^2 = падение (он переходит с рук вверх на руки вниз, так что l=0,25At^2), но мы не знаем, как быстро жонглер ходит. A составляет 32 фута/сек^2 * (1-1/6), примерно 27 футов/сек^2. В одну секунду ему нужны 7-футовые руки.

Кейсбаш · Answer 6

Он считает разумным предположить: «Вся система (человек + мячи) начинается в покое и заканчивается в покое». Тогда мы можем полностью избежать интегралов и работы со временем. На данный момент давайте просто рассмотрим скорости мячей и представим, что его руки имеют неограниченную длину. Мы можем обеспечить только 5 фунтов силы в секунду => ускорение 5/3 g, хотя его можно разделить между двумя шарами. Шары испытывают нисходящее ускорение gкаждого или в 2gцелом. Следовательно, общее ускорение вниз (возможно, разделенное между двумя шарами) равно g/3, и мы не можем в конечном итоге, чтобы они оба находились в состоянии покоя. Единственный способ, которым мы могли бы в конечном итоге с ними обоими в покое, это если бы нам разрешили 6 фунтов веса вместо 5 фунтов (т.е. то же самое, что нести)

Томас · Answer 7

Я думаю, что это возможно, если человек сначала подбросит один из мячей в воздух, прежде чем ступить на мост. В этом случае человек мог бы сначала приложить силу 4 фунта вверх к одному шару, а затем ступить на мост. В этот момент мост будет выдерживать 198 фунтов. Затем человек может ускорить другой мяч вверх с силой 4 фунта, прежде чем другой мяч приземлится. Это означало бы, что в этот момент мост будет выдерживать 199 фунтов. Когда оба шара находятся в воздухе, мост будет удерживать 195 фунтов. Тогда первый мяч приземлился бы в руке человека, и ему нужно было бы приложить силу в 4 фунта, чтобы замедлить его до состояния покоя. Во время торможения мост будет удерживать 199 фунтов. После замедления мост будет выдерживать 198 фунтов.

Это также может быть возможно сделать, если шары имеют большой объем и вы считаете сопротивление воздуха, и в этом случае воздух поможет замедлить шары при их падении, но человеку все равно придется бросить один из шаров в воздух, прежде чем он ступил на мостик.

Нет, он не может, если только он не бросит мяч через мост, см. ответ Алана С.Э. Пока нет минусов, но, пожалуйста, удалите это.
Ответ AlanSE предполагает, что вся система запускается в состоянии покоя, что не является предположением, сделанным в моем ответе.
Это не имеет значения, если среднее движение не параболическое, законы сохранения гарантируют, что средняя сила поддерживает вес. Это достигается путем рисования большой сферы вокруг человека и шаров, и независимо от того, что происходит в сфере, чистый поток импульса через мост должен уравновешивать гравитацию.
@RonMaimon Восходящая сила вашего контрольного объема не будет уравновешивать гравитацию начальным и / или конечным восходящим / нисходящим импульсом. Если мяч подбрасывается прямо перед входом на мостик, система «человек-мяч» имеет восходящий импульс.
@RonMaimon Я до сих пор не понимаю, почему это не сработает. Единственная проблема, о которой я могу думать, это, возможно, что мяч не провел бы в воздухе достаточно времени, чтобы жонглер закончил ускорение другого мяча вверх.
Если он перебрасывает мяч через мост, это срабатывает. Ok. И он - должен - придать шарам некоторое ускорение вперед (потому что он идет по мосту с шарами), которым, по-видимому, пренебрегают. Так что справедливо считать, что его инерция началась. Итак, если этого импульса достаточно, чтобы доставить один мяч, у него есть лишние 2 фунта! Как далеко от всего пути он может бросить № 1 и все же успеть?
@ThomasRyabin: Потому что мяч создает больше силы, чем его вес, когда он его ловит, а средняя сила вверх, если есть ловля и бросок, всегда равна весу мячей за счет сохранения импульса ..
@AlanSE: это неправда, только если импульс постоянно уменьшается. В стационарном состоянии поток импульса постоянен.
@RonMaimon Да, импульс будет уменьшаться. Если мяч начинает движение с восходящим импульсом в тот момент, когда он входит на мостик, средняя скорость изменения вертикального импульса с течением времени будет отрицательной. Предложение состоит в том, чтобы сделать это нестационарной задачей.
@AlanSE: Хорошо, понятно. Тогда вы могли бы это сделать, но центр масс трех шаров должен был бы эффективно падать с ускорением 1/3 от силы тяжести на всем протяжении моста.

Очаровательная вишня · Answer 8

Объективно решаю.

Поскольку система жонглер-мяч тянет вниз под действием силы в 201 фунт. Должно быть по крайней мере 201 «фунт силы», действующей вверх. В противном случае центр масс системы ускорился бы вниз.

Бросок мяча не создаст никакой чистой силы в системе. И единственное, что я вижу, что может создать заметную силу вверх по системе, это мост.

Итак ... я говорю, что нет, если бы не творческие способы, подобные тем, которые упомянуты в другом ответе.

Уменьшает ли жонглирование мячами общий вес жонглера и мячей?

адампорт

Стив Муччи

Ответы (8)

Джон Ренни

Дэн играет при свете огня

Джон Ренни

адампорт

Джон Ренни

крс013

бланк

тпаркер

тпаркер

Алан Роминджер

Алан Роминджер

Кейсбаш

Кейсбаш

Эмилио Писанти

Алан Роминджер

Рекс Керр

Джон Ренни

адампорт

Рекс Керр

адампорт

Qмеханик

ДядяЗейв

Qмеханик

Бобби Беннетт

адампорт

Бобби Беннетт

Кейсбаш

Томас

Рон Маймон

Томас

Рон Маймон

Алан Роминджер

Томас

Бобби Беннетт

Рон Маймон

Рон Маймон

Алан Роминджер

Рон Маймон

Очаровательная вишня