Уравнения Максвелла переопределяют электрические и магнитные поля?

Это не проблема, потому что два из восьми уравнений являются ограничениями, и они не вполне независимы от остальных шести.

Уравнения связи являются скалярными,

$${\rm div}\,\,\vec D = \rho, \qquad {\rm div}\,\,\vec B = 0$$ Представить $\vec D=\epsilon_0\vec E$а также $\vec B=\mu_0\vec H$везде ради простоты.

Если эти уравнения удовлетворяются в начальном состоянии, они немедленно будут выполняться во все моменты времени. Это связано с тем, что производные по времени от этих нединамических уравнений («нединамические» означают, что они не предназначены для определения производных по времени от самих полей; на самом деле они не содержат никаких производных по времени) могут быть вычислены из оставшихся 6 уравнений. . Просто подайте заявку${\rm div}$на остальные 6 компонентных уравнений,

$${\rm curl}\,\, \vec E+ \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0, \qquad {\rm curl}\,\, \vec H- \frac{\partial\vec D}{\partial t} = \vec j.$$ Когда вы подаете заявку ${\rm div}$, члены завихрения исчезают, потому что ${\rm div}\,\,{\rm curl} \,\,\vec V\equiv 0$это личность, и вы получаете $$\frac{\partial({\rm div}\,\,\vec B)}{\partial t} =0,\qquad \frac{\partial({\rm div}\,\,\vec D)}{\partial t} =-{\rm div}\,\,\vec j.$$ Из первого уравнения следует, что ${\rm div}\,\,\vec B$остается нулем, если он был равен нулю в начальном состоянии. Второе уравнение можно переписать, используя уравнение неразрывности для $\vec j$, $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\rm div}\,\,\vec j = 0$$ (т.е. мы предполагаем, что это верно для источников), чтобы получить $$\frac{\partial ({\rm div}\,\,\vec D-\rho)}{\partial t} = 0$$ так ${\rm div}\,\,\vec D-\rho$также всегда остается нулем, если он равен нулю в начальном состоянии.

Замечу, что среди уравнений Максвелла, состоящих из 6+2 компонентов, 4 из них, включающие$\vec E,\vec B$, можно решить, написав$\vec E,\vec B$по четырем компонентам$\Phi,\vec A$. На этом языке у нас остаются только оставшиеся 4 уравнения Максвелла. Однако только 3 из них действительно независимы в каждый момент времени, как показано выше. Это также нормально, потому что четыре компонента$\Phi,\vec A$не вполне определены: один из этих компонентов (или одна функция) может быть изменен 1-параметром$U(1)$калибровочная инвариантность.

I) Давайте просто для удовольствия обобщим вопрос ОП на$n$измерения пространства-времени и проверьте, как подсчет ур. и степени свободы (dof) работают в этой общей настройке. Мы будем использовать ответ Любоша Мотла в качестве шаблона для этой части. Также воспользуемся специальной релятивистской$(-,+,\ldots,+)$обозначение с$c=1$, куда$\mu,\nu\in\{0,\ldots,n-1\}$обозначают индексы пространства-времени, а$i,j \in\{1,\ldots,n-1\}$обозначают пространственные индексы. уравнения Максвелла. являются следующие.

1. Тождества Бьянки без исходников:

   $${\rm d}F~=~0 \qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \sum_{\rm cycl.~\mu,\nu,\lambda} d_{\lambda} F_{\mu\nu} ~=~0, \qquad\qquad F~:=~\frac{1}{2} F_{\mu\nu}~ {\rm d}x^{\mu} \wedge {\rm d}x^{\nu}.$$ Здесь $$\left(\begin{array}{c} n \cr 3\end{array}\right) {\rm~Bianchi~identities} ~=~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 3\end{array}\right) {\rm~constraints}~+~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~ ({\rm No~magnetic~monopole~eqs.})~+~ ({\rm Faraday's~law}).$$

2. уравнения Максвелла. с исходными терминами:

   $$d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~-j^{\nu} .$$ Здесь $$n {\rm~source~eqs.}~=~1 {\rm~constraint} ~+~ (n-1) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~({\rm Gauss'~law}) ~+~ ({\rm Ampere's~law~with~displacement~term}).$$

Мы использовали терминологию, согласно которой динамическое уравнение. содержит производные по времени, а ограничение — нет. Таким образом, количество динамических ур. является

$$\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right)~+~(n-1)~=~ \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right),$$

что точно соответствует

$${\rm the~number~} \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right) {\rm~of~} F_{\mu\nu} {\rm~fields}$$ $$~=~\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right){~\rm magnetic~fields~} F_{ij} ~+~(n-1) {\rm~electric~fields~}F_{i0} .$$

уравнения Максвелла. с исходными условиями подразумевают уравнение непрерывности.

$$d_{\nu}j^{\nu} ~=~-d_{\nu}d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~0,\qquad\qquad F^{\mu\nu}~=~-F^{\nu\mu},$$

поэтому нужно требовать, чтобы фоновые источники$j^{\nu}$подчиняются уравнению непрерывности.

Для согласованности производная по времени каждого из ограничений должна обращаться в нуль. В случае уравнений отсутствия магнитного монополя это следует из закона Фарадея. В случае закона Гаусса это следует из модифицированного закона Ампера и уравнения непрерывности.

II) Предыдущий раздел (I) сделал подсчет с точки зрения$\left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right)$напряженность поля$F_{\mu\nu}$. С точки зрения$n$калибровочные потенциалы$A_{\mu}$, расчет идет следующим образом. Тождества Бьянки теперь тривиально удовлетворены,

$$F~=~{\rm d}A\qquad\qquad A~:=~A_{\mu}~ {\rm d}x^{\mu}.$$

Есть еще$n$уравнения Максвелла. с исходными терминами

$$(\Box\delta^{\mu}_{\nu}-d^{\mu}d_{\nu})A^{\nu}~=~-j^{\mu} , \qquad\qquad \Box~:=~d_{\mu}d^{\mu}.$$

Существует единственная калибровочная глубина свободы из-за калибровочной симметрии$A \to A + {\rm d}\Lambda$а также$F \to F$. Если одна калибровочная фиксация с использованием условия калибровки Лоренца

$$d_{\mu}A^{\mu}~=~0,$$

уравнения Максвелла. стали$n$несвязанные волновые уравнения

$$\Box A^{\mu}(x)~=~-j^{\mu}(x).$$

С помощью пространственного преобразования Фурье они становятся несвязанными линейными ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами,

$$(d^2_t+\vec{k}^2) \hat{A}^{\mu}(t;\vec{k})~=~\hat{j}^{\mu}(t;\vec{k}) ,$$

который, начиная с некоторого начального момента$t_0$, может быть решена на все времена$t$, ср. Вопрос ОП. [Следует проверить, что решение

$$\hat{A}^{\mu}(t;\vec{k}) ~=~\int {\rm d} t^{\prime} ~G(t-t^{\prime};\vec{k})~\hat{j}^{\mu}(t^{\prime};\vec{k}), \qquad\qquad (d^2_t+\vec{k}^2)G(t-t^{\prime};\vec{k})~=~\delta(t-t^{\prime}),$$

удовлетворяет условию калибровки Лоренца. Это следует из уравнения непрерывности]

III) Интересно получить полное решение$\tilde{A}^{\mu}(k)$в$k^{\nu}$-импульсное пространство без калибровочной фиксации. Преобразованные Фурье уравнения Максвелла. читать

$$M^{\mu}{}_{\nu}~\tilde{A}^{\nu}(k)~=~\tilde{j}^{\mu}(k), \qquad\qquad M^{\mu}{}_{\nu}~:=~k^2\delta^{\mu}_{\nu} -k^{\mu}k_{\nu}.$$

Для продолжения необходимо проанализировать матрицу$M^{\mu}{}_{\nu}$для фиксированного$k^{\lambda}$. Есть три случая.

1. Постоянный режим $k^{\mu}=0$. Тогда матрица$M^{\mu}{}_{\nu}=0$тождественно исчезает. уравнения Максвелла. могут быть удовлетворены только в том случае, если$\tilde{j}^{\mu}(k=0)=0$равен нулю. Калибровочный потенциал$\tilde{A}_{\mu}(k=0)$никак не ограничивается уравнениями Максвелла, т. е. существует полный$n$-параметрическое решение.

2. Массивный корпус $k^2\neq 0$. Матрица$M^{\mu}{}_{\nu}$диагонализируется с собственным значением$k^2$(с кратностью$n-1$), и собственное значение$0$(с кратностью$1$). Последняя соответствует чисто калибровочной моде$\tilde{A}^{\mu}~\propto~k^{\mu}$. Полное решение представляет собой$1$-параметрическое решение вида

   $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~\frac{\tilde{j}^{\mu}(k)}{k^2}~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k).$$ Помимо исходного термина, это чистая калибровка.

3. Безмассовый случай $k^2=0$ а также $k^{\mu}\neq 0$. Матрица$M^{\mu}{}_{\nu}$не диагонализируется . Существует только собственное значение$0$(с кратностью$n-1$). уравнения Максвелла. могут быть удовлетворены только в том случае, если источник$\tilde{j}^{\mu}(k)=\tilde{f}(k)k^{\mu}$пропорциональна$k^{\mu}$с некоторым коэффициентом пропорциональности$\tilde{f}(k)$. В этом случае уравнения Максвелла. стали

   $$-k_{\mu}\tilde{A}^{\mu}(k)~=~\tilde{f}(k).$$ Давайте представим$\eta$-двойной вектор$^1$ $$k^{\mu}_{\eta}~:=~(-k^0,\vec{k})\qquad {\rm for}\qquad k^{\mu}~=~(k^0,\vec{k}).$$ Обратите внимание, что $$k_{\mu}~k^{\mu}_{\eta}~=~(k^0)^2+\vec{k}^2$$ это просто квадрат евклидова расстояния в$k^{\mu}$-импульсное пространство. Полное решение представляет собой$(n-1)$-параметрическое решение вида $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~-\frac{k^{\mu}_{\eta}}{k_{\nu}~k^{\nu}_{\eta}}\tilde{f}(k) ~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k)~+~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k).$$ Срок, пропорциональный$k_{\mu}$является чистой калибровкой. Здесь$\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)$обозначать$n-2$поперечные моды, $$k_{\mu}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0, \qquad\qquad k_{\mu}^{\eta}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0.$$ The $n-2$поперечные моды$\tilde{A}^{\mu}_{T}$являются единственными распространяющимися физическими ДОФ (электромагнитные волны, фотонное поле).

--

$^1$Продольная и времениподобная поляризации в безмассовом случае пропорциональны$k^{\mu}\pm k^{\mu}_{\eta}$, соответственно.

Уравнения пишутся для любого времени$t$и нет необходимости «доказывать» их достоверность в любое время. Эти уравнения являются экспериментальными законами и, конечно, непротиворечивы в любое время. Ограничения здесь накладываются не на поля, а на электрические и магнитные заряды. Заряды не имеют источников/стоков, поэтому производные уравнения типа$\partial\rho/\partial t + \rm div \vec{j}=0$говорят именно об этом и называются законами сохранения заряда. (Это экспериментальный факт.) Законы сохранения заряда не определяют динамику заряда; для последнего существуют «механические» уравнения. В случае одного элементарного заряда$q$, его сохранение означает независимость от времени:$\frac{dq}{dt}=0$которое обычно не записывают в виде дополнительного уравнения, а используют как его решение$q=const$в «механических» уравнениях.

Итак, у вас есть шесть уравнений для полей и два закона сохранения для зарядов.

Это легко увидеть, если вы используете уравнения Максвелла, чтобы получить несвязанные неоднородные волновые уравнения для полей,

$$\begin{split}\Box \vec{E} &= - \mu_0 \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} - \vec{\nabla} \frac{\rho}{\varepsilon_0},\\ \Box \vec{B} &= \mu_0\vec{\nabla}\times \vec{J}, \end{split}$$ с $\Box \equiv \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$Даламбертиан. Этот вывод требует использования всех уравнений Максвелла, и решение существует и определяется однозначно, если мы используем соответствующие граничные условия, поэтому уравнения Максвелла не являются независимыми.

Подсказкой для их зависимости друг от друга служит теорема Гельмгольца при условии, что источники локализованы. Согласно теореме, поле определяется однозначно, если известны и его дивергенция, и его ротор, т. е. теорема определяет 3 функции из 4 зависимых уравнений.

Уравнения Максвелла не переопределяют электрические и магнитные поля. Это станет яснее, если мы перепишем четыре уравнения Максвелла в одно, используя геометрическую алгебру:

$$(c^{-1}\partial_t + \vec\nabla)(\vec E + i\zeta\vec H) = \zeta(\rho c +\vec j)$$ , где векторные произведения следуют тождеству Паули $\vec a\vec b = \vec a\cdot\vec b + i\vec a\times \vec b$. В принципе, мы можем обратить уравнение Максвелла, чтобы найти электромагнитное поле. $\vec E + i\zeta\vec H$, применяя граничные условия.

Уравнения Максвелла действительно избыточны, если работать с нормальными переменными, избыточность устраняется. Очень четкое обсуждение находится в:

Фотоны и атомы: введение в квантовую электродинамику Клод Коэн-Таннуджи, Жак Дюпон-Рок, Гилберт Гринберг

Вот похожий вопрос, который я всегда задаю студентам. В свободном пространстве вы можете преобразовать уравнение Максвелла в 2 векторных уравнения Гельмгольца, одно для E и одно для B. Так почему же они разделены? Казалось бы, мы можем вычислить Е и В по отдельности. Подсказка заключается в том, что в свободном пространстве, чтобы вообще иметь ненулевые поля, вы должны указать некоторые граничные условия. А граничные условия должны соответствовать уравнениям Максвелла. Так что поперечный, связанный характер полей исходит от ВС и распространяется в свободное пространство.

Между прочим, для конечных пучков поля E и B не обязательно должны быть поперечными друг другу (т. е. есть продольные поля). Это делает работу с конечными лучами намного сложнее, чем работу с нефизическими плоскими волнами.