Аффинная связь в общей теории относительности

В лекции по ОТО мой учитель вывел связь между аффинной связностью и метрическим тензором следующим образом: Сначала он записал связь двух тензоров так (я понимаю):

$$A^{\mu }{}_{[P\to Q]}=A^{\mu }{}_{[P]}-\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}dx^{\sigma } \tag{1}$$

Потом он написал (я понимаю):

$$g_{\mu \nu (Q)}=dx^{\sigma } g_{\mu \nu ,\sigma (P)}+g_{\mu \nu (P)}\tag{2}$$

Если вектор должен иметь одинаковую длину после транспортировки, мы имеем:

$$g_{\mu \nu (Q)}A^{\mu }{}_{[P\to Q]}A^{\nu }{}_{[P\to Q]}=g_{\mu \nu (P)}A^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}\tag{3}$$

Приведенные выше три уравнения дают результат, связывающий аффинную связь с метрическим тензором:

$$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0\tag{4}$$

Он использовал два условия:

1. $\Gamma$симметричен

2. длина должна быть одинаковой.

Мои вопросы:

1. На самом деле вывод $$A^{\mu }{}_{[P\to Q]}=A^{\mu }{}_{[P]}-\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}dx^{\sigma } \tag{5}$$ может одновременно дать $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\tau }}{\partial x^{'\mu }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{'\nu }}\Gamma _{\tau \sigma }^{\rho }+\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }}.\tag{6}$$ Так как мы всегда можем выбрать такую ​​координату, что $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }},\tag{7}$$ мы видим, что$\Gamma$уже симметрично (поскольку мы можем поменять местами индексы), поэтому нам не нужно добавлять это условие. Верно ли мое утверждение здесь?

2. Я прочитал из «Гравитации и космологии» Вайнберга на стр. 7 (3.2.4), что он вывел
   

   $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }}\tag{8}$$ просто из геодезических, тогда как для геодезических длина векторов не обязательно должна быть одинаковой. Потом Вайнберг все-таки вывел $$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0 \tag{9}$$ без использования второго условия. Но мой учитель использовал его. Так что не так с условиями?

3. Чтобы лучше объяснить мою последнюю путаницу:

Я просто хочу знать разницу между аффинными связями, определенными моим учителем и Вайнбергом. Кажется, что оба имеют одинаковое выражение. Но моему учителю, похоже, требовалось еще одно условие «такой же длины», в то время как условию Вайнберга этого не требовалось, чтобы получить окончательный результат

$$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0.\tag{10}$$ Какие свойства могут быть $\Gamma$данные моим учителем имеют (параллельность? одинаковая длина?), и какие свойства у Вайнберга (параллельность? одинаковая длина?)？