Будет ли знание только константы скорости и симметрии пространства-времени в общей теории относительности достаточным для вывода общей теории относительности?

Question

Будет ли знание только константы скорости и симметрии пространства-времени в общей теории относительности достаточным для вывода общей теории относительности?

Андерс Густафсон

Я читал ранее, что Общая теория относительности может быть получена из симметрий, но я не знаю, означает ли это, что только симметрии могут вывести общую теорию относительности, или это означает, что симметрии в сочетании с дополнительной информацией могут быть использованы для получения общей теории относительности.

Для сравнения, если бы кто-то сказал, что специальная теория относительности может быть получена из симметрий, это можно было бы интерпретировать как означающее, что специальная теория относительности может быть получена из этих симметрий в сочетании с постоянной скорости. Однако если бы мы ничего не знали о постоянной скорости, сокращении длины, замедлении времени или электромагнетизме, а единственная информация, которую мы имели бы, относилась к специальной теории относительности, то у нас не было бы достаточно информации для вывода специальной теории относительности, такой как евклидово пространство и галилеевское пространство-время. обладают всеми симметриями, которыми обладает пространство-время в специальной теории относительности.

Допустим, мы не знали о существовании черных дыр, гравитационного линзирования или гравитационных взаимодействий. Единственная информация, которая у нас была связана с общей теорией относительности, — это симметрии общей теории относительности, что существует постоянная скорость и что пространство-время искривлено вблизи массивного тела. Будет ли у нас достаточно информации, чтобы вывести общую теорию относительности в этом случае?

Чтобы было ясно, когда я говорю о постоянной скорости, я имею в виду скорость, с которой движутся безмассовые частицы.

Джозеф Х

Что именно вы подразумеваете под «вывести общую теорию относительности». Вы имеете в виду вывод уравнений поля Эйнштейна?

Андерс Густафсон

@josephh Да, наряду с другими уравнениями общей теории относительности.

Ответы (3)

Будет ли знание только константы скорости и симметрии пространства-времени в общей теории относительности достаточным для вывода общей теории относительности?

Что именно вы подразумеваете под «вывести общую теорию относительности». Вы имеете в виду вывод уравнений поля Эйнштейна?
@josephh Да, наряду с другими уравнениями общей теории относительности.

Андрей · Answer 1

Одной симметрии недостаточно для получения ОТО.

Действие для ОТО — это действие Эйнштейна-Гильберта (я добавлю космологическую постоянную, так как мы думаем, что она существует в Природе)

С_{Е ЧАС} "=" \frac{1}{16 π г} \int г^{4} Икс \sqrt{- г} [р - 2 Λ]

$\begin{equation} S_{\rm EH} = \frac{1}{16\pi G}\int {\rm d}^4 x \sqrt{-g} \left[ R - 2\Lambda \right] \end{equation}$ где я установил

c = 1

$c=1$ и

G

$G$ – постоянная Ньютона.

Есть бесконечное количество членов, которые мы могли бы добавить с точно такими же симметриями, но это привело бы к различным уравнениям поля...

С_{о т час е р} "=" \int г^{4} Икс \sqrt{- г} [с_{1} р^{2} + с_{2} р^{мю ν} р_{мю ν} + с_{3} р^{мю ν р о} р_{мю ν р о} + с_{4} р^{3} + . . .]

$\begin{equation} S_{\rm other} = \int {\rm d}^4 x \sqrt{-g} \left[ c_1 R^2 + c_2 R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} + c_3 R^{\mu\nu\rho\sigma} R_{\mu\nu\rho\sigma} + c_4 R^3 + ... \right] \end{equation}$ Однако ОТО представляет собой уникальную самосогласованную и устойчиво взаимодействующую низкоэнергетическую лоренц-инвариантную (две или меньше производных, действующих на метрику в действии) теорию безмассовой частицы со спином 2 [1]. Таким образом, хотя одной симметрии недостаточно, существует ряд физических принципов, которые выделяют ее как особую теорию.

[1] Есть много ссылок, но классический аргумент есть в лекциях Фейнмана по гравитации , а другие более полные аргументы приведены у Дезера: https://arxiv.org/abs/gr-qc/0411023 и у Боулвера и Дезера: https ://doi.org/10.1016/0003-4916(75)90302-4

Для $S_{other}$ я вижу, что есть $R^2$ , ан $R^3$ , и немного $R$ термины с символами для значений индекса вместо чисел. Существует ли шаблон для получения следующего $R$ термин в последовательности?
@AndersGustafson Вы можете написать любое сокращение индекса с произвольным количеством $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ . Еще несколько кубических членов были бы $R_{\mu\nu}R^{\nu\rho}R^\mu_{\ \ \rho}$ и $R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} R$ . Я уверен, что есть систематический способ получить все возможные сокращения, но дело в том, что существует бесконечное число возможных членов, которые имеют ту же симметрию (общую ковариантность), что и действие Эйнштейна-Гильберта, и включают только кривизну, поэтому одних соображений симметрии недостаточно для вывода ОТО.
Также вы можете написать ковариантные производные кривизны, например $\nabla_\mu \nabla_\nu R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\rho\sigma}$ или $R \square R$ .
Вы также можете включить сокращения с плотностью тензора Леви-Чивиты. $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ или, что то же самое, с двойственным тензором Римана $\tilde{R}_{\mu\nu\rho\sigma}$ , и снова ковариантные производные. Это позволяет такие вещи, как $\tilde{R}_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu} R^{\rho\sigma}$ и $\nabla_\mu \tilde{R}^{\mu\nu}_{\ \ \ \ \rho\sigma} \nabla_\nu R^{\rho\sigma}$ (схватки становятся все безумнее и безумнее).

Кксен · Answer 2

Этот ответ касается только вывода уравнения поля Эйнштейна (EFE), поскольку другие вещи в ОТО основаны на этом уравнении. Если задействованная симметрия является принципом общей инвариантности (точное определение дано в главе 7 книги Ганса Оганяна « Гравитация и пространство-время» ), при условии, что мы знали линейные уравнения поля для гравитации, а также предположили, что уравнение поля имеет второй дифференциальный порядок и линейно во втором производная от метрики, то можно получить EFE.Более подробно читайте в главах 3 и 7 вышеупомянутой книги.Обратите внимание, что Оганян вывел линеаризованное уравнение гравитационного поля перед выводом EFE, в отличие от многих книг, которые принимают наоборот.

Фредерик Томас · Answer 3

На самом деле А. Эйнштейн нашел уравнения поля (УЭП), не зная о черных дырах и гравитационном линзировании. Конечно, он знал, что это гравитационные взаимодействия. Не зная гравитационных взаимодействий, вообще не было бы никакой теории (даже теории Ньютона). Ключевым моментом вывода Эйнштейном уравнений поля является принцип эквивалентности: эквивалентность между гравитационной массой и инертной массой. Вероятно, это нельзя назвать симметрией.

Симметрия, управляющая общей теорией относительности, — это инвариантность к диффеоморфизму, являющаяся следствием принципа относительности и принципа эквивалентности. Но это не однозначно определило бы гравитационную теорию. Потребовалось бы другое руководство: фактически новая теория тяготения должна воспроизводить ньютоновскую теорию тяготения в пределе слабых полей и малых скоростей. Однажды применив этот третий принцип, можно напрямую прийти к EFE (который может пострадать от квантовых поправок, если кому-то когда-либо удастся последовательно его квантовать...).

Наконец, не следует переоценивать роль симметрии в физике. Нельзя вывести все физические теории только из симметрии. Например, принцип симметрии привел к сильному интересу к суперсимметрии, но до сих пор не найдено ни одного экспериментального намека на суперсимметрию. Поэтому симметрию не следует использовать в качестве единственного руководящего принципа, потому что это привело бы к тому, что люди забыли бы о других принципах, которые со временем могли бы сыграть еще более важную роль.

Будет ли знание только константы скорости и симметрии пространства-времени в общей теории относительности достаточным для вывода общей теории относительности?

Андерс Густафсон

Джозеф Х

Андерс Густафсон

Ответы (3)

Андрей

Андерс Густафсон

Андрей

Андрей

Андрей

Андерс Густафсон

Кксен

Фредерик Томас

Если все движения относительны, как свет имеет конечную скорость?

Изменяется ли скорость света в неинерциальных системах отсчета?

Постоянна ли скорость гравитационных волн? [дубликат]

Что, если мы направим один лазер на восток, а другой на запад, прибудут ли они одновременно?

Что такое формоинвариантность физических законов и как она связана с тензорами?

Почему тензор энергии-импульса симметричен?

Определение инерциальной системы отсчета в теории относительности Эйнштейна

Будем ли мы ощущать гравитацию звезды в 10 световых годах от нас в течение следующих 10 лет, если сегодня она каким-то образом исчезнет со своего места? [дубликат]

Инвариантность против постоянства скорости света в вакууме

Сведение общей теории относительности к специальной теории относительности в предельном случае