Чему равно магнитное поле радиально движущегося тока?

Поскольку вы не предоставили нам никакой информации о начальном распределении заряда в облаке, я буду предполагать здесь, что распределение является равномерным (в частности,$\rho(r)=\rho_0$для$r<r_0$и$\rho(r)=0$в противном случае). Важно отметить, что это означает, что задача имеет сферическую симметрию.

Поскольку облако сферически-симметрично, электрическое поле всегда должно быть направлено радиально (поскольку нерадиальное электрическое поле будет выглядеть по-другому при вращении, даже если лежащее в основе распределение заряда будет выглядеть точно так же; альтернативно, поскольку каждый тангенциальный вклад в электрическое поле с одной стороны сферы точно компенсируется равным вкладом с другой стороны).

Поскольку электрическое поле всегда радиально направлено, все заряды в облаке движутся радиально наружу, и поэтому плотность тока также полностью направлена ​​в радиальном направлении.

Поскольку плотность тока и электрическое поле полностью направлены радиально наружу, распределение даже после расширения все еще имеет сферическую симметрию. Это означает, что магнитное поле также должно быть направлено радиально, потому что любая другая конфигурация поля привела бы к тому, что магнитное поле выглядело бы иначе при вращении, в то время как все, что его генерирует, выглядит точно так же.

Теперь воспользуемся законом Гаусса для магнетизма:

где интеграл берется по замкнутой поверхности. Мы выбираем сферу относительно начала координат произвольного радиуса. Поскольку задача сферически симметрична, величина$\mathbf{B}$постоянен на любой сфере относительно начала координат, и, поскольку он направлен радиально, он всегда параллелен/антипараллелен (неважно какому) направленному вектору площади$d\mathbf{A}$. Это значит, что

где$(-)^?$указывает на возможное наличие отрицательного знака. С$r$не обязательно равен нулю, должно быть верно, что$B$равен нулю, поэтому магнитное поле везде равно нулю .

Теперь, если вы начнете с асимметричного начального распределения, тогда произойдут очень, очень разные (и сложные) вещи, поскольку вы потеряете все приятные ограничения на поведение, которые гарантирует сферическая симметрия. Конкретное поведение, вероятно, лучше всего исследовать с помощью моделирования, поскольку для произвольного начального распределения вы, скорее всего, получите набор УЧП, которые в любом случае не имеют аналитического решения.

Проблема с приведенным выше ответом заключается в том, что дифференциальная форма закона Ампера гласит, что завиток магнитного поля должен быть пропорционален плотности тока в каждой точке пространства. Следовательно, если плотность тока радиальная и, очевидно, ненулевая, то вокруг должно быть ненулевое магнитное поле. Я думаю, что выход из этой головоломки состоит в том, чтобы понять, что сохранение заряда требует, чтобы ток, текущий наружу, должен откуда-то исходить. Например, у вас может быть тонкий провод, подводящий ток к центру издалека, а затем из этого центра ток может течь наружу в радиальном направлении. Но тогда ясно, что тонкая проволока создает магнитное поле во всем пространстве, а также нарушает сферическую симметрию, тем самым разрушая приведенный выше аргумент о симметрии. Так или иначе, будет соблюдаться дифференциальная форма закона Ампера. Если вы решите сохранить сферическую симметрию и ввести ток симметрично издалека, а затем позволить ему вытекать обратно со сферической симметрией, тогда результирующая плотность тока будет равна нулю везде, и, действительно, в этом случае магнитное поле будет равно нулю. .