Что такое выборочная дисперсия выборочной дисперсии и что такое теоретическое выборочное распределение?

Распределение выборочной дисперсии$S^2$дан кем-то$(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$. Я предполагаю, что вас попросили проиллюстрировать эту связь с помощью R. Рассмотрим следующую симуляцию.

 m = 1000;  n = 5;  x = rnorm(m*n)
 DTA = matrix(x, nrow=m)  # each row a sample of size n
 v = apply(DTA, 1, var)   # sample variances of m rows
 hist((n-1)*v, prob=T, col="wheat", ylim=c(0,.2))
   curve(dchisq(x, n-1), lwd=2, col="blue", add=T)
   lines(density((n-1)*v), lwd=2, col="darkgreen")
 mean(v)
 ## 1.003081 
 var(v)
 ## 0.4881987

Возможно, это не совсем то, о чем вас просят, но это может указать вам правильное направление. Я наложил кривую плотности на гистограмму. Я не уверен, какую гистограмму можно наложить.

Вероятно, важным сообщением здесь является то, что соответствующее распределение хи-квадрат имеет df = n-1, а не df = n. Вы можете попробовать наложить плотность$Chisq(5)$и вы увидите, что это совсем не соответствует гистограмме.

$Addendum:$Я не знаю, знаете ли вы об оценках плотности, но на всякий случай я также наложил оценку плотности (сглаженную гистограмму) зеленым цветом. Для этого конкретного запуска симуляции теоретическая кривая и оценка плотности согласуются довольно хорошо, но если вы запустите программу несколько раз, вы получите некоторые случаи, в которых совпадение будет не таким хорошим. (Если вы используете m = 10 000, результаты будут более стабильными.)

Пожалуйста, дайте мне знать, если вы можете понять это, чтобы закончить свой проект. Какова дисперсия$Chisq(4)$? Если вы не знаете, посмотрите статью в Википедии о распределении хи-квадрат.

Дополнение к комментарию от @Quality: Потому что$(n-1)S^2/\sigma^2 \sim Chisq(4),$у нас есть$V[4S^2] = 2(4)$или$V(S^2) = 8/16 = 1/2$. Также vв программе представлены$S^2,$так что не удивительно, что var(v)возвращается$0.488 \approx 0.5$в пределах ошибки моделирования. (Поскольку дисперсии имеют квадратную шкалу, предел погрешности моделирования численно больше для дисперсий, чем для средних: несколько дополнительных запусков программы дали значения от 0,47 до 0,59. Используйте для более медленного запуска с большей точностью. m=10^6)