Оценка стандартного отклонения совокупности с помощью стандартного отклонения выборки

В корне проблема здесь, по-видимому, заключается в том, использовать ли z-статистику или t-статистику для нахождения доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности.$\mu$или при проверке гипотезы о$\mu.$

Предполагать$X_1, X_2, \dots, X_n$представляет собой случайную выборку из нормальной популяции, в которой как среднее$\mu$и стандартное отклонение$\sigma$неизвестны. Мы хотим найти 95% доверительный интервал (ДИ) для$\mu.$

Если бы мы знали$\sigma$затем

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim Norm(0, 1).$$ Таким образом $$P\left\{-1/96 \le \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96\right\} = 0.95,$$ в котором $\mu$можно выделить за несколько шагов алгебры, чтобы $$P\{\bar X - 1.96\sigma/\sqrt{n} \le \mu \le \bar X + 1.96\sigma/\sqrt{n}\} = 0.95.$$ Итак, мы говорим, что 95% ДИ для $\mu$является $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$в котором все количества $\bar X, \sigma,$и $n$известны. Цифры $\pm 1.96$выбраны потому, что они вырезают 2,5% вероятности из верхнего и нижнего хвостов стандартного нормального распределения, оставляя 95% в центре.

В случае$\sigma$неизвестно, удобно использовать стандартное отклонение выборки$S$вместо этого, утверждая, что$\bar X \pm 1.96 S/\sqrt{n}$или, возможно,$\bar X \pm 2 S/\sqrt{n},$является приблизительным 95% ДИ для$\mu.$Если$n \ge 30,$это приближение довольно хорошее по причинам, которые мы увидим чуть ниже.

Если$\sigma$неизвестно, точное распределение

$$T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim T(n-1),$$ Распределение Стьюдента с $n-1$степени свободы. Затем точный 95% ДИ для $\mu$является $\bar X \pm t^* S/\sqrt{n},$где $t^*$сокращает 2,5% вероятности из верхнего хвоста $T(n-1)$и, по симметрии, $-t^*$вырезает 2,5% из нижнего хвоста. Глядя на таблицы распределения t, мы видим, что для $n \ge 30$(или $n-1\le 29$), $t^*$составляет примерно 2,0. Таким образом, приближенная процедура со стандартным нормальным распределением и точная процедура с распределением Стьюдента составляют примерно одно и то же.

Для меньших значений$n$, значения$t^*$стать заметно больше. Например, если$n = 10$, у нас есть$t^* = 2.262.$Таким образом, 95% ДИ становится длиннее (менее точным). Вы можете думать об этой потере точности как о «штрафе» за необходимость оценивать$\sigma$к$S$вместо того, чтобы знать точное значение$\sigma.$

Есть несколько веских причин вообще забыть о «правиле 30»:

Во-первых, он «работает» только для 95% ДИ. Для 99%-го доверительного интервала нам нужно отсечь 0,5% вероятности от каждого хвоста: нормальное пороговое значение равно$z^* = 2.576$и нам нужно увеличить размер выборки примерно до$n = 60$до$t^* \approx 2.6.$

Во-вторых, при использовании статистического программного обеспечения либо мы знаем точное значение$\sigma$или программа аппроксимирует его по данным как$S.$С самого начала мы должны знать, делаем ли мы z-интервал или t-интервал. Использование ненужного правила о размере выборки только запутывает проблему. Правильное правило: использовать z-процедуры$\sigma$известен (а на практике его обычно нет); использовать t-процедуры not.

В-третьих, некоторые авторы элементарных книг пытаются использовать «правило 30» (без какого-либо теоретического обоснования) для разного рода ограничивающих процедур, применимости центральной предельной теоремы, безопасного использования t-процедур для ненормальных данных и т. д. на. В этих приложениях 30 редко является подходящей разделительной линией.

Ни один из двух методов оценки стандартного отклонения генеральной совокупности от выборки не дает несмещенной оценки, хотя$\frac{1}{n-1}$метод дает несмещенную оценку дисперсии.

Если сравнить две оценки дисперсии

$$s_s^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$ с $$s_p^2 = \frac{\sum_i^n (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ тогда ясно $\frac{s_p^2}{s_s^2} = \frac{n-1}{n}$и так $$\dfrac{s_p}{s_s} = \sqrt{1-\frac{1}{n}} \approx 1 - \frac{1}{2n}$$ что приближается к $1$как $n$увеличивается (для $n=30$это о $0.983$и для $n=100$о $0.995$), и этот фактор менее важен, чем неопределенность в оценке стандартного отклонения совокупности от случайной выборки.