Демонстрация, чтобы получить спектр мощности материи в космологии

Это просто преобразование Фурье: (пусть$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$)

$$\begin{aligned} \langle \delta(\boldsymbol{k}_1)\delta(\boldsymbol{k}_2) \rangle&=\int\int d^3r_1d^3r_2\langle \delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2) \rangle e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3r_2\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2)\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3x\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})}\\ &=\int e^{-i(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)\cdot\boldsymbol{r}_1}d^3r_1\int\xi(\boldsymbol{x})e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{x}}d^3x\\ &=(2\pi)^3\delta_D(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)P(\boldsymbol{k}_2) \end{aligned}$$

Здесь,$\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$— двухточечная корреляционная функция (2pcf) в реальном пространстве. Если мы предположим, что наша Вселенная статистически однородна,$\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$должен иметь вид$\xi(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)$. Таким образом, спектр мощности представляет собой преобразование Фурье 2pcf.

Кроме того, если мы предположим, что наша Вселенная статистически изотропна (неправда в пространстве с красным смещением), 2pcf может быть$\xi(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)$и спектр мощности может быть$P(k)$.