Для чего нужен метрический тензор?

Метрика измеряет длины в различных направлениях, а также углы между различными направлениями. Например, если$\vec{e}_{(1)}$является базисным вектором в$x^1$-направление, оно будет иметь длину (в квадрате), заданную выражением

$$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert^2 = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(1)}) = g_{11}.$$ Если у нас также есть базисный вектор $\vec{e}_{(2)}$в $x^2$-направление, затем угол $\theta$между этими векторами подчиняется $$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert \cdot \lVert \vec{e}_{(2)} \rVert \cos\theta = \vec{e}_{(1)} \cdot \vec{e}_{(2)} = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(2)}) = g_{12}.$$

До сих пор мы не упоминали о преобразовании координат. Теперь преобразования координат — это то, что мы хотели бы уметь делать, и правило для метрики (или любого тензора ранга (0,2)) таково:

$$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath},\hat{\jmath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\jmath}}{\partial x^j} g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}. \qquad \text{(all coordinate transformations)}$$ Если система координат в шляпе представляет собой нормальное евклидово пространство с нормальными декартовыми координатами, $g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}} = \delta_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}$и у нас осталось $$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^j}. \qquad \text{(Cartesian hatted coordinates only)}$$ Но это всего лишь правило перевода метрики из одной системы координат в другую. Реальное использование метрики заключается в вычислении длин и углов в конкретной системе координат (как указано выше) или для описания локальной геометрии пространства (времени) кратким, абстрактным способом (в этом случае вы даже не найдете ее). компоненты в любой конкретной системе координат).

Метрика является важным понятием в общей теории относительности.

В ОТО векторы соответствуют взвешенным направлениям в пространстве-времени (под «взвешенными» я подразумеваю любое скалярное кратное вектора, соответствующее одному и тому же направлению, но взвешенному по-разному). Затем метрический тензор может сообщить нам об угле между двумя направлениями или величине заданного вектора, что дает нам понятие длины в пространстве-времени.

Метрика также появляется в уравнениях Эйнштейна, связывающих распределение энергии и импульса в пространстве-времени с кривизной, которая включает метрику и ее производные. То есть кривизна — и, следовательно, метрика — пространства-времени определяются распределением энергии и импульса.

Метрика — это тензор второго ранга, определяющий несколько свойств дифференциального многообразия. Он определяет, как связать изменения расстояния с изменениями координат, как взять скалярное произведение двух векторов. Учитывая внутренний продукт, у нас есть способ измерения углов.

Более косвенно метрика описывает геодезические в многообразии, кратчайшее расстояние между двумя точками. Точно так же, как кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы не является прямой линией, это также имеет место в общем неплоском пространстве. Кстати говоря, метрика содержит информацию о кривизне многообразия, а также о том, как меняются координатные базисные векторы внутри многообразия.

Учитывая его связь со скалярным произведением, метрика предоставляет средства для обобщения законов Гаусса и Стокса на более высокие измерения.

Это отличное введение в следующие темы: «Первый курс общей теории относительности» Шульца.