Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Повышение и понижение индексов в векторе не является допустимой операцией. Базисные векторы не являются исключением. Пока$x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu$допустимая операция,$\hat e^\mu=g^{\mu\nu}\hat e_\nu$не является. Причина в том, что в первом случае вы имеете дело с компонентами вектора, а во втором — с самим вектором.

Позвольте мне уточнить. Учитывая вектор$\hat X$

$$\hat X=x^\mu\hat e_\mu$$ можно понизить индекс $\mu$в $x^\mu$через $$x_\mu\equiv g_{\mu\nu}x^\nu$$

То есть: повышение и понижение индексов — это операция, определенная для компонентов вектора (или ковектора).

Индекс$\mu$в$\hat e_\mu$не векторный индекс; он просто помечает разные базисные векторы. Вы не можете поднять/понизить этот индекс, т.к.$\hat e_\mu$не обозначает компоненты любого вектора. Операция

$$\phantom{\color{red}{\text{NO!}}}\qquad\hat e^\mu\equiv g^{\mu\nu}\hat e_\nu\qquad\color{red}{\text{NO!}}$$ бессмысленная операция.

То же самое можно сказать и о ковекторах. Учитывая ковектор$\tilde X$

$$\tilde X=x_\mu\tilde e^\mu$$ можно поднять индекс $x_\mu$. Но нельзя понизить индекс в $\tilde e^\mu$, потому что этот индекс не обозначает компоненты ковектора; он просто помечает различные базисные ковекторы.

Самое главное, пока$\hat e_\mu$является базисом пространства векторов, и$\tilde e^\mu$является основой пространства ковекторов, эти объекты не связаны через

$$\phantom{\color{red}{\text{NO!}}}\qquad\hat e^\mu= g^{\mu\nu}\tilde e_\nu\qquad\color{red}{\text{NO!}}$$ или любое подобное отношение.

Вкратце: вы можете поднимать/опускать индексы, когда эти индексы обозначают компоненты объекта - либо вектора, либо ковектора, - но вы не можете поднимать/опускать индексы баз векторов/ковекторов, потому что эти индексы не обозначают компоненты чего либо. Это просто ярлыки.

Однако см. Музыкальный изоморфизм .

Я надеюсь, что в этот момент вы все еще со мной. Дан произвольный вектор$\hat v$(как$\hat X$или же$\hat e_\mu$), и некоторая функция$f$, мы можем определить действие$\hat v$на$f$следующим образом: мы определяем

$$\hat e_\mu[f]\equiv \frac{\partial f}{\partial x^\mu}\in\mathbb R$$ и мы расширяем это через линейность: если $\hat v=v^\mu \hat e_\mu$, тогда $$\hat v[f]=v^\mu\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\in\mathbb R$$

Я не буду обсуждать, чем полезна эта новая операция. Но позвольте мне подчеркнуть, что эта операция является чем-то новым, что-то, чего вы, возможно, никогда раньше не видели: теперь векторы могут действовать на функции! В любом случае, полезная она или нет, эта новая операция побуждает нас рассмотреть следующие удобные обозначения: мы будем писать$\hat \partial_\mu$вместо$\hat e_\mu$:

$$\hat \partial_\mu\equiv \hat e_\mu$$

При этом наше уравнение, которое было раньше, становится

$$\hat\partial_\mu[f]=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}$$

Обратите внимание, что мы используем один и тот же символ,$\partial$, с двумя разными значениями: с одной стороны, он обозначает базисный вектор, а с другой стороны, он обозначает частную производную. Обычно мы опускаем различие: мы просто пишем$\partial_\mu$для обоих, и пусть контекст решает, что означает символ.

В том же ключе мы обычно используем символ$\mathrm dx^\mu\equiv\tilde e^\mu$. То есть мы обозначаем базис ковекторов символом$\mathrm dx^\mu$. Это просто обозначения.

Давайте теперь перейдем к градиенту. Определим ковектор$\mathrm d f$как ковектор, который имеет$\frac{\partial f}{\partial x^\mu}$как компоненты:

$$\mathrm d f=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\tilde e^\mu$$ или, используя наши новые обозначения, $$\mathrm d f=\partial_\mu f\,\mathrm dx^\mu$$

Вы можете поднять и опустить$\mu$индекс в$\frac{\partial f}{\partial x^\mu}$, так как этот индекс обозначает компоненты ковектора. В этом смысле можно сказать, что вы можете поднять/опустить$\mu$индекс в$\partial_\mu$, всякий раз, когда этот символ обозначает производную. Но вы не можете поднять/опустить$\mu$индекс в$\hat \partial_\mu$, всякий раз, когда этот символ обозначает базисный вектор (по той же причине вы не можете повышать/опускать$\mu$индекс в$\hat e_\mu$).

Вкратце: объекты$\partial_\mu$а также$\mathrm dx^\mu$заменить старое обозначение$\hat e_\mu$а также$\tilde e^\mu$, но они обозначают один и тот же объект: они являются основой пространства векторов и ковекторов. Это означает, что вы не можете повышать/понижать их индексы. С другой стороны, объект$\partial_\mu f$обозначает компоненты ковектора$\mathrm df$, и поэтому вы можете повышать/понижать его индекс.

Чтобы понять, что происходит, когда мы повышаем или понижаем индексы, мы должны увидеть, что на самом деле представляют собой объекты, с которыми мы работаем.

TL;DR - Вы поднимаете (опускаете) компоненты векторов (дуальные векторы), а не их базис.

Чтобы понять, почему в качестве основы используются производные, мы воспользуемся следующей мотивацией: представьте себе кривую где-то в$\mathbf{R}^3$. Кривая будет иметь касательный вектор над каждой из ее точек. Если обозначить кривую как$r(\lambda)$(функция) с$\lambda$параметр кривой, вектор касательной будет

$$\mathbf{t} = \frac{d\mathbf{r}(\lambda)}{d\lambda} = \sum\frac{dx^i}{d\lambda}\hat{x}^i$$ Итак, теперь мы знаем «скорость и направление изменения» кривой в точке $r(\lambda)$. Мы получили вектор, и мы хотели бы использовать этот вектор для описания других вещей, происходящих на этом многообразии.

Следующий вопрос, который мы задаем, заключается в том, какова скорость изменения какого-либо другого объекта в направлении этого первого вектора. Ну, мы все еще в$\mathbf{R}^3$, так что мы знаем, как найти те самые "скорости изменения" - оператор набла$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}$. Чтобы найти скорость изменения в направлении ранее полученного вектора, мы проецируем$\nabla$на$\mathbf{t}$

$$\mathbf{t}\nabla = \sum \frac{dx^i}{d\lambda}\frac{\partial}{\partial x^i}$$ Здесь мы видим, что, используя касательные векторы, мы можем исследовать и получать информацию о скорости изменения объектов в определенных направлениях.

Теперь, если мы используем эту мотивацию, что векторы, воздействуя на некоторые объекты, дают нам информацию о некоторой скорости изменения, мы можем построить базис для касательных векторов над$\mathbf{R}^3$который$\{ \frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \}$

Можно показать, что такой базис можно построить над каждой точкой общего многообразия, сокращенно записав$\{\partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial x^\mu}\}$.

Векторы были построены как объекты, воздействующие на функции, и есть также объекты, которые воздействуют на векторы и переводят их в действительные числа, называемые двойственными векторами. Опять же, черпая мотивацию из$\mathbf{R}^3$, мы можем построить базис для этих двойственных векторов, и обозначим этот базис как$\{ dx^\mu\}$, где этот базис определяется тем, как он действует на векторный базис:

$$dx^\mu(\partial_\nu) = \delta^\mu_\nu$$

Теперь наступает один из ключевых моментов, где произошла ошибка — мы определили основу для векторов, а вектор — это такой объект, как$u = u^\mu\partial_\mu$. Например, мы можем построить вектор$v=1\cdot\partial_1$. Итак, здесь число 1 является компонентой вектора, а$\partial_1$является компонентом основы. Например, двойной вектор можно записать как$\omega = \omega_\nu dx^\nu$.

Векторы и двойственные векторы имеют особое отношение, двойственный вектор$\omega$действует на вектор$v$и отправляет на реальный номер. Мы можем выразить это, используя их основы.

$$\omega(v) = \omega_\mu dx^\mu v^\nu\partial_\nu=\omega_\mu v^\nu dx^\mu\partial_\nu = \omega_\mu v^\nu\delta^\mu_\nu = \omega_\mu v^\mu$$

Теперь мы подошли к метрическому тензору . Тензор — это такой объект, который действует на определенное количество векторов и дуальных векторов в зависимости от типа тензора. Метрический тензор — это тензор, который действует на два вектора.

Мы можем записать метрический тензор, используя ранее определенные базы, как:

$$g = g_{\mu\nu}dx^\mu \otimes dx^\nu$$ Таким образом, действие метрического тензора состоит в том, что он принимает на вход два вектора и выдает действительное число. Написано полностью в основе это: $$g(u, v) = g_{\mu\nu}dx^\mu(u^\alpha \partial_\alpha) \otimes dx^\nu (v^\beta \partial_\beta)$$ $$g(u, v) = g_{\mu\nu}u^\alpha v^\beta dx^\mu (\partial_\alpha) dx^\nu(\partial_\beta)$$ $$g(u, v) = g_{\mu\nu}u^\alpha v^\beta \delta^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta = g_{\mu\nu}u^\mu v^\nu$$

Эта операция имеет сокращенное обозначение

$$g_{\mu\nu}u^\mu v^\nu = u_\nu v^\nu$$ и только здесь происходит понижение и повышение. Это также можно формально правильно определить, сказав, что метрика индуцирует естественный изоморфизм между векторами и двойственными векторами.

Итак, когда вы понижаете индексы, вы должны воздействовать только на компоненты векторов, а не на базис, точно так же, когда вы поднимаете индексы, вы должны воздействовать только на компоненты двойственных векторов, а не на их базис.

В качестве хорошей справки я рекомендую «Введение в многообразия» Лоринга В. Ту.

Я думаю, что ваш источник путаницы заключается в том, что вы объединяете использование индексов перечисления для базисных векторов и использование векторных индексов для компонентов вектора. К этим двум типам индексов нужно относиться по-разному. Сначала я скажу, что я имею в виду под двумя типами индексов, затем я скажу, как с ними нужно обращаться по-разному.

Первый тип индекса является индексом перечисления для базы. Итак, давайте предположим, что у нас есть$n$размерное векторное пространство, и позволяет выбрать базис. Базисные векторы можно записать как

$$\hat{e}_\mu,\quad \mu = 1,2,3,\cdots,n.$$ В этом случае индекс $\mu$индекс перечисления, используемый только что для перечисления базисных векторов.

Теперь вектор$v$можно записать, используя координаты относительно этого базиса. В этом случае мы бы написали$v=v^\mu \hat{e}_\mu$. В этом случае$\mu$в$v^\mu$векторный индекс. Отличие состоит в том, что для каждого значения$\mu$,$v^\mu$это просто число, где$\hat{e}_\mu$был вектором. Кроме того, если мы меняем базы на новую базу$\hat{\tilde{e}}_\mu$, относящийся к исходной основе$\hat{e}_\mu$по

$$\hat{\tilde{e}}_\nu = R_\nu{}^\mu \hat{e}_\mu,$$ тогда координаты $\tilde{v}^\nu$из $v$относительно новой базы $\hat{\tilde{e}}_\nu$связаны со старыми координатами $v^\mu$по старой базе $\hat{e}_\mu$по $$\tilde{v}^\nu = R^{-1}{}^\nu{}_\mu v^\mu.$$

Думаю, я уже объяснил, как по-разному следует обращаться с этими двумя типами индексов. Один перечисляет набор векторов, другой перечисляет набор действительных числовых координат, которые преобразуются при преобразованиях координат.

Теперь давайте предположим, что у нас есть внутренний продукт с координатами$g_{\mu\nu}$. Тогда для любого базиса$\hat{e}_\mu$, можно получить двойную основу$\hat{e}^\mu$для ковекторного пространства, удовлетворяющее

$$\hat{e}^\mu(\hat{e}_\nu) = \delta^\mu{}_\nu.$$

Теперь задан любой вектор$v$, вы можете связать с двойным вектором$v'$, где этот двойственный вектор$v'$действует на векторы$w$взяв с собой внутренний продукт$\langle v, w \rangle$. Чтобы получить координаты этого двойного произведения$v'$, мы можем записать в виде$v' = v'_\mu \hat{e}^\mu$. Мы находим, что

$$v^\mu g_{\mu \nu} = \langle v, \hat{e}_\nu \rangle = \langle v'_\mu \hat{e}^\mu, \hat{e}_\nu \rangle = v'_\mu\langle \hat{e}^\mu, \hat{e}_\nu \rangle = v'_\mu\delta^\mu{}_\nu = v'_\nu.$$ Поэтому мы находим, что если $v^\mu$координаты вектора относительно некоторого базиса, то координаты $v'_\mu$двойственного вектора $v'$относительно двойственного базиса определяется выражением $v'_\nu = v^\mu g_{\mu \nu}$. В этом смысле вы можете использовать метрику для повышения индексов координат. Это стало возможным благодаря тому, что каждая координата является действительным числом, и когда вы берете линейные комбинации действительных чисел, вы получаете другое действительное число.

С другой стороны, вы не можете сказать$\hat{e}_\nu = \hat{e}^\mu g_{\mu \nu}$, потому что правая часть — это вектор, а левая часть — это линейная комбинация ковекторов, что дает вам еще один ковектор, но ковекторы и векторы — это разные типы объектов, поэтому они не могут быть равны.

Я думаю, что это должно ответить на ваши первые два вопроса. На самом деле я не знаю ответа на третий вопрос, кроме как сказать, что самый простой способ определить касательное пространство — это операторы производных, а частные производные по координатам составляют естественный базис.

Все, что я должен здесь сказать, относится к базовым координатам с соответствующей метрикой.

Я начал говорить, что это неверное утверждение:

$$\partial^\mu = g^{\mu \nu} \partial_{\nu},$$

но потом понял, что у него есть правильная интерпретация. Только не тот, который обычно встречается в контексте дифференциальных форм. Смотрите в конце этого поста.

Это правильно:

$$dx^\mu =g^{\mu \nu} \partial_{\nu}.$$

Замены, предложенные в исходном вопросе, на самом деле действительны (без шляп):

$$e_\mu \rightarrow \partial_\mu,$$

$$e^\mu \rightarrow dx^\mu.$$

Их можно даже принять за определения.

Я использую шляпы только для обозначения ортонормированных оснований. Как минимум, шляпы будут обозначать единичные базисные векторы. В криволинейных координатах такого базиса не будет, вообще говоря, будет координатным базисом. Различие, которое стоит понять.

Повышение и понижение индексов на базисных векторах и 1-формах правомерно. Это просто вопрос связывания сжатия метрики с базисным вектором или 1-формой, а не с компонентами вектора:

$$\mathfrak{v}=v^{i}\mathfrak{e}_{i}=v_{i}\mathfrak{e}^{i}=\left(v^{i}g_{ij}\right)\mathfrak{e}^{j}=v^{i}\left(g_{ij}\mathfrak{e}^{j}\right),$$

и т.д. Итак

$$v_{j}=v^{i}g_{ij},$$ а также $$\mathfrak{e}_{i}=g_{ij}\mathfrak{e}^{j}.$$

Если вам не нравится называть контравариантные базисные векторы «векторами», то называйте их «базисными 1-формами».

Оттуда, это просто вопрос применения установленных определений. Если вы понизите индекс на основе 1-формы (контравариантный базисный вектор AKA), он станет (ковариантным) базисным вектором и, следовательно, идентифицируется с производной по направлению. Производная по направлению вдоль (ковариантного) базисного вектора является частной производной.

На языке дифференциальных форм$dx^{i}$- это (зависящее от местоположения) проекционное отображение векторов на координатное направление, указанное$i$:

$$\left\langle dx^{i},\mathfrak{v}\right\rangle =\mathfrak{e}^{i}\cdot\mathfrak{v}=v^{b}\mathfrak{e}_{b}\cdot\mathfrak{e}^{i}=v^{i}.$$

Таким образом, базисный вектор (1-форма) с повышенным индексом следует интерпретировать как такое проекционное отображение. Другими словами,

$$\partial_{i}\equiv\mathfrak{e}_{i},$$

$$g^{ij}\mathfrak{e}_{i}=\mathfrak{e}^{j},$$

$$\mathfrak{e}^{j}\equiv dx^{j},$$

$$g^{ij}\partial_{i}=dx^{j},$$

На ортонормированной основе мы иногда пишем

$$\partial^{i}\equiv\delta^{ij}\partial_{j}=\partial_{i}.$$

Сначала я подумал, что$\partial^\mu = g^{\mu \nu} \partial_{\nu}$было бы равносильно математической тарабарщине. Но потом я понял, что у него есть правильная интерпретация. Каждому линейно независимому остовному базису в точке нашего многообразия соответствует двойственный базис, который школа дифференциальных форм называет базисом 1-формы. Но в школе дуального векторного базиса это просто еще один базис координат, охватывающий касательное пространство, и существует связанная с ним система координат.$\partial^\mu = g^{\mu \nu} \partial_{\nu}$является оператором частной производной по контравариантным базисным векторам.

Независимо от того, признает ли школа дифференциальных форм, что контравариантные базисные векторы и дуальные базисные 1-формы идентичны, оба существуют. Следовательно, существуют контравариантные базисные векторы, которые могут быть однозначно отображены в производные по направлениям.

Теперь возникает вопрос, могут ли проекционные отображения$dx^i$быть показано, означает то же самое, что и$\partial^i$? Я сомневаюсь в этом.

Но с таким же успехом мы могли бы инвертировать отношения между контравариантными и ковариантными векторами, чтобы то, что мы первоначально называли «ковариантными базисными векторами», стало нашими новыми базисными 1-формами, и наоборот.