Доказательства с использованием тавтологии

«Достижение очевидной истины» (например,$p\to p$Ро$1=1$) является допустимым методом доказательства, если шаги, используемые для достижения этой очевидной истины, являются преобразованиями эквивалентности. То есть, если ваш аргумент выглядит так

$A_1$эквивалентно$A_2$, что эквивалентно$A_3$,$\ldots$, что эквивалентно$A_n$, что является тавтологией

то вы доказали$A_1$. Однако вы должны быть осторожны, чтобы ни один «эквивалентный» шаг не оказался только «подразумеваемым». С другой стороны, нам даже не нужна эквивалентность, нам нужно только одно направление — обратное. Поэтому часто лучше написать доказательство в другом направлении:

У нас есть тавтология$A_n$. Из этого следует$A_{n-1}$.$\ldots$Из этого следует$A_3$. Из этого следует$A_2$. Из этого следует$A_1$, по желанию.

"от$A_1$к$A_n$"метод может лучше всего подходить для обнаружения доказательства, но "от$A_n$к$A_1$" (которое тогда может быть прямым доказательством) лучше всего подходит для представления доказательства (и в то же время для обнаружения пробелов в доказательстве, потому что становится легче обнаружить шаги, которые не являются эквивалентностями).

Когда вы исследуете и обнаруживаете, как доказать утверждение, вы хотите исследовать, пытаясь свести вывод к утверждению из гипотезы. Таким образом, вы сможете увидеть, как вывод связан с гипотезой, и, исходя из этой связи, написать свое доказательство.

Однако, когда вы пишете доказательство, вы всегда начинаете с гипотезы к заключению. Это просто имеет смысл: вы не можете принять свой вывод и доказать гипотезу, потому что это просто наоборот. $\epsilon-\delta$в статье, которую вы читали, действительно были правильные рассуждения о том, почему предел был верен, и понимал смысл$\epsilon-\delta$предел, но у него не было фактического доказательства. Это просто как бы показало , что утверждение было верным, показав связь между гипотезой и выводом. На самом деле это не доказывало, как гипотеза подразумевает вывод, поэтому это не было настоящим доказательством. Однако, учитывая эту связь, мы можем создать собственное прямое доказательство:

Для любого$\epsilon > 0$. Мы можем выбрать$\delta=\frac \epsilon 3$такой, что если$0 < \lvert x-5\rvert < \delta$, затем$\lvert f(x)-3 \rvert < \epsilon$. Сейчас мы докажем это непосредственно. Начнем с нашей гипотезы:

$$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

На самом деле это оператор AND:$0 < \lvert x-5\rvert$и$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$. Однако нам действительно не нужно первое утверждение, поскольку$f(x)$по-прежнему определяется в$x=5$, поэтому мы можем просто использовать второй.

$$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

Умножьте обе части на$3$.

$$\lvert 3x-15\rvert < \epsilon$$

$3x-15=3x-3-12=f(x)-3$, поэтому замените:

$$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$$

Таким образом, мы показали, что$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$подразумевает$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$для всех$\epsilon > 0$, то есть мы доказали предел.

---

Обратите внимание, как мы использовали те же уравнения и рассуждения, что и в статье, но мы просто написали их задом наперёд. Мы можем сделать то же самое с доказательством неравенства :

Начнем с очевидной истины:

$$2 > 1$$

С$n$положительно, мы можем умножить обе части на$n$:

$$2n > n$$

Добавьте обе стороны по$n^2$:

$$n^2+2n > n^2+n$$

Выделим левую часть и умножим правую на$1=\frac{n+2}{n+2}$:

$$n(n+2) > \frac{(n^2+n)(n+2)}{n+2}$$

С$n$положительно, так$n+2$, поэтому мы можем разделить обе части на$n+2$:

$$n > \frac{n^2+n}{n+2}$$

Умножьте левую часть на$1=\frac{n+1}{n+1}$и факторизуем правую часть:

$$\frac{n(n+1)}{n+1} > \frac{n(n+1)}{n+2}$$

Разделите обе части на$n+1$:

$$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$$

Таким образом, мы показали$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$используя очевидные утверждения, гипотеза о$n > 0$, и законы манипулирования неравенствами, так что это должно быть правдой.

Обратите внимание, что у меня те же неравенства, что и в первом доказательстве, но они написаны в обратном порядке, и я добавляю свои рассуждения между каждым шагом. Первое доказательство просто показывает, что утверждение верно, приводя нас к связи, но приведенное выше доказательство является фактическим, строгим, прямым доказательством.