Конгруэнтны ли 4 треугольника, образованные серединами треугольника?

Вот как бы я это аргументировал. Рассмотрим треугольник ниже, где$D$,$E$и$F$являются средними точками. Мы можем сказать, что$EF$и$AB$параллельны, и, следовательно, каждое внутреннее ребро между двумя средними точками параллельно внешнему краю с третьей средней точкой. Значит, треугольник можно разбить на четыре параллелограмма.$AFED$,$DFCE$и$DFEB$. Тогда каждая пара$3$треугольники, кроме среднего, делят$2$ребра на противоположных сторонах параллелограмма и их третье ребро на ребре$ABC$. Например, для$FEC$и$ADF$, края$FE$и$AD$противоположны друг другу на параллелограмме, так же как и ребра$DF$и$EC$. С$AF=FC$,$AFD\cong FCE$. Все ребра внутреннего треугольника лежат на противоположных сторонах параллелограмма, поэтому все$4$маленькие треугольники должны быть равны.

Почему бы вам просто не использовать теорему Тале, чтобы показать, что у них одинаковые длины сторон?

Это легко доказать с помощью теоремы о средней точке. Если$D$и$E$являются серединами сторон$AB$и$AC$соответственно,$DE$параллельна стороне$BC$и половину длины до$BC$. Также,$\angle D = \angle B$и$\angle E = \angle C$, поэтому,$\Delta ADE$и$\Delta ABC$похожи. Мы знаем, что если стороны двух подобных треугольников относятся друг к другу$a : b$тогда отношение их площадей =${a^2}:{b^2}$. Значит, их площади в отношении${1^2}:{2^2} = 1:4$

Точно так же мы можем доказать, что$\Delta BDF$и$\Delta ABC$"="${1^2}:{2^2} = 1:4$

Также,$\Delta CEF$и$\Delta ABC$"="${1^2}:{2^2} = 1:4$

Итак, ясно, что$\Delta ADE = \Delta BDF = \Delta CEF = 1$

Поэтому,$\Delta DEF$"="$4 - 3 = 1$