Доказательство теоремы Тевенина и Нортона

Как я могу доказать теорему Тевенина и Нортона?

Вот схема - вы можете заполнить точки.

Измерьте напряжение (идеальным вольтметром) между любыми двумя узлами произвольной линейной цепи. Назовите это напряжение напряжением холостого хода. $V_{OC}$так как ток через идеальный вольтметр равен нулю .

Затем поместите идеальный амперметр между теми же двумя узлами и измерьте ток. Назовите этот ток током короткого замыкания. $I_{SC}$так как на идеальном амперметре нулевое напряжение .

Теперь у вас есть напряжение при нулевом токе и ток при нулевом напряжении.

Итак, у вас есть две точки на графике ток-напряжение (IV) для этих двух узлов. Как вы знаете, для однозначной идентификации линии на этой плоскости требуется две точки , и уравнение для этой линии имеет вид

Вы можете взять это отсюда?

Обновите 1, чтобы ответить на комментарий.

@AlfredCentauri, как нам доказать, что характеристика является прямой линией?

Если цепь линейна, теорема суперпозиции верна , и, таким образом, любое напряжение или ток в цепи может быть выражено в виде суммы слагаемых, каждое слагаемое включает один источник и равно напряжению или току в цепи, обусловленному только этим источником , т. е. результат, полученный путем обнуления всех остальных источников.

В предыдущем разделе мы измерили напряжение на двух клеммах цепи и обозначили это напряжение$V_{OC}$.

Путем наложения и предполагая цепь постоянного тока, если мы подключим тестовый источник тока к этим клеммам так, чтобы$I = I_S$, напряжение на клеммах определяется выражением

где$R_{EQ}$- эквивалентное сопротивление между клеммами, когда все источники цепи обнулены (при обнулении всех источников цепи между клеммами имеется только цепь резисторов).

Таким образом, из суперпозиции мы знаем , что для линейной цепи постоянного тока между любыми двумя выводами существует эквивалентная цепь с идентичными характеристиками выводов: источник напряжения с напряжением$V_{OC}$последовательно с резистором сопротивлением$R_{EQ}$

И, поскольку между двумя измеренными точками на плоскости IV, найденными в предыдущем разделе, есть только одна линия, отсюда следует, что

Обновление 2:

Чтобы проверить правильность моих аргументов, приведенных выше, я нашел формальное доказательство теоремы Тевенина в одном из моих учебников для студентов: « Основы схем, электроники и анализа сигналов » Кендалла Л. Су.

Я возьму выдержку и перефразирую это доказательство, найденное в приложении A.1 на странице 568.

Для упрощения доказательства будем считать, что рассматриваемая сеть возбуждается независимым источником тока [$I_{sN}$] на его клеммной паре (клеммы a и b на рисунке A.1). Далее будем считать, что сеть содержит$N-1$независимые источники тока и$M$автономные источники напряжения и ряд элементов ЛТИ, в том числе управляемые источники ЛТИ.

Поскольку сеть является LTI, преобладает свойство суперпозиции . То есть,$V_{ab}$представляет собой линейную комбинацию всех сильных сторон независимых источников. Этот факт может быть выражен аналитически как

$$V_{ab} = \sum_{j=1}^{N-1}Z_{Nj}I_{sj} + \sum_{k=1}^{M}H_{Nk}E_{sk} + Z_{NN}I_{sN} = V_{OC} + Z_{NN}I_{sN}$$

$$V_{OC} = \sum_{j=1}^{N-1}Z_{Nj}I_{sj} + \sum_{k=1}^{M}H_{Nk}E{sk}$$

$$Z_{NN} = \frac{V_{ab}}{I_{sN}}, E_{sk}=0, I_{sj}=0$$

...

Схема на рисунке А.2 [источник напряжения с напряжением$V_{OC}$последовательно с$Z_{NN}$подключен между клеммами a и b , где источник$I_{sN}$связан] имеет именно то отношение, которое описывается формулой

$$V_{ab} = V_{OC} + I_{sN}Z_{NN}$$

Текущий источник$I_{sN}$не может сказать разницу между [фактической схемой и эквивалентной схемой]. Следовательно, обе цепи электрически эквивалентны.

Для простоты рассмотрим цепь постоянного тока. Если взять любые две клеммы и изменить ток холостого хода с$0$к$\delta I$, соответствующее напряжение холостого хода изменится с$V$к$V + \delta V$, давая$\frac {dV}{dI} = R(I)$.

Цепь является линейной, что означает, что любое дифференциальное изменение тока или напряжения зависит только от элементов цепи, а не от токов и напряжений. Таким образом, две клеммы схемы можно смоделировать как постоянное сопротивление.$R$последовательно с напряжением холостого хода, чтобы получить теорему Тевенина.

Доказательство основано на рассмотрении двухконтурной резистивной цепи с сопротивлением R1 последовательно с R2 и R3 параллельно слева и R3 последовательно с R1 и R2 параллельно справа. напряжение V1 последовательно с R1. На R3 будет напряжение. Если V1 заменить виртуальным V2 последовательно с R3, но создать то же напряжение на R3, что и V1, это напряжение V2 будет известно как напряжение Тевенина, и в конечном итоге схема будет иметь R1 и R2. параллельно корреспондент сопротивления Тевенина. Вы должны следовать этому письменному объяснению с диаграммами и их соответствующими математическими эквивалентами, когда вы читаете его, чтобы сделать его более понятным. Вы можете получить подробное доказательство по этому URL-адресу.https://www.researchgate.net/publication/276272738_PROOF_OF_THEVENINS_THEOREM_USING_FORWARD_AND_REVERSE_DIRECTIONAL_CURRENT_ANALYSIS_OF_AN_ELECTRICAL_CIRCUIT или этот DOI в исследовательском портале DOI: 10.13140/RG.2.1.5116.8169. Я надеюсь, это поможет.