Должно ли комплексное сопряжение производной числа Грассмана включать знак?

Возьмем реальную переменную Грассмана, под которой я подразумеваю θ "=" θ * . У нас есть

∫ г θ   θ "=" 1 , ∂ ∂ θ θ "=" 1

Если я определяю сопряжение переменных Грассмана, чтобы инвертировать их порядок,

( η θ ) * "=" θ * η * ,
должен ли я тогда иметь
( г θ θ ) * "=" θ * г θ *   ?
Но это означает

( ∫ г θ   θ ) * "=" 1 ⇒ ∫ θ * г θ * "=" − ∫ г θ *   θ * "=" 1 ,

так что если θ "=" θ * , Мне следует иметь

г θ * "=" − г θ .
То же самое можно найти для производной от θ .

Это обычное соглашение, или я должен вместо этого выбрать

( г θ θ ) * "=" г θ * θ *   ?

Ответы (1)

Да. ОП прав. Есть минус. Поскольку по соглашению комплексное сопряжение подчиняется

(1) ( г ж ) *   "="   ж * г *   "="   ( − 1 ) | г |   | ж | г * ж *

для любых двух сверхчисел г , ж (определенных четностей Грассмана | г | , | ж | ), мы также должны иметь

(2) ( А ф ) *   "="   ( − 1 ) | А |   | ф | А * ф *

для комплексного сопряжения оператора А и функция ф , ср. например, ссылки 1 и 2. Ур. (2) сводится к ур. (1) если А является левым оператором умножения . Легко проверить, что ур. (2) означает, что 1

(3) ( ∂ л ∂ г ) *   "=" ( 2 )   ( − 1 ) | г | ∂ л ∂ ( г * ) .

Поскольку интегрирование по Березину — это то же самое, что и левое дифференцирование

(4) ∫ г θ   "="   ∂ л ∂ θ , ∫ г θ *   "="   ∂ л ∂ ( θ * ) ,

мы получаем, что комплексное сопряжение нечетного дифференцирования Грассмана дает минус

(5) ( ∫ г θ ) *   "=" ( 4 )   ( ∂ л ∂ θ ) *   "=" ( 3 )   − ∂ л ∂ ( θ * )   "=" ( 4 ) − ∫ г θ * .

Использованная литература:

  1. Б. ДеВитт, Супермногообразия, Кембриджский унив. Пресс, 1992; экв. (2.2.19).

  2. С. Дж. Гейтс, М. Т. Грисару, М. Рочек и В. Сигель, Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии, arXiv:hep-th/0108200 ; экв. (3.1.9).

--

1 Индекс л ( р ) обозначает левое (правое) дифференцирование, т.е. действующее слева (справа) соответственно. Для полноты отметим, что левое и правое дифференцирование связаны формулой

(6) ∂ л ф ∂ г   "="   ( − 1 ) ( | ф | + 1 ) | г | ∂ р ф ∂ г ,

так что комплексное сопряжение удовлетворяет

(7) ( ∂ л ∂ г ) * ф   "=" ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | г | | ф | ∂ р ф ∂ ( г * ) , ( ∂ р ∂ г ) * ф   "=" ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | г | | ф | ∂ л ф ∂ ( г * ) .

Примечания на потом: ⟨ в , ж ⟩   "="   в † ж   "="   ⟨ ж , в ⟩ * ; ⟨ в , А ж ⟩   "="   ⟨ А † в , ж ⟩ ; ( А Б ) †   "="   Б † А † ; А †   "="   ( А Т ) *   "="   ( А * ) Т ; ( А Б ) Т   "="   ( − 1 ) | А | | Б | Б Т А Т ;
Должно ли комплексное сопряжение производной числа Грассмана включать знак?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v