Как вообще определяются преобразования суперсимметрии?

Я только начинаю впервые читать о суперсимметрии, и что-то меня смущает. Преобразования суперсимметрии преобразуются между бозонными полями и фермионными полями, но я не понимаю, как это вообще можно определить. Возьмем следующий простой пример, который появляется в начале заметок, которые я читаю. В четырех измерениях, скажем С является реальным скалярным полем, п — реальное псевдоскалярное поле, и ψ является майорановским спинором. Возьмите лагранжиан, чтобы просто быть

л "=" − 1 2 ( ∂ С ) 2 − 1 2 ( ∂ п ) 2 − 1 2 ψ ¯ ∂ / ψ .

Сейчас, С и п просто настоящие поля. (И они действительно являются классическими полями, потому что лагранжианы всегда являются функциями классических переменных, даже когда нас интересует КТП.) Однако, ψ состоит из антикоммутирующих переменных Грассмана. Таким образом, мы можем видеть, что ψ поле не состоит из того же «типа» объекта, что и поле С и п поля. Другими словами, С это функция

С : р 4 → р
пока я верю ψ это функция
ψ : р 4 → порядок 1 элементов  г р ( 4 , р )
где г р ( 4 , р ) обозначает вещественную алгебру Грассмана с 4 образующими. (Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.) Под элементами порядка 1 я подразумеваю линейные комбинации четырех образующих г р ( 4 , р ) . В векторном пространстве это равно р 4 .

Как же тогда можно рассматривать преобразования «суперсимметрии» следующего вида?

дельта ε С "=" ε ¯ ψ дельта ε п "=" ε ¯ γ 5 ψ дельта ε ψ "=" ∂ / ( С + п γ 5 ) ε
( ε является постоянным майорановским спинором.) ε ¯ ψ теперь является числом Грассмана порядка 2, что просто не является тем же «типом» вещей, что и С , что является просто действительным числом! Так как же вообще определяется эта «трансформация»?

Возможно, я не понимаю, как на самом деле должно работать «классическое» фермионное поле или как используются эти числа Грассмана.

Ответы (2)

На самом деле это довольно тонкий вопрос, который на самом деле не объясняется во многих учебниках. Как говорит Qmechanic, переменные Грассмана, т.е. элементы бесконечномерной алгебры Грассмана Λ ∞ , иметь в общем тело и душу. Теперь, конечно, вы можете сказать: подождите, разве действие не просто

С "=" ∫ д 4 Икс л ,
и как можно С есть душа? Ответ состоит в том, что в этом контексте действие здесь всего лишь то, что входит в континуальный интеграл через
коррелятор "=" ∫ Д ψ Д ψ ¯ Д ф Д п … опыт ⁡ ( я С ) ,
где я переименовал ваше поле С к ф чтобы отличить его от действия С . Важно отметить, что коррелятор в левой части — это просто обычное комплексное число, а не элемент Λ ∞ , потому что в интеграле по путям мы избавились от всех алгебраических объектов. Это потому что ∫ д θ θ "=" 1 для a-чисел. Итак, в этом контексте л и все поля на самом деле являются элементами Λ ∞ , и поэтому ε ¯ ψ это то, на что можно сдвинуть скалярное поле.

Я понимаю. Таким образом, полный интеграл по путям является одновременно и обычным интегралом по путям, и интегралом по путям Березина. Действие С принимает на вход сверхчисла, и наше преобразование происходит на входах С , поэтому общий интеграл по путям по-прежнему определен.
@user1379857 user1379857 Да, примерно так. В этом контексте действие — это просто некий объект, который позволяет нам вычислять корреляторы.

Четные переменные Грассмана С и п это сверхчисла , которые могут иметь и тело, и душу, а не только тело. См., например, этот связанный пост Phys.SE.

Как вообще определяются преобразования суперсимметрии?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v