Есть ли естественный способ доказать, что тригонометрические тождества справедливы и для комплексных чисел?

В комплексном анализе триггерные функции определяются через опыт который, в свою очередь, определяется через степенной ряд. Конечно, это легко увидеть на р , все эти функции согласуются с их обычными версиями с вещественными переменными, с которыми мы хорошо знакомы.

В реальном случае есть некоторые основные тождества, такие как потому что даже, грех странно и потому что ⁡ ( Икс ) "=" грех ⁡ ( π 2 − Икс ) и т. д. Есть и более сложные, такие как

(1) потому что ⁡ ( Икс − у ) "=" потому что ⁡ Икс потому что ⁡ у + грех ⁡ Икс грех ⁡ у .

Q1: делайте реальные идентификаторы переменных, например ( 1 ) также держать, когда Икс , у комплексные числа? (Конечно, тождества с квадратными корнями сюда не включены. потому что ⁡ ( Икс ± у ) , грех ⁡ ( Икс ± у ) и т. д.

Q2: если да, есть ли какой-нибудь естественный (или изящный) способ увидеть это, кроме как спуститься к основному опыт определение и расчет почленно?

Спасибо!

Идея, которая только что пришла мне в голову: использование единственности продолжения голоморфных функций. Я пытаюсь конкретизировать это.
Обычно вы показываете, что (LHS)-(RHS) — это голоморфная функция, равная нулю на реальной прямой. Таким образом, он везде равен нулю.
@SteveD ооочень ловко! Спасибо. Я как раз думал о том, чтобы сначала зафиксировать одну переменную как реальную, а другую изменить С а затем сгибание обоих. Но ваш однозначно лучше!

Ответы (1)

Я могу ответить на свой вопрос. Я возьму потому что ⁡ ( Икс − у ) В качестве примера. Для простоты обозначим тождество ( 1 ) как

(*) потому что ⁡ ( Икс − у ) "=" ф ( Икс , у ) ,
где ф ( Икс , у ) является RHS- выражением.

Исправить Икс е р . Рассмотрим карту С ∋ г ↦ потому что ⁡ ( Икс − г ) которая явно голоморфна. Когда г е р , потому что ⁡ ( Икс − г ) "=" ф ( Икс , г ) держит. Но ф ( Икс , г ) также голоморфна, поэтому потому что ⁡ ( Икс − г ) "=" ф ( Икс , г ) должен держаться на протяжении всего г е С домен.

Теперь мы показали, что когда Икс е р , у е С , ( * ) будет держать. Мы исправляем у как любое комплексное число, и рассмотрим карту С ∋ г ↦ ф ( г , у ) , и еще раз применим аргумент расширения, то заключаем, что ( * ) всегда выполняется, даже если обе переменные являются комплексными.

Ключевой момент: с тех пор р имеет сходящуюся в себе последовательность различных точек, продолжение голоморфной функции из р к С уникален.

Это по сути верно. Обычно проще написать ф Икс ( г ) "=" потому что ⁡ ( Икс − г ) − ( потому что ⁡ Икс потому что ⁡ г − грех ⁡ Икс грех ⁡ г ) , показывать ф Икс ( г ) для функции (так что вы просто показываете ф Икс ( г ) равен нулю на некотором множестве с предельной точкой, поэтому на этом множестве выполняется тождество). Хотя, думаю, это в большей степени дело вкуса.
@ Марк, да, я думаю, мы говорим об одном и том же. Просто я использовал что-то вроде лямбда-функции, не называя ее.
Есть ли естественный способ доказать, что тригонометрические тождества справедливы и для комплексных чисел?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v