Геодезические: самая прямая или самая короткая? Когда и почему?

В классической общей теории относительности (в смысле немодифицированной) можно думать о геодезических двумя способами.

  1. Один из способов — сказать, что геодезическая — это кривая, которая является самой прямой (по аналогии с плоским случаем) среди всех кривых. Примерно так обстоят дела (поправьте меня, если я ошибаюсь): в плоском случае геодезические имеют вид Икс мю ( с ) знак равно с т мю + б мю куда т а также б являются постоянными векторами и с является параметром кривой. Касательный вектор кривой равен г Икс мю г с знак равно т знак равно с о н с т так

    г т мю г с знак равно т ν ∂ ν т мю знак равно 0.
    Это тензорное уравнение, и в силу общей ковариантности оно выполняется в общем пространстве-времени с соответствующими изменениями :
    т ν ∇ ν т мю знак равно 0.

  2. Другой способ - получить уравнение, найдя минимум функционала длины

    л знак равно ∫ грамм ( т , т ) г т ,
    мы получаем
    г т мю г т + Г α β мю т α т β знак равно 0.
    Приведенное выше уравнение оказывается просто т ν ∇ ν т мю знак равно 0 , с определенным выбором параметризации.

Таким образом, обе формулировки эквивалентны. Мой вопрос: когда и почему это так? Есть ли глубокая причина?

Просматривая книгу Уолда, я нашел следующий, непонятный мне аргумент:

«На многообразии с римановой метрикой всегда можно найти кривые сколь угодно большой длины, соединяющие любые две точки. Однако длина будет ограничена снизу, и кривая кратчайшей длины, соединяющая две точки (при условии, что нижняя граница длины равна достигнутый) обязательно является экстремумом длины и, следовательно, геодезической. Таким образом, кратчайший путь между двумя точками всегда является кратчайшим возможным путем ».

Позже в книге он также говорит что-то о сопряженных точках.

Я всегда думал, что это связано с кручением: если мы ослабим условие Г α β мю − Г β α мю знак равно 0 тогда связь не Леви-Чивита, следовательно дельта грамм л знак равно 0 остается неизменным, но т ν ∇ ν т мю знак равно 0 делает и дает другое геодезическое уравнение .. так что Straightest ≠ Самый короткий больше.

Кто-нибудь может мне что-то прояснить?

Вы спрашиваете «глубокую причину», почему в плоском пространстве кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая линия. Я не думаю, что для этого есть «более глубокая» причина, чем тот факт, что 2 + 2 знак равно 4 .
Эти два определения редко эквивалентны в глобальном масштабе, кратчайший путь всегда является геодезическим, но геодезический может не быть кратчайшим путем. «Глубокие причины» заключаются в том, что уравнение, полученное путем изменения функционала длины, является уравнением геодезического, и теорема о том, что его решения минимизируют длину, если они не проходят через сопряженные точки или точки разреза, см . Геометрическое место разреза . Но если связь не Леви-Чивита, то она несовместима с метрикой, поэтому неясно, как вы определяете функционал длины.
@tparker два слова: геометрия поверхности.
Я думаю, что на самом деле геометрическая аксиома состоит в том, что геодезические являются самым прямым и кратчайшим путем. В сущности, меняется определение прямолинейности. В конце концов, прямо на сфере гораздо извилистее, чем на плоскости.
Я думаю об этом так: геодезические — это то, что мы хотели бы воспринимать как прямые линии в области, снабженной римановой метрикой . Я бы посоветовал прочитать больше об этом в книге о дифференциальной геометрии, Do Carmo всегда является хорошим справочником.
Насколько я понимаю (понимание получено только при просмотре роликов на YouTube), если мы возьмем сферу и рассмотрим на ней две точки, то эти точки будут соединены двумя геодезическими - одна будет кратчайшим путем, а другая - самой длинной.
@ChrisBecke одна геодезическая будет кратчайшим путем, а другая геодезическая не будет самым длинным путем. На сфере, если вы зафиксируете 2 конечные точки, вы можете создать плавную кривую, соединяющую их, произвольно большой длины. Например, вы всегда можете вращаться столько раз, сколько захотите, чтобы получить все более и более длинные пути.
@Conifold Настройка OP для «самой прямой» стороны эквивалентности применяется только в плоском пространстве. Я не знаю, как вообще определить понятие «самой прямой» возможной кривой в искривленном пространстве-времени, если не требованием, что т мю ∇ мю т ν знак равно 0 или требованием экстремума правильной длины. При любом определении вопрос ОП становится тривиальным, поэтому я предположил, что их вопрос был о плоском пространстве.
@tparker Самый прямой путь имеет смысл в искривленном пространстве-времени, поскольку по определению многообразия мы можем аппроксимировать небольшие окрестности бесконечно малыми участками плоского пространства-времени. Геодезические формируются последовательными прямыми шагами в них вдоль касательных линий, соответствующим образом протянутых соединением.

Ответы (5)

Таким образом, обе формулировки эквивалентны.

Это неверно.

В случае пространственноподобных геодезических ваше определение л дает мнимое число. Комплексные числа не являются упорядоченным полем, поэтому не существует такого понятия, как «кратчайший».

Аналогичная проблема возникает и для нулевых геодезических. Нулевая геодезическая имеет л знак равно 0 , а возмущения нулевой геодезической могут сделать л либо реальное, либо мнимое.

Даже во времяподобном случае может случиться, что геодезическая не является кривой с максимальным временем. Это обсуждается у Misner, Thorne, and Wheeler, p. 318.

Единственное общее определение геодезической, которое работает, состоит в том, что она параллельно переносит свой собственный касательный вектор, т. е. это самый прямой путь.

Не можете ли вы обойти эту проблему комплексных чисел, потребовав, чтобы интервал пространства-времени ∫ г т г с 2 быть экстремальным вместо надлежащей длины ∫ г т г с 2 ?

Хотя я не могу объяснить это лучше, чем Пенроуз в «Дороге к реальности», как написал Рон Гордон, очень хорошей книге с очень хорошими цифрами, я решил сделать здесь несколько замечаний.

Что касается вашего абзаца, начинающегося со слов «Я всегда думал, что это связано с кручением», у меня есть несколько (надеюсь, полезных) комментариев. Во-первых, любое аффинное соединение на многообразии дает понятие параллельного переноса (и я отмечаю, что Рон Гордон уже ссылался на OP на страницу параллельного переноса в Википедии), и поэтому вы можете определить геодезические как гладкие кривые, для которых касательный вектор параллелен. Заметьте, я не упомянул ни о какой метрике, и действительно, можно говорить о геодезических, просто имея связь.

Но что, если многообразие имеет риманову метрику грамм ? Соединение Леви-Чивита не имеет кручения. грамм -совместимое соединение. Мне нравится думать, что это в некотором смысле канонически связано с грамм (поскольку данная метрика существует и единственна). В этом случае вы также можете определить геодезические как гладкие кривые, которые являются критическими точками функционала длины с фиксированными конечными точками. Их также можно определить как критические точки функционала энергии, а не функционала длины, тем самым исключая квадратный корень из длины. Это похоже на рассмотрение действия Полякова, а не действия Намбу-Гото в теории струн.

Мое последнее замечание таково. В то время как геодезическая на римановом многообразии всегда локально минимизирует длину, она не всегда может глобально минимизировать длину с фиксированными двумя конечными точками. Например, рассмотрите сферу и скажите, что вы начинаете с северного полюса N и путешествуете по большому кругу, пока не достигнете южного полюса S, а затем продолжаете еще немного по тому же большому кругу, немного за S. Это геодезическая, но это не кратчайший путь между двумя конечными точками. Действительно, можно начать и с N, и пойти в направлении, противоположном начальному пути, и достичь конечной точки по более короткому геодезическому пути.

Изменить: мои замечания предполагали риманову метрику, то есть евклидову подпись, а не лоренцеву. Есть и другие проблемы, возникающие в лоренцевской подписи, как правильно указали некоторые пользователи (в частности, Бен Кроуэлл).

Пусть задано псевдориманово многообразие ( М , грамм ) с подключением ∇ что совместимо с метрикой грамм но не обязательно без кручения . Позволять ∇ л С обозначают связность Леви-Чивиты для грамм . Тогда уравнение геодезической ∇ γ ˙ л С γ ˙ знак равно 0 и автопараллельное уравнение ∇ γ ˙ γ ˙ знак равно 0 не обязательно одинаковы. Они одинаковы тогда и только тогда, когда тензор кручения полностью антисимметричен. Подробности см., например , в этом сообщении Phys.SE.

Ссылки на Kleinert et. работа др. на потом: arxiv.org/abs/hep-th/9503074 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9605028 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9709067 ; arxiv.org/abs/gr-qc/9801003 ; arxiv.org/abs/физика/9801023 ← экв. (6.5) локальное действие для автопараллелей. Кажется, мы могли бы также реализовать автопараллельное уравнение. с множителем Лагранжа.

Я не очень понимаю ваш вопрос, но я думаю , что это то, что вы спрашиваете:

«Геодезические могут быть определены двумя различными способами: (а) траектории, которые параллельно переносят свой касательный вектор, или (б) траектории, которые максимизируют собственное время на всех возможных путях между двумя точками. [Обратите внимание, что первое определение является локальным, а второе является глобальным Как указывает Бен Кроуэлл, неопределенная сигнатура метрики приводит к тонкостям со вторым определением, поэтому для простоты проще всего рассматривать только времениподобные траектории, что, конечно, означает, что это определение имеет смысл только в том случае, если конечные точки причинно связаны , Случаи пространственноподобных или нулевых путей в конечном итоге очень похожи.] Первое определение ссылается только на соединение (а не на метрику), а второе определение ссылается только на метрику (а не на соединение).Для каких отношений между метрикой и связью эти определения эквивалентны?"

Кэрролл обсуждает оба определения на стр. 106-108 этого учебника по ОТО: «эти два понятия совпадают тогда и только тогда, когда связность является связностью Кристоффеля... На многообразии с метрикой экстремалями функционала длины являются кривые, которые параллельно переносят свои касательные векторы относительно Связь Кристоффеля, связанная с этой метрикой [курсив добавлен]. Не имеет значения, определена ли какая-либо другая связь на том же многообразии».

Как вы говорите, если соединение имеет кручение (или несовместимо с метрикой), то эти два понятия больше не эквивалентны. В альтернативах ОТО, которые рассматривают связи с кручением, траектории свободных частиц подчиняются первому уравнению, а не второму, поэтому первое определение является более фундаментальным в контексте гравитационной физики.

Может быть, немного несвязанный: хорошо ли «выбор» соединения, который отличается от соединения Кристоффеля, соответствует принципу эквивалентности? Я склонен думать, что в связи нет выбора, если нужно следовать принципу эквивалентности. Эта точка зрения, на мой взгляд, несколько подтверждается трактовкой Вайнберга. Он ничего не предполагает о кручении априори и (используя принцип эквивалентности) доказывает, что связность оказывается связностью Кристоффеля.

Ссылки: Пенроуз, стр. 294, глава 14 книги «Дорога к реальности» дает очень доступное объяснение параллельного транспорта с использованием геодезических для поиска «коротких» путей и описывает, как решить проблему зависимости от пути. Он избегает строгой разработки, чтобы сосредоточиться на обосновании.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport Математическая разработка для параллельного транспорта в геометрии Римана, а также другие методы решения проблемы зависимости от параллельного пути.

↑ Реймманн?
Геодезические: самая прямая или самая короткая? Когда и почему?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v