Почему времяподобная геодезическая максимизирует длину пути?

Сначала набросаем доказательство того, что времяподобная геодезическая есть максимум собственного времени. (Мы пока исключаем седловые точки.) Пусть$\gamma$— кривая, удовлетворяющая уравнению геодезических, т. е. экстремум собственного времени, определяемый равенством$\tau[\gamma]:=\int\sqrt{-\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle}\,\mathrm{d}t$. Довольно просто показать, что всегда существует кривая$\mu$для которого$\tau[\mu]<\tau[\gamma]$, подразумевая$\gamma$это не минимум. Построить вдоль$\gamma$«трубка» произвольной ширины. Позволять$\mu$быть кривой, имеющей те же начальную и конечную точки, что и$\gamma$. Позволять$\mu$ограничиваться трубой вдоль$\gamma$. Теперь ветер$\mu$вдоль трубки так, что она почти равна нулю, т. е. касательная кривой приближается к нулевому конусу в каждой точке трубки. Таким образом, мы построили кривую с$\tau[\mu]$сколь угодно близким к нулю, что можно сделать меньше, чем$\tau[\gamma]$.

Это означает, что геодезическая не является минимумом, но не может определить, что времяподобная геодезическая не является седлом. Однако и это не совсем так. Здесь мы цитируем теорему 9.9.3 из [1]$^1$.

Позволять$\gamma$быть гладкой времениподобной кривой, соединяющей две точки$p,q$. Тогда необходимое и достаточное условие того, что$\gamma$локально максимизировать собственное время между$p$и$q$над плавными изменениями одного параметра заключается в том, что$\gamma$быть геодезической без точки, сопряженной с$p$между$p$и$q$.

Таким образом, времяподобная геодезическая не обязательно является максимумом собственного времени. Изучение геодезических действительно связано с причинно-следственной структурой, Refs. [1] и [2] настоятельно рекомендуются для этой цели.

Две стандартные ссылки на каузальную структуру:

[1] Р. М. Уолд, Общая теория относительности (1984).

[2] SW Hawking & GFR Ellis, Крупномасштабная структура пространства-времени (1973).

$^1$Это, в свою очередь, цитируется из предложения 4.5.8 в [2], но я предпочитаю формулировку [1]. Заметим, что полное доказательство можно найти в [2].

Подумайте о парадоксе близнецов , в котором один близнец путешествует в космос на космическом корабле на высокой скорости и возвращается, а другой близнец остается неподвижным на Земле. В конце концов, близнец, путешествующий на космическом корабле, будет меньше стареть из-за замедления времени. Возможно, близнец, оставшийся на Земле, движется по геодезической, и он состарится больше, чем его близнец (отклонившийся от геодезической), т. е. его времениподобный путь будет иметь большее собственное время (как «длина» времениподобного путь — это его собственное время). Это в точности принцип максимизации пути в общей теории относительности.