Имеет ли профиль в сверхзвуковом потоке нулевую циркуляцию?

Может быть, я упускаю что-то очевидное для вас, но почему вы думаете, что тираж нулевой?

Возьмем простейший случай бесконечно тонкой двумерной плоской пластины в линеаризованном сверхзвуковом потоке . Решение в потенциале возмущенной скорости ($\hat{\phi}$) является:

$$\hat{\phi}= \begin{cases} 0 & x\pm\beta z<0 \\ \frac{1}{\beta}\alpha(x-\beta z) & 0\le x-\beta z\le c, & z>0 \text{ (upper surface)}\\ -\frac{1}{\beta}\alpha(x+\beta z) & 0\le x+\beta z\le c, & z<0 \text{ (lower surface)}\\ \pm\frac{1}{\beta}(\alpha c) & x\pm\beta z>0 \end{cases}$$

где$c$- длина хорды плоской пластины,$x$и$z$горизонтальные и вертикальные координаты,$\alpha$угол атаки и$\beta=\sqrt{M_\infty^2-1}$– сверхзвуковой фактор Прандтля-Глауэрта.

Поле скоростей ($\vec{V}$) можно получить как:

$$\vec{V} = \begin{bmatrix}V_\infty \\ 0\end{bmatrix}+V_\infty\nabla{\hat{\phi}} = \begin{bmatrix}V_\infty\pm\frac{1}{\beta}\alpha V_\infty \\ -\alpha V_\infty\end{bmatrix}$$

где$V_\infty$скорость набегающего потока. Первое уравнение плюс для верхней поверхности и минус для нижней поверхности.

Возьмем бесконечно тонкий замкнутый путь ($C$), которые обвивают верхнюю и нижнюю поверхности, и рассчитывают циркуляцию ($\Gamma$):

$$\Gamma = \oint_C\vec{V} \cdot \hat{n} ds=\frac{2\alpha c V_\infty}{\beta}$$

Очевидно, что это не ноль. На самом деле это легко увидеть по скачку потенциала в следе.

И когда мы вычисляем коэффициент подъемной силы ($C_l$) этого плоского профиля по теореме Кутты-Жуковского ($L'=\rho_\infty V_\infty \Gamma$), мы получаем классическое соотношение сверхзвуковой подъемной силы :

$$C_l=\frac{L'}{1/2\rho_\infty V_\infty^2 c}=\frac{4\alpha}{\beta}$$